2008年中考考前复习指导(浙江省台州市)
文档属性
| 名称 | 2008年中考考前复习指导(浙江省台州市) |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 698.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2008-01-12 20:41:00 | ||
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文档简介
2008年中考考前复习指导讲稿
立足基础、关注变化、重视应用、提高能力
——2008年中考考前复习指导
今年是我们台州市进入课程改革中考的第五年。大家关注着中考数学考什么？怎么考？这里我想从知识梳理、关注热点、命题趋势、复习建议等四块给大家作一个考前辅导。
一、知识梳理
《数学课程标准》将7-9年级的考查内容分为基础知识与基本技能、数学活动过程、数学思考、问题解决等四个领域
领域1：基础知识与基本技能
一）数与代数
1、数与式
重点考查：
★掌握实数与数轴上的点的一一对应关系，借助数轴比较★实数的大小、理解相反数和绝对值。
★科学记数法在生活中的应用。
★掌握实数的基本运算。
★具有良好的数感，估算、近似计算，数值规律探索。
例1、（宝应 ）若家用电冰箱冷藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃，则冷冻室的温度（℃）可列式计算为
? A． 4―22 ＝－18 Ｂ．22－4＝18
Ｃ． 22―（―4）＝26 Ｄ．―4―22＝－26
点评：本题涉及对正负数的理解、简单的有理数运算，试题以应用的方式呈现，同时也强调“列式”，即过程。选（A）
例2、(绍兴市)实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球，它的直径约为0.00000156m，则这个数用科学记数法表示是( )
(A) (B) (C) (D)
点评：如何表示“很大”或“很小”的数是生活中常见的问题，科学记数法是一个现代人必备的知识，要正确的“科学记数”应掌握好科学记数法的要点：中①a的范围 ②n的确定。选（C）
例3、计算：
点评：这是中考试卷中常见的题，涉及到绝对值、幂、根式运算等。
结果：3
例4、(日照市)如果2m、m、1－m 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排 列，那么m的取值 范围是
(A) m＞0 (B) m＞ (C) m＜0 ( D) 0＜m＜
点评：本题综合了实数的大小比较、解不等式组等考点，渗透了数形结合的思想。选（C）
考查重点：
1、用代数式表示简单问题的数量关系。
2、整式与分式的有关运算。
3、对代数式的实际背景或几何意义的解释。
4、因式分解。
例5、(泰州市)下列运算正确的是
A． ; B．(－2x)3=－2x3 ;
C．(a－b)(－a＋b)=－a2－2ab－b2 ;
D．
评析：本题意在考查学生幂的运算法则、整式的乘法、二次根式的运算等的掌握情况。
选 （D）
例6、(日照市)已知－1＜b＜0， 0＜a＜1，那么在代数式a－b、a+b、a+b2、a2+b中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是
(A) a+b (B) a－b (C) a+b2 (D) a2+b
评析：本题一改将数值代人求值的面貌，要求学生有良好的数感。选（B）
例7、（05宝应）一套住房的平面图如右图所示，其中卫生间、厨房的面积和是
A．4xy Ｂ． 3xy Ｃ．2xy Ｄ．xy
评析：本题是一道数形结合题，考查了平面图形的面积的计算、合并同类项等知识，同时又隐含着对代数式的理解。选（B）
例8、（05 河南）有一道题“先化简，再求值：，其中。”小玲做题时把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
点评：化简可发现结果是，因此无论还是其计算结果都是7。 可见现在的考试特别重视应用和理解。
例9、（河北）扑克牌游戏。
小明背对小亮按下列四个步骤操作：
第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步 从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步 从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是 。
点评：本题以游戏的形式，考查对代数式的理解，寓数学于娱乐之中，体现了数学的知识性与趣味性。本题可用代数式及其运算得到答案，也可以通过撕纸片或其他方式，根据以上步骤实际操作得出答案。
不妨设分发左、中、右三堆牌均为a张，且a>2，经过第二、三步后，左堆牌为（a-2）张，中间一堆牌有（a+3）张，操作第四步，则中间一堆剩下的张数为（a+3）-(a-2)=5
从上述例题的分析，大家应能发现新课程下对数与式的考查发生了下列变化：
对概念简单的识记---------对概念的理解
单纯繁琐的计算----------算法算理的掌握
单纯关注计算---------关注模型、表示与计算
2、方程与不等式
★分析具体问题中的数量关系，列出方程或方程组并会求得其解并能检验结果是否合理。
★会解一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）及一元二次方程。
★分析具体问题中的数量关系，列一元一次不等式或不等式组，并能在数轴上表示不等式的解集或利用数轴确定不等式组的解集。
例1、(绍兴市)在等式的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立。则第一个方格内的数是___________
例2、关于x的不等式的解集如图所示，则a的取值是（ ）
考查内容：不等式的解集与数轴上所表示的数集之间的对应。解为-1
例3、已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根
(1) 求k的取值范围;
(2) 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值.
点评：本题考查了解一元二次方程的解法、根的判别式、不等式的整数解等知识点。
例4、（05广东茂名市）今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨；
⑴该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来
⑵若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？
考查内容：根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式组解决实际问题。
解：设安排x辆甲种货车，（10-x）辆乙种货车
得，方案1：甲车5辆，乙车5辆，费用16500元；方案2：甲车6辆，乙车4辆，费用16200元；方案3：甲车7辆，乙车3辆，费用17900元；
例5、（安徽）某电视台在黄金时段的2min广告时间内，计划插播长度为15s和30s的两种广告，15s广告每播1次收费0.6万元，30s广告每播1次收费1万元。若要求每种广告播放不少于2次。问：
⑴两种广告的播放次数有几中安排方式？
⑵电视台选择哪种方式播放收益较大？
点评：本题只能列出一个二元一次方程，因此需要学生对二元一次方程的解有深刻的理解。体现了“从知识立意向能力立意转变”的新命题理念。
解：（1）设15s广告播放x次，30s广告播放y次。
15x+30y=120 而x,y均为不小于2的正整数，
∴ 或
（2）方案1 4.4万元；方案2 4.2万元。
方程（组）主要关注：方程模型的意义；解方程的过程和思想方法；运用方程模型解决问题；方程与函数和不等式的联系等。
3、函数
★对函数实质的理解-----刻画变量之间的关系，即有定性的判断又有定量的刻画。
★函数表示法（特别是图象法、列表法），对图象深刻性的理解。
★待定系数法求函数解析式。
★函数性质的分析，在此基础上对变量的变化规律进行初步预测。
★函数在实际问题中的应用。
例1、如图是某抛物线的部分图象，由图象可知一元二次方程的两个解分别是______和_______。
点评：抛物线图象的轴对称性、能否建立函数与方程的实质性联系。
例2、若M、N、P三点都在函数（ｋ＜0）的图象上，则的大小关系为（ ）
A、＞＞ B、＞＞
C、＞＞ D、＞＞
点评：本题旨在考查学生对反比例函数性质的掌握情况，画出图象便一目了然，渗透了数形结合的数学思想。
例3、（05 枣庄）水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．
下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和—个出水口；③3点到4点，关门两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
选（D）
例4（04·青海湟中县实验区卷）“已知函数的图象经过点A（c，－2）， 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
[解答] （1）根据的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得
解得
所以所求二次函数解析式为图象如图所示。
（2）在解析式中令y=0，得，解得
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是
令x=3代入解析式，得
所以抛物线的顶点坐标为
所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。
函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。
二）空间与图形
1、图形的认识
1）、掌握平行线、角等的有关性质。
2）、理解两点间距离、点到直线的距离、两条平行线间距离等概念。
3）、掌握三角形、四边形、圆等图形基本性质。
4）、能进行有关三角形、四边形、圆等基本几何量的计算。
5）、熟悉基本几何体的展开图、三视图。
6）掌握相似图形的性质与判定。
7）能解直角三角形。
例1、(05浙江)如图所示，直线a∥b，则∠A= 度．
例2、（05梅州）如图2，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC= 。
例3、如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形，∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P，使点P落在∠AOB的平分线上。
考查内容：多角度、深层次理解角平分线概念，以及与角平分线概念相联系的其它概念和原理。
例4、如图，一个顶角为40 的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则_________；
例5、（05江西）某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示。
（1）问长方形的长应为多少？
（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
（3）请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字（说明：要画出必要的，反映解题思路的辅助线）。
例6、(05 长沙市)下列说法中，正确的是
A 、等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形．
B 、正方形的对角线互相垂直平分且相等
C 、矩形是轴对称图形且有四条对称轴
D 、菱形的对角线相等
例7、（05 十堰）使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是
A、正六边形地砖 B、正五边形地砖 C、正方形地砖 D、正三角形地砖
点评：平面镶嵌问题要抓住“围绕某点几个多边形的内角和是360°”
例8、 (05 温州市)在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______。
答案 4
例9、（05日照）如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是
S1、S2 ，那么S1、S2的大小关系是
(A) S1 > S2 (B) S1 = S2
(C) S1点评：正方形性质+估算
例10、(杭州市)给出下列四个结论：①边长相等的四边形内角相等；②等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形；③三角形的内切圆和外接圆是同心圆；④圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线。其中正确结论的个数有( )
(A) 0 个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个
例11、(长沙市)如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是
A．
B．
C．
D．
例12、（05 广西）如图，某传送带的一个转动轮的半径为20cm，当物体从A传送20cm至B时，那么这个转动轮转了 _________ 度
例13、(绍兴市)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，则sin∠ABD的值是( )
(A) (B) (C) (D)
例15、 （05 无锡） 如图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（ ）
A、 B、 C、 D、
例16、由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图（如图）
（1）请画出这个几何体的一种左视图；
（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请写出n的所有可能值。
点评：本题涉及三视图的有关知识，经历了“视图-----实物------视图”的抽象过程，渗透了分类思想。
（1）
（2）n=8, 9, 10, 11.
