2023-2024学年江苏省南通市启东市某校高二（上）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南通市启东市某校高二（上）期初数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知过，两点的直线与过，两点的直线互相垂直，则点有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
2. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是( )
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，圆：和圆：的位置关系是( )
A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
4. 已知函数，在上的值域为( )
A. B. C. D.
5. 已知向量满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆．若两定点、的距离为，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为( )
A. B. C. D.
7. 已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 若圆：与圆：的公共弦的长为，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. 中点的轨迹方程为 D. 中点的轨迹方程为
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知复数，则( )
A. B.
C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 为纯虚数
10. 下列说法中，正确的有( )
A. 过点且在、轴截距相等的直线方程为
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 过点并且倾斜角为的直线方程为
11. 已知函数，则下列的范围满足不等式的是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的单调递增区间为
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知圆：上的两点，关于直线对称，那么______．
14. 若直线：与直线：平行则实数 ______ ．
15. 已知，，若点在线段上，则的最大值是______ ．
16. 直线与曲线有且有一个公共点，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
中，．
求；
若，求周长的最大值．
18. 本小题分
解决下列问题：
一直线被两直线：，：截得线段的中点是，求此直线方程；
过点的直线交轴、轴的正半轴于、两点，求使：面积最小时的方程．
19. 本小题分
已知圆：的圆心在点，点，求；
过点的圆的切线方程；
点是坐标原点，求的面积．
20. 本小题分
已知圆，圆，，分别为两圆的圆心．
Ⅰ求圆和圆的公共弦长；
Ⅱ过点的直线交圆与，，且，求直线的方程．
21. 本小题分
已知线段的端点的坐标为，端点在圆：上运动．
求线段的中点的轨迹方程；
过点的直线与圆有两个交点、，当时求直线的斜率．
22. 本小题分
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深人而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线论一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．基于上述事实，完成以下两个问题：
已知，，若，求点的轨迹方程；
已知点在圆上运动，点，探究：是否存在定点，使得恒成立，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：过，两点的直线的斜率不存在，
，
，即，解得，，
故点有无数个．
故选：．
根据已知条件，结合斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．
由题意利用两条直线平行的性质求出，再利用两条平行直线间的距离公式求得结果．
【解答】
解：由题意直线与直线平行，
可得，即，
则直线可化为，
所以两直线之间的距离为，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：已知圆：的圆心坐标为，半径，
圆：的圆心坐标为，半径，
两圆的圆心距，由，
所以两圆相交．
故选：．
求出两圆的圆心和半径，求出圆心距，判断圆心距与两圆半径之间的关系，进而判断两圆的位置关系．
本题主要考查圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为函数，，
设，则．
所以原函数化为，
由二次函数的对称轴为，
所以当时，函数取得最小值，
当或时，函数取得最大值为，
所以所求函数的值域为．
故选：．
通过换元令，，把问题转换为求二次函数的值域问题．
本题考查了的对数函数、二次函数的应用，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，可得，即，
，
则，
故，
又，所以与的夹角为．
故选：．
利用两向量的垂直关系及向量的夹角公式即可求解．
本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查轨迹方程求解，属于基础题．
以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设，依题意可得，即可求出圆的半径，则面积可求．
【解答】
解：以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则．
设，依题意有，，
化简整理得，，
即，
即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
圆的面积为．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：，
，
而已知，
，即
，，则，
故选：．
由题意利用两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得，从而求得的值．
本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：若圆：与圆：，
两圆方程相减可得直线的方程为，即，
因为圆的圆心为，半径为，且公共弦的长为，
则到直线的距离为，所以，解得，故AB错误．
由圆的性质可知直线垂直平分线段，所以到直线的距离即为中点与点的距离，
设中点坐标为，因此，即，故C正确，D错误；
故选：．
两圆方程相减求出直线的方程，进而根据弦长求得，即可判断选项；然后由圆的性质可知直线垂直平分线段，进而可得到直线的距离即为中点与点的距离，从而可求出中点的轨迹方程，因此可判断选项．
本题考查轨迹方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，
则，，故A错误，B正确；
则在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限，故C正确；
