2023-2024学年江西省南昌市新建二中（新星计划）高一（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省南昌市新建二中（新星计划）高一（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 与终边相同的最小正角是( )
A. B. C. D.
2. 若，，则角的终边在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 要得到的图象，只需将的图象( )
A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度
4. 已知是偶函数且在上单调递增，则满足的一个值的区间可以是( )
A. B. C. D.
5. 函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6. 荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过天的“进步值”，看作是经过天的“退步值”，则经过天时，“进步值”大约是“退步值”的参考数据：，，( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
7. 已知函数的最小正周期，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数的说法错误的是( )
A. 函数的图像关于直线对称
B. 函数在上单调递减
C. 函数在上有两个极值点
D. 方程在上有个解
8. 已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
10. 如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，，则下列说法正确的是( )
A. 的长度为
B. 扇形的面积为
C. 当与重合时，
D. 当时，四边形面积的最大值为
11. 函数的部分图像如图所示，则下列说法中错误的是( )
A. 的最小正周期是
B. 是奇函数．
C. 在上单调递增
D. 直线是曲线的一条对称轴
12. 已知函数，若存在实数使得方程有五个互不相等的实数根分别为，，，，，且，则下列说法正确的有( )
A.
B.
C.
D. 的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数的定义域为______．
14. 写出一个同时具有下列性质的函数 ______ ．
；，，；是奇函数．
15. 从，，，，这五个数中任取两个数，则这两个数相等的概率为______ ．
16. 已知函数恰有个零点，则的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
若点在角的终边上，求，，的值．
18. 本小题分
已知函数．
求函数图像的对称中心以及函数的单调递减区间；
若，，求角的大小．
19. 本小题分
江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀最强大脑现已进入联盟抢分赛环节，由强选手组建的凌霄、逐日、登峰联盟三支队伍每队四人将进行“进”的登顶预备战，每局有两队参加，没有平局．按强历次成绩统计得出，在一局比赛中，逐日联盟胜凌霄联盟的概率为，逐日联盟胜登峰联盟的概率为，凌霄联盟胜登峰联盟的概率为联盟抢分赛规则如下：按抽签决定由逐日联盟和凌霄联盟先进行第一局的比赛，然后每局的获胜队与未参加此局比赛的队伍进行下一局的比赛．在比赛中，有队伍先获胜两局，就算取得比赛的胜利，直接晋级强的全国脑王争霸赛．
Ⅰ求只进行两局比赛，逐日联盟晋级强的概率；
Ⅱ求只进行两局比赛，就能确定晋级强联盟队的概率；
Ⅲ求逐日联盟晋级强的概率．
20. 本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
若方程在上恰有三个不相等的实数根，，，求的取值范围和的值．
21. 本小题分
已知函数的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．
求的最小正周期和单调递增区间；
若函数为偶函数，求的最小值．
若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围．
22. 本小题分
已知函数，．
若对任意，都有，求的取值范围；
若对任意，存在，使得成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：与终边相同的角为，，
由题意，解得，，
所以的最小值为，此时，
故与终边相同的最小正角是．
故选：．
利用终边相同的角的定义得到，，然后令，求出的值，代入求出此时的即可．
本题考查了终边相同的角的应用，解题的关键是掌握终边相同角的表示，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角函数值的符号，涉及到诱导公式的应用，属于基础题．
由已知根据诱导公式求出，的符号，由此即可判断．
【解答】
解：若，，
则，，则在第二象限，
故选B．
3.【答案】
【解析】解：因为，
要得到的图象，只需将的图象向左平行移动个长度单位．
故选：．
首先利用诱导公式统一函数名，即，然后利用平移变换即可求解．
本题主要考查诱导公式和三角函数图象的变换．属基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，是偶函数且在上单调递增，
则，
必有，则原不等式变形可得，
分析选项：符合．
故选：．