例17、如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型。设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（ ）
A．R＝2r B．R=9/4r C．R＝3r D．R＝4r
考查内容：几何体与其平面展开图形之间的关系、初步的空间观念。
2、图形与变换
1)会观察与分析 2）能操作与探究
主要知识点：
对称变换、平移、旋转变换、位似变换
例18、（05 黄石）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
例19、（05 宝应）小明家有一个10m×12m的矩形院子，中央已有一个半径为3m的圆形花圃（其圆心是矩形对角线交点），现欲建一个半径为1.2m且与花圃相外切的圆形水池，使得建成后的院子、花圃、水池构成的平面图形是一个轴对称图形．符合上述条件的水池的位置有
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个
点评：以家庭庭院的平面设计为背景，将“轴对称”与“圆与圆的位置关系”巧妙地相结合，既有定性的“策划”又有定量的计算，体现了数学来源于生活的理念。同时设计图案，美化生活，也是我们学习的目的之一。本题的得分率不高，不少学生选择了“C”，其原因在于只是“定性”地画了一下，却没有“定量”地去算。
应选（B）
例20、（05青岛）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）
答案：D
例21、如图所示，求圆被一条折线所分成的两部分面积之差。(网格由边长为1的正方形构成)
考查内容：综合运用圆的轴对称性和中心对称性
了解现实生活中的平移现象和实例，理解平移的基本性质：对应点连线平行且相等。能按照要求作出简单平面图形平移后的图形，并利用平移进行图案设计。
例22、（05 宝应）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A，B，C，，则点A，的坐标为 ．
【点评】本题考查了解直角三角形、图形与坐标等知识。要注意各象限点的坐标的特征。
例23、（05 十堰）如图，在△ABC中，∠A=110°，∠B=35°，请你应用变换的方法得到一个三角形使它与△ABC全等，且要求得到的三角形与原△ABC组成一个四边形。
(1) 要求用两种变换方法解决上述问题；（写出变换名称，画出图形即可）
(2) 指出四边形是什么图形？（不要求证明）
说明：如用两种平移变换方法解决此题算一种变换；两种变换是指平移，旋转等不同变换。
（1）①以BC为对称轴作对称变换（或以BC的中点O把△ABC绕O点旋转180°
②把△ABC绕AC的中点O旋转180°即可（或把△ABC绕AB的中点O旋转180°即可）
考查内容：轴对称图形的基本性质、能按照要求作出简单平面图形平移（旋转）后的图形，利用平移（旋转）进行图案设计。
例25、（05 宝应）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°。以点A 为位似中心，把△ABC放大2倍后得△AB，C，，则∠B等于
?A．36° Ｂ．54° Ｃ．72° Ｄ．144°
【点评】本题考查对位似概念的理解，要明确位似是相似的特例。
例26、（05 无锡）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.
（1）将图1中的格点△ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A1B1C1，请你在图1中画出△A1B1C1.
（2）在图2中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1的格点三角形.
（1）
（2）答案不唯一.
点评：这是一道简单的实践操作题，主要考查学生对图形变化知识的理解。当图形与网格结合时，线段的长度、角的度数要充分利用。
例27、一位祖籍扬州的台商，应市政府的邀请，回乡考察投资环境，谁知家乡的变化竟让他迷路了．他驱车在一条东西走向的公路上由西向东缓慢地前行着．车载GPS（全球卫星定位系统）显示（如图），市政府所在地（点C）在其（点A）南偏东45°的方向上，相距4km．他继续向东前进到达点B的位置，发现市政府所在地在其南偏西60°的方向上．
（1）试求该台商由西向东行进的路程AB是多少千米？（结果保留根号）
（2）在台商行驶的公路南侧有两条与之平行，且距离这条公路分别约是0.5km的向阳大道和3km的兴宝大道，请估算市政府所在地靠近哪条大道？
【点评】本题以投资商迷路为背景（让学生感受到扬州巨大变化的同时，又体会到“现代人行路”中的数学），考查学生对应用问题的数学化、数学建模思想的掌握情况。解题的关键是将实际问题转化成解直角三角形问题。同时本题还考查了学生估算的技能。
例28、（05 南京）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点。已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=3m。求点B到地面的垂直距离BC。
3、图形与坐标
★在坐标平面中，会根据坐标描出点的位置，或者由点的位置写出它的坐标。
★能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
★在同一直角坐标系中，明白图形变换与点的坐标变化之间的关系。
例29、如图，如果士所在位置的坐标为（－1,－2），相所在位置的坐标为（2,－2），那么，炮所在位置的坐标为 .
考查内容：能否建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
例30、（05 潍坊）如图，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点落在点处，已知,，则点的坐标是（ ）．
A．（，） B．（，3）
C．（，） D．（，）
4、图形与证明
★重视传统几何内容的考查。（如全等、相似等内容的要求并未降低）
★重视新课程中合情推理（如归纳、类比、统计推断等）和演绎推理（逻辑推理）。
例31、（05 扬州）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
1 AB=DE，②AC = DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF．
已知：
求证：
证明：
【点评】这是一道开放题。四个条件可组合成四个命题，其中有真有假，考生既要会证明真命题，还要会对假命题举反例加以否定，本题既考查了学生的基础知识，又考查了学生的创新能力。给学生提供了充分展示才能的空间，不同层次不同能力的学生可以给出不同的结果．
例32、 如图，△ABC，点D、E分别在AB、AC上，给出5个论断：①CD⊥AB，②BE⊥AC，③AE＝CE，④∠ABE＝30°，⑤CD＝BE。
（1）如果论断①、②、③、④都成立，那么论断⑤一定成立吗？答： 。
（2）从论断①、②、③、④中选出3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是 。（只要求写出论断序号）
（3）证明（2）中你写出的真命题。（画出图形，写出已知、求证，并加以证明。）
解答：（1）一定 （2）①③④ （3）作EFABEF=BE，EF=CD，即得证。
例33、某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形一定为正多边形”这个命题是否成立时，进行了一些讨论。甲同学在讨论中提到了圆内接矩形；乙同学找来了这样一个几何事实：如图一，△ABC是正三角形，，可以证明六边形ADBECF的各内角相等。丙同学认为当边数是5时这个命题是成立的，于是他猜想边数是7时这个命题仍然成立。
（1）你认为各内角都相等的圆内接多边形一定是正多边形吗？简要叙述你的理由。
（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图二）是正七边形。
（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）．
考查内容：理解反例的作用，并能借助恰当的反例证明一个命题是错误的；同时也会用简单的逻辑推理证明一个命题是正确的，具备初步的合情推理能力。
变化：
★强化了对基本图形的认识
★增加了图形变换、图形与坐标等内容
★证明的要求略有降低（特别是圆的有关证明）
★合情推理有所加强
三）统计与概率
1、统计
1）、强调对基本统计量的理解（如平均数、方差、众数、中位数、频数、频率等） 。
2）、统计图表的分析和绘制。
3）、掌握用样本估计总体的思想。统计的应用，能解决简单的实际问题。
例1、 小明同学5次数学单元测试的平均成绩是90分，中位数是91分，众数是94分，则两次最低成绩之和是______分。
点评：本题强调对几个基本统计量的理解，重点不是计算。
例2、不通过计算，比较下图中甲、乙两组数据的标准差_______。
点评：考察学生是否能够真正理解标准差的概念和意义，而不是能否准确记忆公式本身。
例3、记者从教育部获悉，今年全国普通高校招生报名人数总计723万．除少部分参加各省中专、中职、中技考试的考生外，参加统考的考生中有文史类、理工类、文理综合类．下面的统计图（图15）反映了今年全国普通高校招生报名人数的部分情况，请认真阅读图表，解答下列问题：
(1) 请将该统计图补充完整；(3分)
(2) 请你写出从图中获得的三个以上的信息；(3分)
(3) 记者随机采访一名考生，采访到哪一类考生的可能性较大？(2分)
考查内容：对图表绘制过程的理解、阅读图表并提取有用信息的技能
2、概率
1）、理解概率的意义。
2）、会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。
3）、会设计等效模拟实验。
例4、如图是由一转盘和箭头组成的装置，装置A上的数字分别是1、8、6，装置B上的数字分别是7、5、4，这两个装置除了表面数字外其它构造完全一样。现在你和另外一个人同时用力转动箭头，如果我们规定箭头停留在较大数字的一方胜出，那么你会选择哪一个装置呢？说说你的理由。
考查内容：能否灵活运用列举法比较事件发生概率的大小。
例5、在一个正三角形的每个顶点上各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始沿三角形各边朝其它顶点做直线运动，假设目标顶点是随机选择的且每只蚂蚁行进速度相同，为了研究蚂蚁互不相撞的概率，请你设计一种便于动手操作的等效实验进行模拟。
考查内容：理解大量重复实验中的频率与事件发生的概率之间的关系，并能够自主设计满足条件的概率模型。
变化：
★单纯统计量的计算-----对统计量的理解
★汇频率直方图-----对统计图表的分析
★强化了统计思想的应用
★增加了简单事件发生概率的计算
四）课题学习
★感受“问题情境－建立模型－求解－解释与应用”的基本过程，形成自己的一些研究问题的方法和经验，对相关数学知识有较深刻的理解和运用能力。（具体要求是会现场学习、实践活动、探究发现）。
例1、 在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图①所示）：
（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部 M 的仰角∠MCE =α；
（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN = m；
（3）量出测倾器的高度AC = h．
根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN．
如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图②）的方案：
（1）在图②中，画出你测量小山高度 MN 的示意图（标上适当字母）；
（2）写出你设计的方案．
答案：解：（1）正确画出示意图。
（2）①在测点A处安置测倾器，测得此时山顶M的仰角∠MCE＝α
②在测点A与小山之间的B处安置测倾器（A、B与N在同一条直线上），测得此时山顶M的仰角∠MCE＝β；
③量出测倾器的高度BC=BD=h，以及测点A、B之间的距离AB＝m。根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN。
考查内容：学习能力——通过阅读理解信息中所表现出来的数学内涵；根据任务的特征，设计合理可行的测量方案，表达实施过程，了解实施过程中存在的实际问题，从数学的角度的说明方案的正确性。
例2、课题研究：某种型号的肥皂，长、宽、高分别是16cm、6cm、3cm，一箱这种肥皂计30块.厂家请实验初中的同学为其设计一种包装纸箱，使该纸箱尽可能省料（接头忽略不计）.
