2023-2024学年重庆市南川重点中学八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市南川重点中学八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个选项中，为无理数的是( )
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 如图，，，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4. 南京市今年共约有名考生参加体育中考，为了了解这名考生的体育成绩，从中抽取了名考生的体育成绩进行统计分析，以下说法正确的是( )
A. 该调查方式是普查
B. 每一名考生是个体
C. 抽取的名考生的体育成绩是总体的一个样本
D. 样本容量是名考生
5. 估计的值在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
6. 下列长度的各种线段，可以组成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
7. 一个多边形的内角和是它的外角和的倍这个多边形是( )
A. 六 B. 九 C. 八 D. 十
8. 如图，点在的延长线上，则下列条件中，能判定的是( )
A.
B.
C.
D.
9. 某社区活动中心要添置三样体育用品：大绳、小绳、毽子，王师傅准备用元钱去买，根据要求，每样体育用品最少买一件，大绳最多买两条，大绳每条元，小绳每条元，毽子每个元，在把钱用完的条件下，买法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
10. 下列图形都是由同样大小的正方形和正三角形按一定的规律组成，其中，第个图形中一共有个正多边形，第个图形中一共有个正多边形，第个图形中一共有个正多边形，则第个图形中正多边形的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 的算术平方根是______ ．
12. 如图，，点在上，，，则的度数是______ ．
13. 关于，的二元一次方程组的解是，则的值为______ ．
14. 某校在爱国主义教育实践活动期间，组织开展与神州飞船有关的知识竞赛，共有道题，答对一道题得分，答错或不答一道题扣分小明想参加本次竞赛且得分超过分，他至少需要答对______ 道题．
15. 将一副常规的三角板按如图方式放置，则图中的度数为______．
16. 如图，将沿射线平移个单位后得到，连接，若，则的长为______
17. 若整数使得关于的不等式组有且只有一个偶数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数均为整数，则符合条件的所有的和为______ ．
18. 如果一个四位自然数，将它的前两位数字组成的两位数记为，后两位数字组成的两位数记为，规定，，当为整数时，称这个四位数为“和气数”若“和气数”其中，，，且，，为整数，且能被整除，求出的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算或解方程：
；
．
20. 本小题分
解方程组或不等式组：
；
．
21. 本小题分
如图，直线与，与均被直线所截，已知．
求证：；
若，，求的度数．
22. 本小题分
万州二中教育集团为进一步开展“睡眠管理”工作，二中教育集团对文德分校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查设每名学生平均每天的睡眠时间为小时，其中的分组情况是：
组：组：组：
组：组：
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次共调查了______ 名学生；
补全条形统计图；
在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数；
文德分校现有名学生，请估计睡眠时间不足小时的学生有多少人？
23. 本小题分
如图，将向右平移个单位长度，然后再向上平移个单位长度，可以得到．
画出平移后的；
写出三个顶点的坐标；
已知点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为，求点的坐标．
24. 本小题分
小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共块，共花费元．已知彩色地砖的单价是元块，单色地砖的单价是元块．
两种型号的地砖各采购了多少块？
如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共块，且采购地砖的费用不超过元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
25. 本小题分
阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题以下是他的解题过程：令，原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，原方程组的解为．
学以致用：
运用上述方法解下列方程组：．
拓展提升：
已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是______ ．
26. 本小题分
在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，且，为坐标原点，已知两点，且、满足点在轴上．
求、两点的坐标；
如图，动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴向下运动，当时间为何值时，的面积等于平行四边形面积的三分之一；
如图，当从点出发，沿轴向上运动，连接、，、、存在什么样的数量关系，请说明理由排除在和两点的特殊情况．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.，是无理数，故本选项符合题意；
C.，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：．
根据无理数的定义逐个判断即可．
本题考查了无理数的定义、立方根和算术平方根，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数．
2.【答案】
【解析】解：由，得点位于第二象限．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
本题考查各象限内点坐标的符号特征．记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质，可以求得，然后根据的度数和，即可得到的度数．
本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4.【答案】
【解析】解：该调查方式是抽样调查，故A不符合题意；
B.每一名考生的体育成绩是个体，故B不符合题意；
C.抽取的名考生的体育成绩是总体的一个样本，故C符合题意；
D.样本容量是，故D不符合题意；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5.【答案】
【解析】解：，
，
即，
，
故选：．
根据无理数的估算得出的大小范围，即可得答案．
本题考查的是估算无理数的大小，根据题意估算出的大小范围是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、，不能组成三角形，故A选项错误；
B、，能组成三角形，故B选项正确；
C、，不能组成三角形，故C选项错误；
D、，不能组成三角形，故D选项错误．
故选：．
根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：设边数为，
，
．
故选：．
设这个多边形的边数为，则多边形的内角和为，然后根据题意列方程解答即可．
本题考查了多边形的内角和定理和多边形外角和，牢记多边形内角和公式是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、，则，故A选项不合题意．
B、，则，故B选项符合题意．
C、，则不可判断，故C选项不符合题意．
D、，则，故D选项不符合题意．
故选：．
结合图形根据平行线的判定定理对选项逐一判断即可求解．
本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：当买一条大绳时，设购买条小绳，个毽子，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