根据题意，由函数的奇偶性和单调性，分析可得原不等式等价于，变形可得，由此分析选项可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及三角函数的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
，即函数是奇函数，排除；
当时，，
即当时，函数的图象在轴的上方，显然不满足，满足．
故选：．
根据给定的函数，利用奇偶性可排除两个选项，再利用当时，函数值的正负即可判断作答．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，经过天时，“进步值”为，“退步值”为，
则“进步值”与“退步值”的比值，
两边取对数可得，
又，，，
，
即经过天时，“进步值”大约是“退步值”的倍．
故选：．
“进步值”与“退步值”的比值，再两边取对数计算即得解．
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为，，所以，解得，
又为正整数，所以，所以，
所以函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数，
由于函数的图象关于原点对称，故，，即，，
又，所以，，所以，
对于，，故A正确；
对于，当时，，
因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，故B正确；
对于，，，，，
令，，，，则在上有两个极值点，C正确；
对于，令，因为，所以，
显然在内只有，两个解，即方程在上只有两个解，故D错误；
故选：．
先求出解析式，利用的性质对应判断即可．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由，得，，
即函数的单调递减区间为，
令，则函数其中一个的单调递减区间为：，
函数在区间内单调递减，
则满足，得，所以的取值范围是．
故选：．
根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于：因为，
，
所以，故A错误；
对于：因为在上单调递增且，
所以，故B正确；
对于：在上单调递增，
，所以，故C正确；
对于：因为，，
所以，故D错误．
故选：．
利用诱导公式及特殊角的三角函数值判断，利用幂函数的性质判断，根据正切函数的性质判断，利用指数函数的性质判断．
本题主要考查不等关系的判断，函数性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：依题意圆的半径，，，，
所以弧的长度为，故A正确：
因为，所以扇形的面积，故B错误；
当与重合时，即，则，则，故C正确；
，
因为，所以，
所以当，即时，四边形面积的最大值为，故D正确．
故选：．
利用弧长公式判断，利用扇形面积公式判断，利用锐角三角函数判断，根据三角形面积公式及三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的性质计算出面积最大值，即可判断．
本题考查弧长公式，扇形面积公式，锐角三角函数，三角恒等变换公式，正弦函数的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由函数图像可知，，，故A正确；
，
所以，
当时，，
即，则，
故，所以．
，是偶函数，故B错误；
时，，是正弦函数的单调递减区间，故C错误；
由，得曲线的对称轴方程为，
当时，得直线是曲线的一条对称轴，故D正确．
故选：．
由图像求函数解析式，再根据选项研究函数相关性质．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：作出在上的图象，如图所示：
因为，
又因为方程有五个互不相等的实数根，
所以，故A错误；
对于，由题意可得，且有，，
所以，
所以，当，即时，等号成立，故正确；
对于，由题意可得，
由可知，
所以，故正确；
对于，由题意可知：与关于对称，与关于对称，且，，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，，
所以，
即，故正确．
故选：．
作出在上的图象，由方程有五个互不相等的实数根，结合图象可得，从而判断；
由对数的性质可得，从而有，结合基本不等式即可判断；
由题意可得，结合，即可判断；
由余弦函数的对称性可得，，代入得，利用二次函数的性质及不等式的性质可求得的范围，从而判断．
本题考查了对数函数、余弦函数、二次函数的性质，也考查了不等式的性质、基本不等式的应用及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
13.【答案】，
【解析】解：根据函数，可得，即，故有，，
故函数的定义域为，，
故答案为：，．
由题意，可得，再利用正切函数的图象和性质，求出函数的定义域．
本题主要考查正切函数的图象和性质，求函数的定义域，属于基础题．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：由题设性质知：在上递减，周期为的奇函数，
显然满足上述性质．
故答案为：答案不唯一．
根据已知函数性质，结合正弦型函数的性质写出一个满足要求的函数即可．
本题主要考查函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，
所以这五个数中任取两个数，则这两个数相等的概率．
故答案为：．
先利用诱导公式化简已知的个数，找出相等的数，再利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：当时，函数在上没有零点，要使得函数恰有个零点，
则在区间上有个零点．
，函数的图象如下图所示：
由图可知，要使得在区间上有个零点，
则，解得．
当时，若，则，易知当时，有一个零点．
则函数在区间上有个零点，由上图可知，．