九年级（4）班数学兴趣小组中的几名同学经过讨论，决定承担这次设计任务.他们正在讨论中，请你也来参与吧：
⑴ 张凯善于从简单的问题入手，他先研究了3块的情形，他发现有下列三种拼法：
请你协助他计算出三种情形下包装纸盒的表面积：
S1= , S2= , S3= .
通过计算与比较,张凯发现：要想让最后的大长方形的表面积最小，应
.
⑵ 李颖和王聪进一步研究了12块肥皂的情形,他们又提出了两点设计思路:
思路之一：∵12=1×12=2×6=3×4=2×2×3, ∴共有四类摆放方式,结合张凯的发现,可以找出每类摆放方式中面积最小的拼法.
思路之二: 可以通过比较不同类型摆放方式中三视图的面积和来确定采用哪种包装纸箱.
⑶ 请你利用上面的研究成果,设计出30块肥皂的包装纸箱，使该纸箱尽可能省料（接头忽略不计）.
设计要求：① 画出摆放示意图（仿第⑴题画法,内部虚线不必画，标出数据）或大长方体的三视图（要求标出数据）；
② 计算该纸箱的表面积.
点评：本题首先从3块肥皂的不同的摆放方案探究表面积最小的方法，进而推广到12块、30块的情形，考察了学生的操作、分析、归纳的能力，同时又考察了新教材中立体图形的分割、拼补及三视图等有关知识。
领域2：数学活动过程
通过让学生经历某种形式的数学活动（包括动手操作和思想实验等），考查学生在活动过程中所表现出来的思维水平，对活动对象和相关知识方法的理解深度。
主要看能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并借助某种方式证明猜想的合理性。
例1、（05 潜江）我们做一个拼图游戏：用等腰直角三角形拼正方形。请按下面规则与程序操作：
第一次：将两个全等的等腰直角三角形拼成一个正方形；
第二次：在前一个正方形的四条边上再拼上四个全等的等腰直角三角形（等腰直角三角形的斜边与正方形的边长相等），形成一个新的正方形；
以后每次都重复第二次的操作-------
⑴请你在第一次拼成的正方形的基础上，画出第二次和第三次拼成的正方形图形；
⑵若第一次拼成的正方形的边长为a，请你根据操作过程中的观察与思考填写下表：
操作次数（n） 1 2 3 4 --- n
每次拼成的正方形面积（s） a2 ---
例2、如图，正方形网格中的每一个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.
⑴在图①中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为2、、3；
⑵在图②中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
⑶观察图③中带阴影的图形，请你将它适当剪开，重新拼成一个正方形(要求：在图③中用虚线作出，并用文字说明剪拼方法)；
⑷观察正方体图形，沿着一些棱将它剪开，展开成平面图形. 若正方体的表面积为12，请你在图④中以格点为顶点画出一个正方体的平面展开图. (只需画出一种情形)
点评：本题借助“纸笔作图”这种简单的数学活动，考查学生能否在活动中从“无序的试误”走向“有序的操作”，这当中当然要加进很多理性思考，整个过程需要进行观察分析、动手验证、类比归纳等多种合情推理后。
领域3：数学思考表现在
1、描述现实世界，具有初步的数感、符号感和抽象思维能力（数和代数）。
2、对现实空间及图形有较丰富的认识，具有初步的空间观念和形象思维能力（空间和图形）。
3、能运用数据描述信息，做出合理推断，具有统计观念（统计与概率）。
4、通过观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，作出合情推理和演绎推理（推理能力）
例1、（05陕西）应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”。该园占地面积约为800000m2，若按比例尺1：2000缩小后，其面积大约相当于（ ）
A.一个篮球场的面积 B.一张乒乓球台台面的面积
C.《陕西日报》的一个版面的面积
D.《数学》课本封面的面积
考查内容：考查学生的估算能力，能否将数字与具体事物建立起联系既是理解数的标志，也是建立数感的表现。
例2、小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2ｍ和3ｍ的同心圆（如左图），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判。
⑴你认为游戏公平吗？为什么？
⑵游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算某一不规则图形（如右图）的面积呢？”。请你设计方案，解决这一问题。（要求补充完整图形，说明设计步骤、原理，写出估算公式）
例3、（05大连）如图1，正方形ABCD和正方形BEFC。
操作：M是线段AB上一动点，从A点至B点移动，DM⊥MN，交对角线BF于点N。
探究：线段DM和MN之间的关系，并加以证明。
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
①M是线段AB的中点；②M、N分别是线段AB、BF的中点。
点评：本题是先猜想结论，后证明自己的猜想。经过画图，容易猜想出线段DM与MN是相等的关系，这样问题就是如何证明线段相等，而证明线段相等的方法可由不同的思维角度探索出不同的思路。
思路1：要证明DM＝MN，可以考虑证明DM、MN各自所在的两个三角形全等，而图中MN在钝角△MBN中，DM在直角三角形中，故需要构造一个钝角三角形。于是有下列解法1。
解法1 猜想DM＝MN，证明如下：
如图3，在AD边上截取AH＝AM，由正方形ABCD和BECF可得。
AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，∠CBF＝45°，
则DH＝MB，
∠DHM＝∠MBN＝135°。
∵DM⊥MN，∴∠AMD＋∠1＝90°，
又∵∠AMD＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴△DHM≌△MBN，∴DM＝MN。
思路2：同上分析，也可构造MN所在的一个直角三角形与DM所在Rt△ADM全等。于是有下面的解法2。
解法2 猜想DM＝MN，证明如下：
如图4，过N作NG⊥BE，垂足为G。
则∠MGN＝∠A＝90°。
∵DM⊥MN，∴∠AMD＋∠1＝90°。
又∵∠AMD＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴Rt△ADM∽Rt△GMN，
∴＝
设AD＝a，BM＝x,NG＝y，
由∠NBG＝45°，则BG＝NG＝y（a>x）。
∴＝＝＝1，
∴a＝x＋y,即AD＝MG。
∴△DHM≌△MBN，∴DM＝MN。
（若a＝x，DM＝AD，MN＝AB，则DM＝MN仍然成立。）
思路3：要证明DM＝MN，还可构造一个以此为两腰的等腰三角形，则结论得证。而直接连接DN，不易证明，考虑将问题转化为证明DM与MN都等于第三条线段。于是有解法3。
解法3 猜想DM＝MN，证明如下：
如图5，作△MBN关于直线AE的轴对称图形△MBP，连结DB交于MN于G点，则有：
△MBN≌△MBP，∠2＝∠1＝45°，
∠P＝∠MNB，MN＝MP。
由正方形ABCD和BEFC，则
∠MBN＝∠DBC＋∠CBN＝45°＋45°＝90°，
∴∠DBP＝∠DBN＋∠1＋∠2＝180°
∴D、B、P三点在同一直线上。
又∵DM⊥MN，∠DGM＝∠NGB，
∴∠3＝∠MNB，∴∠3＝∠P，
∴DM＝MP，∴DM＝MN。
从以上的分析、证明可以看出，此题的解决方法并不很难，它的关键还是需要我们能牢固掌握基础和基本的分析思维方法，并能熟练地应用。所以在平时应多注意“双基”的学习和训练。
领域 4：问题解决体现在
1、能够从数学的角度提出问题、理解问题。
2、具有解决问题的基本策略和多样策略。
3、具有初步评价与反思的意识。
例1、如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是3个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=，BC=1，连接BF，分别交AC，DC，DE于点P，Q，R。观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答（根据提出问题的层次和解答过程评分）。
点评：这是一个开放性问题。浅层次的问题如“求证：∠PCB=∠REC”等，深层次的问题如“△ABP∽ △DQR”等
例2、（05 江西）已知抛物线与轴的交点为A、B（B在A的右边），与轴的交点为C.
(1)写出时与抛物线有关的三个正确结论;
(2)当点B在原点的右边,点C在原点的下方时,是否存在△BOC为等腰三角形的情形 若存在,求出的值；若不存在,请说明理由；
（3）请你提出一个对任意的值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分有差异）.