，为纯虚数，故D正确．
故选：．
根据已知条件，先求出，即可依次求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：过点且在、轴截距相等的直线方程为，或者，故A错误；
直线在轴上的截距为，故B正确；
由于直线 的斜率为，故它的倾斜角为，故C错误；
过点并且倾斜角为的直线方程为，故D正确，
故选：．
由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的截距的意义，得出结论．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，直线的截距的意义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的性质以及利用函数的单调性解不等式的问题，属于中档题．
画出函数的图象，由图象可知函数在上为增函数，再利用函数的单调性简化不等式，即可得到结果．
【解答】
解：因为函数，画出函数图象如图所示：
所以函数在上为增函数，
由，得，
即
解得，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由图可得：，
又，，
，，
，
将代入得，
即，，
即，，
，
，
，
对于，最小正周期，故正确；
对于，令，，解得，，
可得的单调递增区间为，，故不正确；
对于，为最大值，所以的图象关于直线对称，故正确．
对于，函数的图象向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为：，故不正确；
故选：．
根据已知中函数的图象，可确定的值，分析出函数的周期，确定的值，将代入解析式，结合，可求出值，进而求出函数的解析式，即可逐一判断各个选项．
本题考查的知识点正弦型函数解析式的求法，考查了正弦函数的图象和性质，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出，和值，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系，属于基础题．
由题意可得，圆心在直线上，把圆心坐标代入直线方程即可求得的值．
【解答】解：由题意可得，圆心在直线上，
，解得，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：直线：与直线：平行，
，解得或，
经验证当时，直线重合，符合题意．
故答案为：．
由直线的平行关系可得的方程，解方程验证可得．
本题考查直线的一般式方程和直线的平行关系，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：设，则，
点是线段上的任意一点，
的取值范围是．
所以最大值为．
故答案为：．
设，利用斜率计算公式可得，，即可得出答案．
本题考查了直线斜率公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查由直线与圆的位置关系求解参数，属于中档题；
直线是一条斜率为，截距为的直线；曲线是一个圆心为，半径为的右半圆．它们有且有一个公共点，作出它们的图形，则易得的取值范围．
【解答】
解：直线是一条斜率为，截距为的直线；
曲线变形为且
显然是一个圆心为，半径为的右半圆．
根据题意，直线与曲线有且有一个公共点
作出它们的图形，
当直线与曲线在第四象限相切时：
则得的取值范围是或．
故答案为：．
17.【答案】解：设的内角，，所对的边分别为，，，
因为，
由正弦定理可得，
即为，
由余弦定理可得，
由，可得；
由题意可得，
又，可设，，，
由正弦定理可得，
可得，，
则周长为
，
，
当，即时，的周长取得最大值．
【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查三角恒等变换和三角函数的性质，考查化简运算能力，属于中档题．
运用正弦定理得到，再利用余弦定理可得所求角；
可设，，，运用正弦定理和三角恒等变换，将周长转化为关于的函数，结合余弦函数的性质，可得周长的最大值．
18.【答案】解：设该直线与直线的交点为，与直线的交点为，
由中点坐标公式可得，
则该直线与直线的交点为，直线斜率为，
则直线方程为：，即，
故此直线方程为．
设直线的方程为，则，，
直线过点，，则，
当且仅当时取等号，，，
当且仅当，时，取最小值，此时直线的方程为，
即．
【解析】设该直线与直线的交点为，与直线的交点为，根据中点坐标公式列出方程组，求得，，再求得该直线的斜率，从而可得直线方程；
设直线的方程为，由题意得到利用基本不等式得到，代入三角形面积公式即可求解．
本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，属于基础题．
19.【答案】解：圆：方程化为标准方程为：
，
圆心，半径，
，
点在圆外，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，与圆相切；
当过点的圆的切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离，
解得，此时直线的切线方程为，即，
综上，过点的圆的切线方程为或．
，，，
，，
，
，
的面积为
．
【解析】本题考查圆的切线方程的求法，向量的夹角及三角形面积公式，属于中档题．
求出点在圆外，当过点的圆的切线没有斜率时，切线方程为；当过点的圆的切线的斜率存在时，设切线方程为，则圆心到切线的距离，由此能求出过点的圆的切线方程．
由，，，得，，由此能求出的面积．
20.【答案】解：Ⅰ两圆相减可得，
圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，
圆和圆的公共弦长；
Ⅱ圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，
设直线的方程为，即，，或，
直线的方程为，或．
【解析】Ⅰ两圆相减可得公共弦方程，即可求圆和圆的公共弦长；
Ⅱ圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式，求出，即可求直线的方程．
本题考查圆与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．
21.【答案】解：设，，由中点公式得，化为：，
因为在圆上，所以，即，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
设直线的斜率为，则的方程为：得，化为：，
因为，为等腰直角三角形，圆心到的距离为，
由点到直线的距离公式得：，
解得．
【解析】设，，由中点公式得，化为：，代入圆的方程即可得出；
设的斜率为，则的方程为：，即，因为，为等腰直角三角形，圆心到的距离为，由点到直线的距离公式得：，解出即可得出．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
22.【答案】解：设，则，，
故，故，
化简得点的轨迹方程为；
假设存在定点，使得恒成立，设，，
故，，
因为，故，
即，而点在圆上，即，
对照可知，，解得
故存在定点，使得恒成立．
【解析】由两点间距离公式列式求解；
设出点坐标后列式化简，与圆的方程对比求解，
本题考查动点轨迹方程的求法，考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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