解得
综上，的取值范围为．
故答案为：．
讨论、两种情况，结合函数的图象，得出的取值范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：点在角的终边上，
故为第二象限角，，结合，，，
求得，．
综上可得，，，的值分别为，，．
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得，，的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
18.【答案】解：函数，
令，整理得，
所以函数的对称中心为．
令，
整理得：，
故函数的单调递减区间为．
由于，
且满，故，
所以，
整理得．
【解析】直接利用余弦型函数的性质的应用求出函数的对称中心和函数的单调区间；
利用函数的关系式和函数的对应关系的应用求出函数中角的大小．
本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ记“只进行两局比赛，逐日联盟晋级强”为事件，
则只进行两局比赛，逐日联盟晋级强的概率为：
．
Ⅱ记“只进行两局比赛，就能确定晋级强联盟队”为事件，
则只进行两局比赛，就能确定晋级强联盟队的概率为：
．
Ⅲ记“逐日联盟晋级强”为事件，则事件包含三种情况：
逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟胜登峰联盟，概率为，
逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟负登峰联盟，登峰联盟负凌霄联盟，逐日联盟胜凌霄联盟，
概率为，
逐日联盟负凌霄联盟，凌霄联盟负登峰联盟，登峰联盟负逐日联盟，逐日联盟胜凌霄联盟，
概率为，
逐日联盟晋级强的概率为：
．
【解析】Ⅰ记“只进行两局比赛，逐日联盟晋级强”为事件，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出只进行两局比赛，逐日联盟晋级强的概率．
Ⅱ记“只进行两局比赛，就能确定晋级强联盟队”为事件，利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出只进行两局比赛，就能确定晋级强联盟队的概率．
Ⅲ记“逐日联盟晋级强”为事件，则事件包含三种情况：逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟胜登峰联盟，逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟负登峰联盟，登峰联盟负凌霄联盟，逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟负凌霄联盟，凌霄联盟负登峰联盟，登峰联盟负逐日联盟，逐日联盟胜凌霄联盟，由此能求出逐日联盟晋级强的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：由函数的图象可得，且，解得，
所以，即，
将点代入的解析式，可得，
解得，
因为，可得，所以．
方程在上恰有三个不相等的实数根，
则函数与的图象在上有三个不同的交点，
设交点的横坐标分别为，，
函数在上的图象如下图所示：
由图可知，，
由对称性可知，，
故．
【解析】由函数图象可得，，求得，将点代入的解析式，求得，即可求得函数的解析式；．
将问题转化为函数与的图象在上有三个不同的交点，结合图象以及对称性求解即可．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：函数
两相邻对称中心之间的距离为
则，解得．
函数的图象关于直线对称，
则，解得，
由于，则，
故函数的关系式为．
所以．
令，
解得，
函数的单调递增区间为：．
函数为偶函数，
则，
解得，
当时，．
关于的方程在区间上总有实数解，
即在区间上总有交点，
由于，
则，
则，
即，
解得．
故的取值范围是．
【解析】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，求参数的取值范围问题的应用．
利用已知条件和函数的性质求出函数的解析式，进一步确定周期和单调区间．
利用正弦型函数的性质和奇偶性确定的最小值．
将问题转化为在区间上总有交点，根据正弦型函数的性质确定参数的取值范围．
22.【答案】解：令，因为，可得，
对任意，都有不等式，
即为对任意，不等式恒成立，即不等式恒成立，
即对任意，不等式恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当，不等式恒成立，即为恒成立，
因为函数在上为单调递增函数，所以，所以；
当，不等式恒成立，即为恒成立，
因为函数在上为单调递增函数，所以，所以，
综上可得，实数的取值范围为．
设的值域为，的值域，
因为对任意，存在，使得成立，所以，
由的开口向上，且对称轴为，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，即，
又由函数，
当，可得，则
当时，函数的值域为，即
要使得，则满足且，解得；
当时，函数的值域为，即
要使得，则满足且，解得；
当时，，即函数的值域为，此时不满足舍去，
综上可得，实数的取值范围是．
【解析】令，得到，转化为不等式恒成立，分、和，三种情况讨论，结合函数单调性和最值，即可求解；
设的值域为，的值域，根据题意转化为，利用二次函数的性质求得，再利用三角函数的性质，求得，分类、和，求得函数的值域，结合，列出不等式组，即可求解．
本题考查了二次函数、正弦函数的性质，也考查了转化思想、分类讨论思想，属于中档题．
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