2014-2015学年高一上学期北师大版数学期末考试数学试题

2014-2015学年高中数学北师大版期末模拟试卷 必修一
评卷人
得分
一、选择题（题型注释）
1．函数f（x）=的零点的个数： （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
2．满足M｛a1, a2, a3｝,且M ∩｛a1 ,a2, a3｝={a3}的集合M的子集个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知全集为，集合，，则( ）
A． B．
C． D．
4．已知符号函数则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知函数的定义域为M，的定义域为N，则（ ）
A． B． C． D．
6．设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“类对称点”，则的“类对称点”的横坐标是
A．1 B． C．e D．2·1·c·n·j·y2·1·c·n·j·y
7．已知x， y， R，且，则的最小值是（ ）
A．20 B．25 C．36 D．47【来源：21·世纪·教育·网】
8．用表示非空集合A中的元素个数，定义．若，，且，由a的所有可能值构成的集合为S，那么C（S）等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
评卷人
得分
二、填空题（题型注释）
11．，则取值范围是 ．
12．集合,若集合, 则实数的取值范围是 .
13．已知, 则的最小值为 .
14．已知函数是上的减函数，则的取值范围是__________.
15．函数在上为增函数，则实数道的取值范围是__________.
16．已知；；.则的大小关系是（从大到小排列）__________.
17．已知的定义域为，则的定义域为__________.
18．已知，则的值域为__________.
19．已知，其中为常数，若，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
20．定义在上的函数，如果存在函数为常数），使得对一切实数都成立，则称为的一个承托函数．现有如下命题：21·世纪*教育网【来源：21·世纪·教育·网】
①对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能无数个；
②=2为函数的一个承托函数；
③定义域和值域都是的函数不存在承托函数；
其中正确命题的序号是____________．
评卷人
得分
三、解答题
21．（本小题满分14分）某民营企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资成正比，其关系如图①；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.www-2-1-cnjy-com
（1）分别将、两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
（2）该公司已有10万元资金，并全部投入、两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？2-1-c-n-j-y21世纪教育网版权所有
22．（本小题满分14分）已知，函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：对于任意的，都有.
23．（本小题满分12分）在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．
（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用
（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
24．（本题满分14分）已知函数的值满足，对任意实数x、y都有
，且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0（1）求的值，判断的奇偶性并证明；
（2）判断在（0，＋∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若且，求a的取值范围。
参考答案
1．B.
【解析】根据函数y=（如下图），再结合y=1图像交点共7个. 故选B．
考点：函数的零点.
2．B.
【解析】集合中只含有一个元素a3，即，M子集为、，故选B.
考点：集合的运算.
3．D.
【解析】，，所以，于是 ．∴选.
考点:集合的运算.
4．B
【解析】，时，，解得；当时，；当时，，即无解．故函数的零点有2个．故选B．
考点：函数性质，零点
5．A
【解析】，，故，故选A
考点：集合及其运算
6．B
【解析】由于，则在点P处切线的斜率.
所以切线方程为
，
则，.
当时，在上单调递减，所以当时， 从而有时，；
当时，在上单调递减，所以当时， 从而有时，；
所以在上不存在“类对称点”. 当时，，所以在上是增函数，故
所以是一个类对称点的横坐标. （可以利用二阶导函数为0，求出，则）
故选择B
考点：函数性质，新定义问题
7．C
【解析】由于
则（当且仅当即时取等号）.故选C
考点：柯西不等式，最值
8．A
【解析】由于的根可能是2个，3个，4个，而|A－B|＝1，故只有3个根，
故，，故选A.
考点：集合的性质
9．D．
【解析】
试题分析：：；：，
即实数的取值范围是．
考点：函数与方程．
10．D．
【解析】
试题分析：由题意可知：，，∴．
考点：1．一元二次不等式；2．对数函数的定义域；3．集合的交集．
11．
12．
【解析】
试题分析：
先分别画出集合，表示的平面图形，集合A表示一个正方形，集合B表示一个圆.如图所示，其中，，欲使，只须A或B点在圆内即可，∴或，21教育网21教育网
解得：或，即
考点：简单的线性规划问题
13．
【解析】
试题分析：从所给式子的几何意义考虑，即找点到（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）四点的距离之和最小（其中），显然当，时距离之和最小为21cnjy.com
考点：两点间距离公式的应用
14．
【解析】
试题分析：设，，由题意可知：在都为减函数，所以且，解得，再有，解得，最后的取值范围是.