或或或或或，
当买一条大绳时，共有种买法；
当买两条大绳时，设购买条小绳，个毽子，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
或或，
当买两条大绳时，共有种买法．
在把钱用完的条件下，买法共有种．
故选：．
分买一条大绳及买两条大绳两种情况考虑，当买一条大绳时，设购买条小绳，个毽子，利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，可得出当买一条大绳时，共有种买法；当买两条大绳时，设购买条小绳，个毽子，利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，可得出当买两条大绳时，共有种买法，进而可得出在把钱用完的条件下，买法共有种．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：观察图形知：
第一个图形有个正多边形，
第二个有个，
第三个图形有个，
故第个图形有个，
故选：．
仔细观察图形知道第一个图象有个正多边形形，第二个有个，第三个图形有个，由此得到规律求得第个图形中多边形的个数即可．
此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
11.【答案】
【解析】解：，
的算术平方根是，
故答案为：．
根据算术平方根的定义计算即可．
本题考查了算术平方根的定义，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：将代入原方程组得：，
解得：，
．
故答案为：．
将代入原方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的解，代入原方程组的解，求出，的值是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设小明答对是自然数道题，则答错或不答道题，
依题意得：，
解得：，
是自然数，
至少取，
故答案为：．
设小明答对是自然数道题，则答错或不答道题，依题意列不等式求解，找到符合题意的值即可．
本题考查了不等式的应用，解题的关键是列不等式求解及找到符合题意的值．
15.【答案】
【解析】解：如右图，
，
．
故答案是．
由于是的外角，利用三角形外角性质可求，再根据对顶角性质，可求．
本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是能找出外角与内角之间的等量关系．
16.【答案】
【解析】解：沿射线平移个单位得到，
，
，
，
，
故答案为：．
利用平移的性质得到，由可求，根据线段的和差求出即可．
本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行或共线且相等．
17.【答案】
【解析】解：解不等式组得，
不等式组解为，
不等式组有且仅有个偶数解，
这两个偶数解为，
，
即，
解方程组得：，
方程组的解是整数，
或，
所以满足条件的整数的值之和是．
故答案为：．
先求出不等式组的解集，根据不等式组有且仅有个偶数解，求出的取值范围，求出方程组的解，再根据方程组有整数解得出答案即可．
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，能求出的范围是解此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
由题意得：是的倍数，是的倍数，
，，，且，，为整数，
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
的最大值为，
故答案为：．
根据四位数的特点，先写出，的值，再根据代入验证法求出，，的值，再计算的值．
本题考查了因式分解的应用，理解新定义和验证法是解题的关键．
19.【答案】解：
；
两边都除以，得，
开平方，得，
解得，．
【解析】先计算平方、立方、立方根和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减；
先运用等式的性质化二次项系数为，再开平方求解．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
20.【答案】解：，
化简，得：，
，得：，
解得，
将代入，得：，
原方程组的解是；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是．
【解析】先将方程组化简，然后根据加减消元法解方程组即可；
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法和解不等式组的方法．
21.【答案】证明：对顶角相等， 已知，
，
；
解：，
，
又，
，
，
，
又，
．
【解析】根据对顶角相等，得到等于的同位角，通过“同位角相等两直线平行”即可证明；
通过“两直线平行，同位角相等”得到，再用“同位角相等，两直线平行”得到和的位置关系，即可得到．
本题主要考查了平行线的性质和平行线的判定定理，熟练地掌握平行线地性质和判定定理是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：由统计图可知，本次共调查了人，
故答案为：．
由统计图可知，组人数为人，
组人数为人，
补全统计图如图所示
由题意知，组所对应的扇形圆心角度数为，
组所对应的扇形圆心角度数为．
由题意知，人，
估计该校睡眠时间不足小时的学生有人．
根据统计图中组的人数与占比，然后计算即可；
根据组人数占比为，求出组人数，然后作差求出组人数，最后补全统计图即可；
根据组人数的占比乘以计算求解即可；
根据两组人数的占比乘以总人数即可解答．
本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、画条形统计图、用样本估计总体等知识点，从统计图中获取正确的信息是解题的关键．
23.【答案】解：
如图所示：
由图可知：；；．
，三角形的面积为，
，
，
，．
【解析】将的三个顶点分别向右平移个单位长度，然后再向上平移个单位长度，连接各点，可以得到；
利用网格，找到各点横纵坐标即可找到三个顶点的坐标；
由于以、、为顶点的三角形得高为，底为，利用三角形的面积公式即可求出的长，从而求出的长．
本题考查了作图--平移变换，要注意找到关键点，将关键点平移，然后连接关键点即可．
24.【答案】解：设彩色地砖采购块，单色地砖采购块，由题意，得
解得：．
答：彩色地砖采购块，单色地砖采购块；
设购进彩色地砖块，则单色地砖购进块，由题意，得
，
解得：．
故彩色地砖最多能采购块．
【解析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时认真分析单价数量总价的关系建立方程及不等式是关键．
设彩色地砖采购块，单色地砖采购块，根据彩色地砖和单色地砖的总价为及地砖总数为建立二元一次方程组求出其解即可；
设购进彩色地砖块，则单色地砖购进块，根据采购地砖的费用不超过元建立不等式，求出其解即可．
25.【答案】
【解析】解：令，．
原方程组化为，
解得：，
把代入，，得，
解得：，
原方程组的解为；
在中，
令，，
则可化为，
且解为，
则有，
，
故答案为：．
结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即，即可求解；
结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为则有，求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组．
26.【答案】解：，
，，
，，
，；
，，
，，
，
点，
，
且，
四边形是平行四边形，
的面积等于平行四边形面积的三分之一，
，
解得：或，
当为或时，的面积等于平行四边形面积的三分之一；
如图，当点在线段上时，，
理由：过作，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在的上面时，，
理由：过作，
，
，
，
，
，
，
综上所述：当点在线段上时，，当点在的上面时，．
【解析】由非负性可求，，即可求解；
由三角形的面积公式和面积关系列出方程可求解；
如图，当点在线段上时，过作，如图，当点在的上面时，过作，根据平行线的性质即可得到结论．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，非负数的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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