点评：第（1）考查对抛物线性质掌握情况；
（2）存在，m=2
（3）如：对任意m,其顶点都在y=1上；抛物线与x轴两交点的距离是一定值等。
二、关注热点
1、突出应用。试题关注学生的生活实际，注重数学问题实际背景的设置，具有浓郁的本土气息。力求体现“从生活走向数学，从数学走向生活”的新课改理念，符合新课标“学习资源和实践机会无所不在，无时不有”的理念。
例1（05宝应）如图，墙OA、OB的夹角AOB＝120 ，
一根9米长的绳子一端栓在墙角O处，另一端栓着一只小狗，则小狗可活动的区域的面积是______米2。（结果保留π）。
点点点评：这是一道基础题。考察了扇形的面积计算公式，但本题给出了一个实际问题的背景，体现了数学与实际生活密不可分。要求学生会将学到的数学知识用于生活。这是课改试题的重要的特点。
例2（05杭州）有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“08”，和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”，则他们就给婴儿奖励，假设该婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
点评：本题是一道概率计算题，难度虽不大，但背景新颖，与“2008北京奥运”联系起来，富有时代的气息，去年不少试题还以“润扬大桥”、“神舟6号”为背景，也渗透对学生的思品教育。
例3（05宿迁）在“五一黄金周”期间，小明和他的父母坐游船从甲地到乙地观光，在售票大厅看到表（一）， 爸爸对小明说：“我来考考你，你能知道里程与票价之间有何关系吗？”小明点了点头说：“里程与票价是一次函数关系，具体是……”．
在游船上，他注意到表（二），思考一下，对爸爸说：“若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的速度和水流速度．”爸爸说：“你真聪明！”亲爱的同学，你知道小明是如何求出的吗？请你和小明一起求出：
（1）票价（元）与里程（千米）的函数关系式；
（2）游船在静水中的速度和水流速度．
里程（千米） 票价（元）
甲→乙 16 38
甲→丙 20 46
甲→丁 10 26
… …
出发时间 到达时间
甲→乙 8:00 9:00
乙→甲 9:20 10:00
甲→乙 10:20 11:20
… … …
点评：本题是精心编制的一道以旅游为实际背景的应用题。本题巧妙地将一次函数与列方程组解应用题编织在一起，计算量不大，解决此题的关键在于学生能否从图表中获取有用信息，能否正确分析信息。在第（1）小题中只需从三组数量关系中选取两组就可确定一次函数关系；在第（2）小题中需要从图表中分析出顺流和逆流的时间分别是多少？这是本题的难点。
2、实验操作。动手操作型的折纸与剪纸，图形的分割与拼合、几何体的展开与叠合，几乎触及了每份试卷，从单一的选择、填空，到综合性较强的探索猜想、总结规律，判断论证存在与否，以及分类讨论等综合题，几乎无处不在。
例4（05荆门）有一张矩形纸片ABCD，AB＝2.5，AD＝1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如下图），则CF的长为（ ）
A、0.5 B、0.75 C、1 D、1.25
点评：本题考察了学生观察图形、分析图形的能力，能够从图形的两次变化发现边角之间的关系，利用全等、相似等性质求出CF的长。
例5（山东济南）如图（1），是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边分别为a，b，斜边为c，图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能够验证勾股定理的图形。
（1）画出拼成这个图形的示意图，写出它是什么图形；
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能利用图（1）中所给的直角三角形拼成另一种证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图。（无需证明）
点评：这是一道动手拼图，利用图形面积验证勾股定理的操作题，解题的关键是如何把给定的图形拼成一个熟悉的简单的能够运用公式计算其面积的几何图形。通过拼图，利用面积法验证公式、定理是近几年中考命题的热点。
解答：（1）拼图的结果如图（3），它是一个直角梯形。
（2）
∵
又 S△I+S△Ⅱ+S△Ⅲ
=
∴
整理，得
（3）能用图（1）中的直角三角形拼出证明勾股
定理的图形，拼图结果如图（4）所示。
例6（05福建南平）如图，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC、AC交于D，E两点(D、E不与B、A重合)．
(1)求证：MD=ME；
(2)求四边形MDCE的面积：
(3)若只将原题目中的“AC=BC=2”改为“BC=a，AC=b，(a≠b)”其它都不变，请你探究：MD和ME还相等吗 如果相等，请证明；如果不相等，请求出MD∶ME的值．
点评：三角尺每名学生都有，在解决这类问题时就可以利用身边的工具进行操作、演示，探究图形变化中的不变性，寻找规律进行解题。
3、探求规律。学习数学的过程，是不断探求规律、应用规律解决问题的过程，我们通常说的数学公式、法则、定理，就是前人在数学研究中探求而得到的应用广泛的规律，这些仅是数学海洋中极小部分，所有数学问题都有规律可循。
探求规律是一种创造性的综合思维活动，它涉及分类、转化、对称、数形结合、方程、函数等众多的数学思想方法。
例7（05绵阳）分析图①,②,④中阴影部分的分布规律，按此规律在图6③中画出其中的阴影部分。
例8（05天津）计算：
……
点评：本题属猜想数字规律型的题。显然，直接计算太麻烦了，肯定是需要一些技巧的。首先观察每个括号中的分母，3、8、15、……99之间，没有倍数关系，它们之间的差也不是均等的。不过我们可能通过分解来观察：3=1×3，8=2×4，15=3×5，这样我们可猜出下一个数是24=4×6，最后一个数是99=9×11。这样就可把每个括号中的式子算出，再把分母分解，达到约分的目的。
因为
所以，原式=……
做完本题你思考过=？；=？
此类问题需要根据题目中所给的数据、数字、等式等寻找出规律，才能解答。主要考查学生运算、观察、发现规律的能力。解决这类问题的方法是：先从简单的式子开始，观察数字（或等式、不等式两边的数据）随着“序号”、“编号”、项数、等式的增加而变化的情况，找出异同，分析、发现、探索变化的规律，得出一般性结论，该类题多为填空题或计算题。
例9（05重庆）如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点，第三层每边有三个点。依次类推。
（1）试写出第n层所对应的点数；
（2）试写出n层六边形点阵的总点数；
（3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？
点评： 本题的关键是找出层数与其对应的点数之间的关系。
层数、总点数之间的关系，不妨从简单情况入手，列表分析：
层数n 第n层上的点数 总点数 数据分析
1 1 1 1=3×1×0+1
2 6 7 7=3×2×1+1
3 12 19 19=3×3×2+1
… … … …
观察上表，可以看出，在第“n层上的点数”一栏中，只有第一层是1，其余的点数都是6的倍数（倍数比层数少1），所以第n层的点数是6（n-1）（n≥2）。对“总点数”进行的数据分析中可以看出，加数1和乘数3是各式所共有的，其他数据与层数的对应关系也比较明显。
解：（1）第n层上的点数为6（n-1）（n≥2）
（2）n层六边形点阵的总点数为 3n（n-1）+1
(3 )令3n（n-1）+1=169，得n=8
根据图形提供的信息探索规律型问题，是近几年流行的一种探索规律型问题。解决这类问题，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性结论。
4、方案设计。主要考察学生能把实际问题转化为数学问题，用数学的眼光去看待和分析事物。笛卡尔有句名言“所有的问题根本上都可以看成是数学问题”，充分诠释了数学与现实生活的密切联系，在中考复习中，我们要通过典型问题去学会应用知识分析理解现实问题，提高数学应用的意识和能力，方案设计问题的确能考察学生这一方面的能力。
例10(05丽水)某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．
（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；
（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；
（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由．
解析:（1）作图工具不限，只要点A、B、C在同一圆上；即找出△ABC所在的圆的圆心。
（2）作图工具不限，只要点A、B、C在同一平行四边形顶点上；即利用割补法以AB或AC、BC为对角线作平行四边形。
（3）∵r=OB= = ，∴S⊙O= r2= ≈16.75，
又S平行四边形=2S△ABC=2× ×42×sin60º=8 ≈13.86,
∵S⊙O > S平行四边形 ∴选择建圆形花坛面积较大.
点评：本题利用三角形的外接圆和平行四边形的性质来解决这一实际问题，不同的设计方案考察了学生的作图、计算、识别的能力。
例11、（05 沈阳）如图所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：
方案一：； 方案二：.
经测量得千米，千米，千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15°.
已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米.
⑴求出河宽AD（结果保留根号）；
⑵求出公路CD的长；
⑶哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.
点评：本题为几何型方案设计题，应先根据几何图形计算出各线段的长度，然后分别计算各方案所需的费用。
提示：（1）作BF⊥AD，AD=DF-AF=，
（2）过点B作BG⊥CD，易证BFDG是正方形，可求得CG=8，得CD=14
（3）方案1：40万元； 方案2：万元
例12、（05乌兰察布市）如图,一块等腰三角形的小钢板下脚料,其中AB=AC.工人师傅要将它做适当的切割,重新拼接后焊成一个面积与原下脚料面积相等的矩形工件。
(1)请根据上述要求,设计出将这块下脚料分割成两块或三块的两种不同的拼接方案(在图中画出切割时所沿的虚线,以及拼接后得到的矩形,保留拼接的痕迹)；
(2)若要把该三角形下脚料切割后焊成一个正方形工件(只切割一次),则该三角形需满足什么条件 并按(1)要求画图。
5、图形变换
例13、（05苏州）下图可以
看作是一个等腰直角三角形
旋转若干次而生成的，则
每次旋转的度数可以是（ ）
A． B． C． D．
例14、（05无锡）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.
①设AB的长为a，PB的长为b（b②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.
（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.