考点：分段函数的单调性.
15．
【解析】
试题分析：设，则开口向上，对称轴为，则原题实际等价于，即所求的取值范围是.
考点：对数函数和二次函数复合的问题应用.
16．
【解析】
试题分析：，，，故.
考点：指数函数和对数函数比较大小（运算）.
17．
【解析】
试题分析：由于的定义域为，则，故的定义域为.
考点：函数的定义域.
18．
【解析】
试题分析：函数的图像对称轴为，开口向上，而在区间上，所以最小值为，最大值为，所以在上值域为.21世纪教育网版权所有21cnjy.com
考点：二次函数闭区间上求最值.
19．D
【解析】
试题分析：设，显然为奇函数，而且，，则，因为，，所以.
考点：函数的奇偶性.
20．①
【解析】
试题分析：对于①，若就是它的一个承托函数，且有无数个，再如就没有承托函数，所以①正确；对于②
所以，所以不是的一个承托函数，故错误对于③如存在一个承托函数，故错误；
考点：1．新定义函数；2．一次函数、指数函数的性质．
21．（1）A、B两种产品的利润函数分别为，；
（2）甲产品投资万元，乙产品投资万元时，能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元.
【解析】
试题分析：（1）据题意，产品的利润函数可设为，
产品的利润函数可设为.
由图知，，
∴，
∴，.
（2）设投入乙产品的资金为万元，投入甲产品的资金为
（万元），企业获得的总利润万元，则
.
当且仅当，即，，
答：当甲产品投资万元，乙产品投资万元时，能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元.
考点：数学建模、二次函数、函数最值。
22．（Ⅰ）的单调递增区间为,单调递减区间为,；
（Ⅱ）略。
【解析】
试题分析：（Ⅰ）函数的定义域为,，
因为，所以，当，或时，；
当时，．
所以，的单调递增区间为,单调递减区间为,.
（Ⅱ）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，，
所以，当时，．
由，可得．
所以当时，函数在区间上是增函数，
所以，当时，．
所以，当时，
对于任意的，都有，，所以．
当时，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
所以，当时，．
所以，当时，
对于任意的，都有，，所以．
综上，对于任意的，都有．
考点：导数与函数、函数的单调性、极值、最值、等价转化。
23．（1）见解析；（2）6；
【解析】
试题分析：利用基本不等式解实际问题的步骤：:（1）设出变量，把所求最大值或最小值表达成所设变量的函数；（2）确定函数的定义域；（3）在定义域内利用基本不等式，求出函数的最值；（4）写出实际问题的答案．特别注意当利用基本不等式求最值时，若等号成立的条件不在函数的定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据函数的单调性求解．21·cn·jy·com21·cn·jy·com
试题解析：
（1）设题中比例系数为，若每批购入台，
则共需分批。每批价格为20元，
（2）由（1）知
（元）
当且仅当
故每批购入6张书桌可以使资金够用。
考点：基本不等式在实际应用题的应用．
24．（1），为偶函数；
（2）f（x）在（0，＋∞）上是增函数，证明详见解析；
（3）
【解析】
试题分析：（1）通过对条件的观察，发现可对、适当赋值便可求出及判断的奇偶性；（2）设，∵，,从而，进而求出函数的单调性；（3）由题意得，结合，得到，从而得到答案.www.21-cn-jy.comwww.21-cn-jy.com
试题解析：解：（1）令，可得 2分
令y＝－1，则，∵，∴，故为偶函数. 5分
（2）f（x）在（0，＋∞）上是增函数。 6分
证明：设，∴，由题设知，且，
∵
又∵
∴f（x1）＜f（x2），
故f（x）在（0，＋∞）上是增函数. 9分
（3）∵f（27）＝9，而
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，即，
∴ 14分
考点：函数奇偶性和单调性的综合应用.