例15、（05扬州）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．
分析：本题以每位学生都有的30°三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力。问题的设计，考虑到中考的选拔功能，用三角板旋转构成了一个问题串，图形简洁，便于操作，层层推进，第1问入手容易，第2问深入困难，有一定的区分度，使不同层次的学生有不同的收获。同时通过本题的解答，一使同学们领悟到学习数学的方法，二是提醒教师学生在平时的教学中要注意变式练习。
解答：（1）证明：在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，所以∠B=∠C=30°， 因为∠B+∠BPE+∠BEP=180° 所以∠BPE+∠BEP=150°因为∠EPF=30°，又因为 ∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°所以∠BPE+∠CPF=150°所以∠BEP=∠CPF，所以△BPE∽△CFP （两角对应相等的两个三角形相似）
（2）①△BPE∽△CFP
②△BPE与△PFE相似。下面证明结论：
同（1）可证△BPE∽△CFP得=，而CP=BP 因此=，又因为∠EBP=∠EPF， 所以△BPE∽△PFE （ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
③ 由②得 △BPE∽△PFE 所以∠BEP=∠PEF， 分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM =PN。连AP，在Rt△ABP中，由∠B =30°，AB=8可得AP=4， 所以PM=2， 所以PN=2
所以 s = PN×EF=m
点评：本题的第1问不难，用两角相等即可证得相似（但也有少数学生尽管能将“同角的补角相等”背得很熟，却不能类比出这儿的两角相等），第2问中的①由第1问类比即得，②要用到①中对应边成比例代换后方可证得，③一般学生都能想到作高，却想不到求这条高要用到角平分线的性质、解直角三角形等知识。这一列问题串既遵循学生的一般思维规律，同时又一个问题比一个问题更具隐蔽性。既渗透了分类、从特殊到一般、函数等数学思想，同时又让学生在解决问题的过程中领悟到学习数学、研究数学的方法。
本题实际完全是由课本上几个重要知识点的基本题构建而成的，从证明两个三角形相似，到利用三角函数解三角形，到角平分线性质的运用，课本上无处不在。因此在中考复习中夯实“三基”（基础知识、基本技能、基本思想）仍显得异常重要。
拓展：其实本题还可以做不少拓展演变。如可以引导学生思考若点P不是中点，以上结论还成立吗？三角板旋转到特殊位置有些什么发现？
上述几道例题都利用了在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角的性质。解题的关键就是要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等，它的应用很广泛，可以用来求角度、求弧长、求面积、证明线段相等、证明角相等、证明位置关系等。
6、思想方法
数学思想方法是数学的灵魂，新课程的中考越来越重视思想方法的渗透，而初中阶段的整体思想、分类思想、数形结合、函数、方程、迁移类比等思想方法在各地中考试卷中得到了充分的体现。
例16、某公园规定，团体购买门票，票价如下表：
购票人数 1～50 51～100 100元以上
每人门票价 13元 11元 9元
现有两个旅游团，若分别购票，两团共需付门票费1314元；若合在一起作为一个团体购票，需付门票费1008元，问这两个旅游团分别有多少人？
41人，71人
例17、（淮安）如图1，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙。（盒壁的厚度忽略不计）
（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图1，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连结AE、EC1，昆虫乙如果沿路径A→E→C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细本会其中的道理，并在图1中画出另一条路径，使昆虫乙从顶上噗A沿这条路径爬行，同样可以厚短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）
（2）假设昆虫甲从顶点C1以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2cm/s的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1s）
[点评] （1）试题考查的是正方体的侧面展开图中A、C1两点间距离最短问题，将图1中正方形BCC1B1绕棱BB1顺时针旋转90°构成矩形ACC1A1，又已知E为BB1中点，由此我们可以类推正方体的十二条棱中必有符合条件的其他中点。（注意“无盖”二字）
例18、（05南昌）已知：如图，在直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点的坐标为（1，0），直线l过点A(1,0)与⊙C切于D点。（1）求直线l的解析式；
（2）在直线上存在点P，使△APC为等腰三角形，求P点的坐标。
（1）
（2）分类：
例19、如图，1，所对应点为A，P。点P关于A的对称点为C，则C表示的数为 。
例19、（2005·泰州）教室里有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水。假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的。两个放水管同时打开时，他们的流量相同。放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着。饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）的函数关系如图②所示：
（1）求出饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）（x≧2）的函数关系式；
（2）如果打开第一个水管后，2min时恰好有4个同学接完水，则前22个同学接完水共需要几分钟？
（3）按（2）的放法，求出在课间10min内班级中最多有多少个同学能及时接完水？
点评： 本题是从图象中获取信息，求出函数解析式，并解决问题，因此必须读懂图象。从图象中可以发现，图象是一条直线，也就是说是一个一次函数的图象。又当x=2时，y=17；x=12时，y=8。所以用待定系数法，可求出解析式。
[解答] （1）（2≦x≦）。（2）7min。（3）当x=10时，存水量
用去水所以课间10 min最多有32人及时接完水。由题意可得0.25z≦8.2，z≦32.8。
当然，新中考的热点题型还有很多，如：探究开放题、图表信息题、数形结合题等。如何应对？我认为只要大家
立足基础 关注变化 重视应用 提高能力
就一定能笑对这些层出不穷、千变万化的考题。最后祝大家在2008年中考中取得满意的成绩！
○
—2
—1
·
·
0
·
A
B
C
图2
E
D
F
图2
第21题
中考数学第 1 页 共 15 页
立足基础、关注变化、重视应用、提高能力
——2008年中考考前复习指导
今年是我们台州市进入课程改革中考的第五年。大家关注着中考数学考什么？怎么考？这里我想从知识梳理、关注热点、命题趋势、复习建议等四块给大家作一个考前辅导。
一、知识梳理
《数学课程标准》将7-9年级的考查内容分为基础知识与基本技能、数学活动过程、数学思考、问题解决等四个领域
领域1：基础知识与基本技能
一）数与代数
1、数与式
重点考查：
★掌握实数与数轴上的点的一一对应关系，借助数轴比较★实数的大小、理解相反数和绝对值。
★科学记数法在生活中的应用。
★掌握实数的基本运算。
★具有良好的数感，估算、近似计算，数值规律探索。
例1、（宝应 ）若家用电冰箱冷藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃，则冷冻室的温度（℃）可列式计算为
? A． 4―22 ＝－18 Ｂ．22－4＝18
Ｃ． 22―（―4）＝26 Ｄ．―4―22＝－26
点评：本题涉及对正负数的理解、简单的有理数运算，试题以应用的方式呈现，同时也强调“列式”，即过程。选（A）
例2、(绍兴市)实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球，它的直径约为0.00000156m，则这个数用科学记数法表示是( )
(A) (B) (C) (D)
点评：如何表示“很大”或“很小”的数是生活中常见的问题，科学记数法是一个现代人必备的知识，要正确的“科学记数”应掌握好科学记数法的要点：中①a的范围 ②n的确定。选（C）
例3、计算：
点评：这是中考试卷中常见的题，涉及到绝对值、幂、根式运算等。
结果：3
例4、(日照市)如果2m、m、1－m 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排 列，那么m的取值 范围是
(A) m＞0 (B) m＞ (C) m＜0 ( D) 0＜m＜
点评：本题综合了实数的大小比较、解不等式组等考点，渗透了数形结合的思想。选（C）
考查重点：
1、用代数式表示简单问题的数量关系。
2、整式与分式的有关运算。
3、对代数式的实际背景或几何意义的解释。
4、因式分解。
例5、(泰州市)下列运算正确的是
A． ; B．(－2x)3=－2x3 ;
C．(a－b)(－a＋b)=－a2－2ab－b2 ;
D．
评析：本题意在考查学生幂的运算法则、整式的乘法、二次根式的运算等的掌握情况。
选 （D）
例6、(日照市)已知－1＜b＜0， 0＜a＜1，那么在代数式a－b、a+b、a+b2、a2+b中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是
(A) a+b (B) a－b (C) a+b2 (D) a2+b
评析：本题一改将数值代人求值的面貌，要求学生有良好的数感。选（B）
例7、（05宝应）一套住房的平面图如右图所示，其中卫生间、厨房的面积和是
A．4xy Ｂ． 3xy Ｃ．2xy Ｄ．xy
评析：本题是一道数形结合题，考查了平面图形的面积的计算、合并同类项等知识，同时又隐含着对代数式的理解。选（B）
例8、（05 河南）有一道题“先化简，再求值：，其中。”小玲做题时把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
点评：化简可发现结果是，因此无论还是其计算结果都是7。 可见现在的考试特别重视应用和理解。
例9、（河北）扑克牌游戏。
小明背对小亮按下列四个步骤操作：
第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步 从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步 从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是 。
点评：本题以游戏的形式，考查对代数式的理解，寓数学于娱乐之中，体现了数学的知识性与趣味性。本题可用代数式及其运算得到答案，也可以通过撕纸片或其他方式，根据以上步骤实际操作得出答案。
不妨设分发左、中、右三堆牌均为a张，且a>2，经过第二、三步后，左堆牌为（a-2）张，中间一堆牌有（a+3）张，操作第四步，则中间一堆剩下的张数为（a+3）-(a-2)=5
从上述例题的分析，大家应能发现新课程下对数与式的考查发生了下列变化：
对概念简单的识记---------对概念的理解
单纯繁琐的计算----------算法算理的掌握
单纯关注计算---------关注模型、表示与计算
2、方程与不等式
★分析具体问题中的数量关系，列出方程或方程组并会求得其解并能检验结果是否合理。
★会解一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）及一元二次方程。
★分析具体问题中的数量关系，列一元一次不等式或不等式组，并能在数轴上表示不等式的解集或利用数轴确定不等式组的解集。
例1、(绍兴市)在等式的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立。则第一个方格内的数是___________
例2、关于x的不等式的解集如图所示，则a的取值是（ ）
考查内容：不等式的解集与数轴上所表示的数集之间的对应。解为-1
例3、已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根
(1) 求k的取值范围;
(2) 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值.
点评：本题考查了解一元二次方程的解法、根的判别式、不等式的整数解等知识点。
例4、（05广东茂名市）今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨；
⑴该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来
⑵若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？
考查内容：根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式组解决实际问题。
解：设安排x辆甲种货车，（10-x）辆乙种货车
得，方案1：甲车5辆，乙车5辆，费用16500元；方案2：甲车6辆，乙车4辆，费用16200元；方案3：甲车7辆，乙车3辆，费用17900元；
例5、（安徽）某电视台在黄金时段的2min广告时间内，计划插播长度为15s和30s的两种广告，15s广告每播1次收费0.6万元，30s广告每播1次收费1万元。若要求每种广告播放不少于2次。问：
⑴两种广告的播放次数有几中安排方式？
⑵电视台选择哪种方式播放收益较大？
点评：本题只能列出一个二元一次方程，因此需要学生对二元一次方程的解有深刻的理解。体现了“从知识立意向能力立意转变”的新命题理念。
解：（1）设15s广告播放x次，30s广告播放y次。
15x+30y=120 而x,y均为不小于2的正整数，
∴ 或
（2）方案1 4.4万元；方案2 4.2万元。
方程（组）主要关注：方程模型的意义；解方程的过程和思想方法；运用方程模型解决问题；方程与函数和不等式的联系等。
3、函数
★对函数实质的理解-----刻画变量之间的关系，即有定性的判断又有定量的刻画。
★函数表示法（特别是图象法、列表法），对图象深刻性的理解。
★待定系数法求函数解析式。
★函数性质的分析，在此基础上对变量的变化规律进行初步预测。
★函数在实际问题中的应用。
例1、如图是某抛物线的部分图象，由图象可知一元二次方程的两个解分别是______和_______。
点评：抛物线图象的轴对称性、能否建立函数与方程的实质性联系。
例2、若M、N、P三点都在函数（ｋ＜0）的图象上，则的大小关系为（ ）
A、＞＞ B、＞＞
C、＞＞ D、＞＞
点评：本题旨在考查学生对反比例函数性质的掌握情况，画出图象便一目了然，渗透了数形结合的数学思想。
例3、（05 枣庄）水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．
下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和—个出水口；③3点到4点，关门两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
选（D）
例4（04·青海湟中县实验区卷）“已知函数的图象经过点A（c，－2）， 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
[解答] （1）根据的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得
解得
所以所求二次函数解析式为图象如图所示。
（2）在解析式中令y=0，得，解得
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是
令x=3代入解析式，得
所以抛物线的顶点坐标为
所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。
函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。
二）空间与图形
1、图形的认识
1）、掌握平行线、角等的有关性质。
2）、理解两点间距离、点到直线的距离、两条平行线间距离等概念。
3）、掌握三角形、四边形、圆等图形基本性质。
4）、能进行有关三角形、四边形、圆等基本几何量的计算。
5）、熟悉基本几何体的展开图、三视图。
6）掌握相似图形的性质与判定。
7）能解直角三角形。
例1、(05浙江)如图所示，直线a∥b，则∠A= 度．
例2、（05梅州）如图2，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC= 。
例3、如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形，∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P，使点P落在∠AOB的平分线上。
考查内容：多角度、深层次理解角平分线概念，以及与角平分线概念相联系的其它概念和原理。
例4、如图，一个顶角为40 的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则_________；
例5、（05江西）某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示。
（1）问长方形的长应为多少？
（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
（3）请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字（说明：要画出必要的，反映解题思路的辅助线）。
例6、(05 长沙市)下列说法中，正确的是
A 、等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形．
B 、正方形的对角线互相垂直平分且相等
C 、矩形是轴对称图形且有四条对称轴
D 、菱形的对角线相等
例7、（05 十堰）使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是
A、正六边形地砖 B、正五边形地砖 C、正方形地砖 D、正三角形地砖
点评：平面镶嵌问题要抓住“围绕某点几个多边形的内角和是360°”
例8、 (05 温州市)在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______。
答案 4
例9、（05日照）如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是
S1、S2 ，那么S1、S2的大小关系是
(A) S1 > S2 (B) S1 = S2
(C) S1
例10、(杭州市)给出下列四个结论：①边长相等的四边形内角相等；②等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形；③三角形的内切圆和外接圆是同心圆；④圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线。其中正确结论的个数有( )
(A) 0 个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个
例11、(长沙市)如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是
A．
B．
C．
D．
例12、（05 广西）如图，某传送带的一个转动轮的半径为20cm，当物体从A传送20cm至B时，那么这个转动轮转了 _________ 度
例13、(绍兴市)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，则sin∠ABD的值是( )
(A) (B) (C) (D)
例15、 （05 无锡） 如图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（ ）
A、 B、 C、 D、
例16、由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图（如图）
（1）请画出这个几何体的一种左视图；
（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请写出n的所有可能值。
点评：本题涉及三视图的有关知识，经历了“视图-----实物------视图”的抽象过程，渗透了分类思想。
（1）
（2）n=8, 9, 10, 11.
例17、如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型。设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（ ）
A．R＝2r B．R=9/4r C．R＝3r D．R＝4r
考查内容：几何体与其平面展开图形之间的关系、初步的空间观念。
2、图形与变换
1)会观察与分析 2）能操作与探究
主要知识点：
对称变换、平移、旋转变换、位似变换
例18、（05 黄石）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
例19、（05 宝应）小明家有一个10m×12m的矩形院子，中央已有一个半径为3m的圆形花圃（其圆心是矩形对角线交点），现欲建一个半径为1.2m且与花圃相外切的圆形水池，使得建成后的院子、花圃、水池构成的平面图形是一个轴对称图形．符合上述条件的水池的位置有
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个
点评：以家庭庭院的平面设计为背景，将“轴对称”与“圆与圆的位置关系”巧妙地相结合，既有定性的“策划”又有定量的计算，体现了数学来源于生活的理念。同时设计图案，美化生活，也是我们学习的目的之一。本题的得分率不高，不少学生选择了“C”，其原因在于只是“定性”地画了一下，却没有“定量”地去算。
应选（B）
例20、（05青岛）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）
答案：D
例21、如图所示，求圆被一条折线所分成的两部分面积之差。(网格由边长为1的正方形构成)
考查内容：综合运用圆的轴对称性和中心对称性
了解现实生活中的平移现象和实例，理解平移的基本性质：对应点连线平行且相等。能按照要求作出简单平面图形平移后的图形，并利用平移进行图案设计。
例22、（05 宝应）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A，B，C，，则点A，的坐标为 ．
【点评】本题考查了解直角三角形、图形与坐标等知识。要注意各象限点的坐标的特征。
例23、（05 十堰）如图，在△ABC中，∠A=110°，∠B=35°，请你应用变换的方法得到一个三角形使它与△ABC全等，且要求得到的三角形与原△ABC组成一个四边形。
(1) 要求用两种变换方法解决上述问题；（写出变换名称，画出图形即可）
(2) 指出四边形是什么图形？（不要求证明）
说明：如用两种平移变换方法解决此题算一种变换；两种变换是指平移，旋转等不同变换。
（1）①以BC为对称轴作对称变换（或以BC的中点O把△ABC绕O点旋转180°
②把△ABC绕AC的中点O旋转180°即可（或把△ABC绕AB的中点O旋转180°即可）
考查内容：轴对称图形的基本性质、能按照要求作出简单平面图形平移（旋转）后的图形，利用平移（旋转）进行图案设计。
例25、（05 宝应）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°。以点A 为位似中心，把△ABC放大2倍后得△AB，C，，则∠B等于
?A．36° Ｂ．54° Ｃ．72° Ｄ．144°
【点评】本题考查对位似概念的理解，要明确位似是相似的特例。
例26、（05 无锡）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.
（1）将图1中的格点△ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A1B1C1，请你在图1中画出△A1B1C1.
（2）在图2中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1的格点三角形.
（1）
（2）答案不唯一.
点评：这是一道简单的实践操作题，主要考查学生对图形变化知识的理解。当图形与网格结合时，线段的长度、角的度数要充分利用。
例27、一位祖籍扬州的台商，应市政府的邀请，回乡考察投资环境，谁知家乡的变化竟让他迷路了．他驱车在一条东西走向的公路上由西向东缓慢地前行着．车载GPS（全球卫星定位系统）显示（如图），市政府所在地（点C）在其（点A）南偏东45°的方向上，相距4km．他继续向东前进到达点B的位置，发现市政府所在地在其南偏西60°的方向上．
（1）试求该台商由西向东行进的路程AB是多少千米？（结果保留根号）
（2）在台商行驶的公路南侧有两条与之平行，且距离这条公路分别约是0.5km的向阳大道和3km的兴宝大道，请估算市政府所在地靠近哪条大道？
【点评】本题以投资商迷路为背景（让学生感受到扬州巨大变化的同时，又体会到“现代人行路”中的数学），考查学生对应用问题的数学化、数学建模思想的掌握情况。解题的关键是将实际问题转化成解直角三角形问题。同时本题还考查了学生估算的技能。
例28、（05 南京）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点。已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=3m。求点B到地面的垂直距离BC。
3、图形与坐标
★在坐标平面中，会根据坐标描出点的位置，或者由点的位置写出它的坐标。
★能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
★在同一直角坐标系中，明白图形变换与点的坐标变化之间的关系。
例29、如图，如果士所在位置的坐标为（－1,－2），相所在位置的坐标为（2,－2），那么，炮所在位置的坐标为 .
考查内容：能否建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
例30、（05 潍坊）如图，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点落在点处，已知,，则点的坐标是（ ）．
A．（，） B．（，3）
C．（，） D．（，）
4、图形与证明
★重视传统几何内容的考查。（如全等、相似等内容的要求并未降低）
★重视新课程中合情推理（如归纳、类比、统计推断等）和演绎推理（逻辑推理）。
例31、（05 扬州）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
1 AB=DE，②AC = DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF．
已知：
求证：
证明：
【点评】这是一道开放题。四个条件可组合成四个命题，其中有真有假，考生既要会证明真命题，还要会对假命题举反例加以否定，本题既考查了学生的基础知识，又考查了学生的创新能力。给学生提供了充分展示才能的空间，不同层次不同能力的学生可以给出不同的结果．
例32、 如图，△ABC，点D、E分别在AB、AC上，给出5个论断：①CD⊥AB，②BE⊥AC，③AE＝CE，④∠ABE＝30°，⑤CD＝BE。
（1）如果论断①、②、③、④都成立，那么论断⑤一定成立吗？答： 。
（2）从论断①、②、③、④中选出3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是 。（只要求写出论断序号）
（3）证明（2）中你写出的真命题。（画出图形，写出已知、求证，并加以证明。）
解答：（1）一定 （2）①③④ （3）作EFABEF=BE，EF=CD，即得证。
例33、某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形一定为正多边形”这个命题是否成立时，进行了一些讨论。甲同学在讨论中提到了圆内接矩形；乙同学找来了这样一个几何事实：如图一，△ABC是正三角形，，可以证明六边形ADBECF的各内角相等。丙同学认为当边数是5时这个命题是成立的，于是他猜想边数是7时这个命题仍然成立。
（1）你认为各内角都相等的圆内接多边形一定是正多边形吗？简要叙述你的理由。
（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图二）是正七边形。
（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）．
考查内容：理解反例的作用，并能借助恰当的反例证明一个命题是错误的；同时也会用简单的逻辑推理证明一个命题是正确的，具备初步的合情推理能力。
变化：
★强化了对基本图形的认识
★增加了图形变换、图形与坐标等内容
★证明的要求略有降低（特别是圆的有关证明）
★合情推理有所加强
三）统计与概率
1、统计
1）、强调对基本统计量的理解（如平均数、方差、众数、中位数、频数、频率等） 。
2）、统计图表的分析和绘制。
3）、掌握用样本估计总体的思想。统计的应用，能解决简单的实际问题。
例1、 小明同学5次数学单元测试的平均成绩是90分，中位数是91分，众数是94分，则两次最低成绩之和是______分。
点评：本题强调对几个基本统计量的理解，重点不是计算。
例2、不通过计算，比较下图中甲、乙两组数据的标准差_______。
点评：考察学生是否能够真正理解标准差的概念和意义，而不是能否准确记忆公式本身。
例3、记者从教育部获悉，今年全国普通高校招生报名人数总计723万．除少部分参加各省中专、中职、中技考试的考生外，参加统考的考生中有文史类、理工类、文理综合类．下面的统计图（图15）反映了今年全国普通高校招生报名人数的部分情况，请认真阅读图表，解答下列问题：
(1) 请将该统计图补充完整；(3分)
(2) 请你写出从图中获得的三个以上的信息；(3分)
(3) 记者随机采访一名考生，采访到哪一类考生的可能性较大？(2分)
考查内容：对图表绘制过程的理解、阅读图表并提取有用信息的技能
2、概率
1）、理解概率的意义。
2）、会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。
3）、会设计等效模拟实验。
例4、如图是由一转盘和箭头组成的装置，装置A上的数字分别是1、8、6，装置B上的数字分别是7、5、4，这两个装置除了表面数字外其它构造完全一样。现在你和另外一个人同时用力转动箭头，如果我们规定箭头停留在较大数字的一方胜出，那么你会选择哪一个装置呢？说说你的理由。
考查内容：能否灵活运用列举法比较事件发生概率的大小。
例5、在一个正三角形的每个顶点上各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始沿三角形各边朝其它顶点做直线运动，假设目标顶点是随机选择的且每只蚂蚁行进速度相同，为了研究蚂蚁互不相撞的概率，请你设计一种便于动手操作的等效实验进行模拟。
考查内容：理解大量重复实验中的频率与事件发生的概率之间的关系，并能够自主设计满足条件的概率模型。
变化：
★单纯统计量的计算-----对统计量的理解
★汇频率直方图-----对统计图表的分析
★强化了统计思想的应用
★增加了简单事件发生概率的计算
四）课题学习
★感受“问题情境－建立模型－求解－解释与应用”的基本过程，形成自己的一些研究问题的方法和经验，对相关数学知识有较深刻的理解和运用能力。（具体要求是会现场学习、实践活动、探究发现）。
例1、 在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图①所示）：
（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部 M 的仰角∠MCE =α；
（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN = m；
（3）量出测倾器的高度AC = h．
根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN．
如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图②）的方案：
（1）在图②中，画出你测量小山高度 MN 的示意图（标上适当字母）；
（2）写出你设计的方案．
答案：解：（1）正确画出示意图。
（2）①在测点A处安置测倾器，测得此时山顶M的仰角∠MCE＝α
②在测点A与小山之间的B处安置测倾器（A、B与N在同一条直线上），测得此时山顶M的仰角∠MCE＝β；
③量出测倾器的高度BC=BD=h，以及测点A、B之间的距离AB＝m。根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN。
考查内容：学习能力——通过阅读理解信息中所表现出来的数学内涵；根据任务的特征，设计合理可行的测量方案，表达实施过程，了解实施过程中存在的实际问题，从数学的角度的说明方案的正确性。
例2、课题研究：某种型号的肥皂，长、宽、高分别是16cm、6cm、3cm，一箱这种肥皂计30块.厂家请实验初中的同学为其设计一种包装纸箱，使该纸箱尽可能省料（接头忽略不计）.
九年级（4）班数学兴趣小组中的几名同学经过讨论，决定承担这次设计任务.他们正在讨论中，请你也来参与吧：
⑴ 张凯善于从简单的问题入手，他先研究了3块的情形，他发现有下列三种拼法：
请你协助他计算出三种情形下包装纸盒的表面积：
S1= , S2= , S3= .
通过计算与比较,张凯发现：要想让最后的大长方形的表面积最小，应
.
⑵ 李颖和王聪进一步研究了12块肥皂的情形,他们又提出了两点设计思路:
思路之一：∵12=1×12=2×6=3×4=2×2×3, ∴共有四类摆放方式,结合张凯的发现,可以找出每类摆放方式中面积最小的拼法.
思路之二: 可以通过比较不同类型摆放方式中三视图的面积和来确定采用哪种包装纸箱.
⑶ 请你利用上面的研究成果,设计出30块肥皂的包装纸箱，使该纸箱尽可能省料（接头忽略不计）.
设计要求：① 画出摆放示意图（仿第⑴题画法,内部虚线不必画，标出数据）或大长方体的三视图（要求标出数据）；
② 计算该纸箱的表面积.
点评：本题首先从3块肥皂的不同的摆放方案探究表面积最小的方法，进而推广到12块、30块的情形，考察了学生的操作、分析、归纳的能力，同时又考察了新教材中立体图形的分割、拼补及三视图等有关知识。
领域2：数学活动过程
通过让学生经历某种形式的数学活动（包括动手操作和思想实验等），考查学生在活动过程中所表现出来的思维水平，对活动对象和相关知识方法的理解深度。
主要看能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并借助某种方式证明猜想的合理性。
例1、（05 潜江）我们做一个拼图游戏：用等腰直角三角形拼正方形。请按下面规则与程序操作：
第一次：将两个全等的等腰直角三角形拼成一个正方形；
第二次：在前一个正方形的四条边上再拼上四个全等的等腰直角三角形（等腰直角三角形的斜边与正方形的边长相等），形成一个新的正方形；
以后每次都重复第二次的操作-------
⑴请你在第一次拼成的正方形的基础上，画出第二次和第三次拼成的正方形图形；
⑵若第一次拼成的正方形的边长为a，请你根据操作过程中的观察与思考填写下表：
操作次数（n） 1 2 3 4 --- n
每次拼成的正方形面积（s） a2 ---
例2、如图，正方形网格中的每一个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.
⑴在图①中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为2、、3；
⑵在图②中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
⑶观察图③中带阴影的图形，请你将它适当剪开，重新拼成一个正方形(要求：在图③中用虚线作出，并用文字说明剪拼方法)；
⑷观察正方体图形，沿着一些棱将它剪开，展开成平面图形. 若正方体的表面积为12，请你在图④中以格点为顶点画出一个正方体的平面展开图. (只需画出一种情形)
点评：本题借助“纸笔作图”这种简单的数学活动，考查学生能否在活动中从“无序的试误”走向“有序的操作”，这当中当然要加进很多理性思考，整个过程需要进行观察分析、动手验证、类比归纳等多种合情推理后。
领域3：数学思考表现在
1、描述现实世界，具有初步的数感、符号感和抽象思维能力（数和代数）。
2、对现实空间及图形有较丰富的认识，具有初步的空间观念和形象思维能力（空间和图形）。
3、能运用数据描述信息，做出合理推断，具有统计观念（统计与概率）。
4、通过观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，作出合情推理和演绎推理（推理能力）
例1、（05陕西）应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”。该园占地面积约为800000m2，若按比例尺1：2000缩小后，其面积大约相当于（ ）
A.一个篮球场的面积 B.一张乒乓球台台面的面积
C.《陕西日报》的一个版面的面积
D.《数学》课本封面的面积
考查内容：考查学生的估算能力，能否将数字与具体事物建立起联系既是理解数的标志，也是建立数感的表现。
例2、小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2ｍ和3ｍ的同心圆（如左图），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判。
⑴你认为游戏公平吗？为什么？
⑵游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算某一不规则图形（如右图）的面积呢？”。请你设计方案，解决这一问题。（要求补充完整图形，说明设计步骤、原理，写出估算公式）
例3、（05大连）如图1，正方形ABCD和正方形BEFC。
操作：M是线段AB上一动点，从A点至B点移动，DM⊥MN，交对角线BF于点N。
探究：线段DM和MN之间的关系，并加以证明。
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
①M是线段AB的中点；②M、N分别是线段AB、BF的中点。
点评：本题是先猜想结论，后证明自己的猜想。经过画图，容易猜想出线段DM与MN是相等的关系，这样问题就是如何证明线段相等，而证明线段相等的方法可由不同的思维角度探索出不同的思路。
思路1：要证明DM＝MN，可以考虑证明DM、MN各自所在的两个三角形全等，而图中MN在钝角△MBN中，DM在直角三角形中，故需要构造一个钝角三角形。于是有下列解法1。
解法1 猜想DM＝MN，证明如下：
如图3，在AD边上截取AH＝AM，由正方形ABCD和BECF可得。
AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，∠CBF＝45°，
则DH＝MB，
∠DHM＝∠MBN＝135°。
∵DM⊥MN，∴∠AMD＋∠1＝90°，
又∵∠AMD＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴△DHM≌△MBN，∴DM＝MN。
思路2：同上分析，也可构造MN所在的一个直角三角形与DM所在Rt△ADM全等。于是有下面的解法2。
解法2 猜想DM＝MN，证明如下：
如图4，过N作NG⊥BE，垂足为G。
则∠MGN＝∠A＝90°。
∵DM⊥MN，∴∠AMD＋∠1＝90°。
又∵∠AMD＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴Rt△ADM∽Rt△GMN，
∴＝
设AD＝a，BM＝x,NG＝y，
由∠NBG＝45°，则BG＝NG＝y（a>x）。
∴＝＝＝1，
∴a＝x＋y,即AD＝MG。
∴△DHM≌△MBN，∴DM＝MN。
（若a＝x，DM＝AD，MN＝AB，则DM＝MN仍然成立。）
思路3：要证明DM＝MN，还可构造一个以此为两腰的等腰三角形，则结论得证。而直接连接DN，不易证明，考虑将问题转化为证明DM与MN都等于第三条线段。于是有解法3。
解法3 猜想DM＝MN，证明如下：
如图5，作△MBN关于直线AE的轴对称图形△MBP，连结DB交于MN于G点，则有：
△MBN≌△MBP，∠2＝∠1＝45°，
∠P＝∠MNB，MN＝MP。
由正方形ABCD和BEFC，则
∠MBN＝∠DBC＋∠CBN＝45°＋45°＝90°，
∴∠DBP＝∠DBN＋∠1＋∠2＝180°
∴D、B、P三点在同一直线上。
又∵DM⊥MN，∠DGM＝∠NGB，
∴∠3＝∠MNB，∴∠3＝∠P，
∴DM＝MP，∴DM＝MN。
从以上的分析、证明可以看出，此题的解决方法并不很难，它的关键还是需要我们能牢固掌握基础和基本的分析思维方法，并能熟练地应用。所以在平时应多注意“双基”的学习和训练。
领域 4：问题解决体现在
1、能够从数学的角度提出问题、理解问题。
2、具有解决问题的基本策略和多样策略。
3、具有初步评价与反思的意识。
例1、如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是3个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=，BC=1，连接BF，分别交AC，DC，DE于点P，Q，R。观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答（根据提出问题的层次和解答过程评分）。
点评：这是一个开放性问题。浅层次的问题如“求证：∠PCB=∠REC”等，深层次的问题如“△ABP∽ △DQR”等
例2、（05 江西）已知抛物线与轴的交点为A、B（B在A的右边），与轴的交点为C.
(1)写出时与抛物线有关的三个正确结论;
(2)当点B在原点的右边,点C在原点的下方时,是否存在△BOC为等腰三角形的情形 若存在,求出的值；若不存在,请说明理由；
（3）请你提出一个对任意的值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分有差异）.
点评：第（1）考查对抛物线性质掌握情况；
（2）存在，m=2
（3）如：对任意m,其顶点都在y=1上；抛物线与x轴两交点的距离是一定值等。
二、关注热点
1、突出应用。试题关注学生的生活实际，注重数学问题实际背景的设置，具有浓郁的本土气息。力求体现“从生活走向数学，从数学走向生活”的新课改理念，符合新课标“学习资源和实践机会无所不在，无时不有”的理念。
例1（05宝应）如图，墙OA、OB的夹角AOB＝120 ，
一根9米长的绳子一端栓在墙角O处，另一端栓着一只小狗，则小狗可活动的区域的面积是______米2。（结果保留π）。
点点点评：这是一道基础题。考察了扇形的面积计算公式，但本题给出了一个实际问题的背景，体现了数学与实际生活密不可分。要求学生会将学到的数学知识用于生活。这是课改试题的重要的特点。
例2（05杭州）有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“08”，和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”，则他们就给婴儿奖励，假设该婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
点评：本题是一道概率计算题，难度虽不大，但背景新颖，与“2008北京奥运”联系起来，富有时代的气息，去年不少试题还以“润扬大桥”、“神舟6号”为背景，也渗透对学生的思品教育。
例3（05宿迁）在“五一黄金周”期间，小明和他的父母坐游船从甲地到乙地观光，在售票大厅看到表（一）， 爸爸对小明说：“我来考考你，你能知道里程与票价之间有何关系吗？”小明点了点头说：“里程与票价是一次函数关系，具体是……”．
在游船上，他注意到表（二），思考一下，对爸爸说：“若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的速度和水流速度．”爸爸说：“你真聪明！”亲爱的同学，你知道小明是如何求出的吗？请你和小明一起求出：
（1）票价（元）与里程（千米）的函数关系式；
（2）游船在静水中的速度和水流速度．
里程（千米） 票价（元）
甲→乙 16 38
甲→丙 20 46
甲→丁 10 26
… …
出发时间 到达时间
甲→乙 8:00 9:00
乙→甲 9:20 10:00
甲→乙 10:20 11:20
… … …
点评：本题是精心编制的一道以旅游为实际背景的应用题。本题巧妙地将一次函数与列方程组解应用题编织在一起，计算量不大，解决此题的关键在于学生能否从图表中获取有用信息，能否正确分析信息。在第（1）小题中只需从三组数量关系中选取两组就可确定一次函数关系；在第（2）小题中需要从图表中分析出顺流和逆流的时间分别是多少？这是本题的难点。
2、实验操作。动手操作型的折纸与剪纸，图形的分割与拼合、几何体的展开与叠合，几乎触及了每份试卷，从单一的选择、填空，到综合性较强的探索猜想、总结规律，判断论证存在与否，以及分类讨论等综合题，几乎无处不在。
例4（05荆门）有一张矩形纸片ABCD，AB＝2.5，AD＝1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如下图），则CF的长为（ ）
A、0.5 B、0.75 C、1 D、1.25
点评：本题考察了学生观察图形、分析图形的能力，能够从图形的两次变化发现边角之间的关系，利用全等、相似等性质求出CF的长。
例5（山东济南）如图（1），是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边分别为a，b，斜边为c，图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能够验证勾股定理的图形。
（1）画出拼成这个图形的示意图，写出它是什么图形；
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能利用图（1）中所给的直角三角形拼成另一种证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图。（无需证明）
点评：这是一道动手拼图，利用图形面积验证勾股定理的操作题，解题的关键是如何把给定的图形拼成一个熟悉的简单的能够运用公式计算其面积的几何图形。通过拼图，利用面积法验证公式、定理是近几年中考命题的热点。
解答：（1）拼图的结果如图（3），它是一个直角梯形。
（2）
∵
又 S△I+S△Ⅱ+S△Ⅲ
=
∴
整理，得
（3）能用图（1）中的直角三角形拼出证明勾股
定理的图形，拼图结果如图（4）所示。
例6（05福建南平）如图，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC、AC交于D，E两点(D、E不与B、A重合)．
(1)求证：MD=ME；
(2)求四边形MDCE的面积：
(3)若只将原题目中的“AC=BC=2”改为“BC=a，AC=b，(a≠b)”其它都不变，请你探究：MD和ME还相等吗 如果相等，请证明；如果不相等，请求出MD∶ME的值．
点评：三角尺每名学生都有，在解决这类问题时就可以利用身边的工具进行操作、演示，探究图形变化中的不变性，寻找规律进行解题。
3、探求规律。学习数学的过程，是不断探求规律、应用规律解决问题的过程，我们通常说的数学公式、法则、定理，就是前人在数学研究中探求而得到的应用广泛的规律，这些仅是数学海洋中极小部分，所有数学问题都有规律可循。
探求规律是一种创造性的综合思维活动，它涉及分类、转化、对称、数形结合、方程、函数等众多的数学思想方法。
例7（05绵阳）分析图①,②,④中阴影部分的分布规律，按此规律在图6③中画出其中的阴影部分。
例8（05天津）计算：
……
点评：本题属猜想数字规律型的题。显然，直接计算太麻烦了，肯定是需要一些技巧的。首先观察每个括号中的分母，3、8、15、……99之间，没有倍数关系，它们之间的差也不是均等的。不过我们可能通过分解来观察：3=1×3，8=2×4，15=3×5，这样我们可猜出下一个数是24=4×6，最后一个数是99=9×11。这样就可把每个括号中的式子算出，再把分母分解，达到约分的目的。
因为
所以，原式=……
做完本题你思考过=？；=？
此类问题需要根据题目中所给的数据、数字、等式等寻找出规律，才能解答。主要考查学生运算、观察、发现规律的能力。解决这类问题的方法是：先从简单的式子开始，观察数字（或等式、不等式两边的数据）随着“序号”、“编号”、项数、等式的增加而变化的情况，找出异同，分析、发现、探索变化的规律，得出一般性结论，该类题多为填空题或计算题。
例9（05重庆）如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点，第三层每边有三个点。依次类推。
（1）试写出第n层所对应的点数；
（2）试写出n层六边形点阵的总点数；
（3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？
点评： 本题的关键是找出层数与其对应的点数之间的关系。
层数、总点数之间的关系，不妨从简单情况入手，列表分析：
层数n 第n层上的点数 总点数 数据分析
1 1 1 1=3×1×0+1
2 6 7 7=3×2×1+1
3 12 19 19=3×3×2+1
… … … …
观察上表，可以看出，在第“n层上的点数”一栏中，只有第一层是1，其余的点数都是6的倍数（倍数比层数少1），所以第n层的点数是6（n-1）（n≥2）。对“总点数”进行的数据分析中可以看出，加数1和乘数3是各式所共有的，其他数据与层数的对应关系也比较明显。
解：（1）第n层上的点数为6（n-1）（n≥2）
（2）n层六边形点阵的总点数为 3n（n-1）+1
(3 )令3n（n-1）+1=169，得n=8
根据图形提供的信息探索规律型问题，是近几年流行的一种探索规律型问题。解决这类问题，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性结论。
4、方案设计。主要考察学生能把实际问题转化为数学问题，用数学的眼光去看待和分析事物。笛卡尔有句名言“所有的问题根本上都可以看成是数学问题”，充分诠释了数学与现实生活的密切联系，在中考复习中，我们要通过典型问题去学会应用知识分析理解现实问题，提高数学应用的意识和能力，方案设计问题的确能考察学生这一方面的能力。
例10(05丽水)某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．
（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；
（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；
（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由．
解析:（1）作图工具不限，只要点A、B、C在同一圆上；即找出△ABC所在的圆的圆心。
（2）作图工具不限，只要点A、B、C在同一平行四边形顶点上；即利用割补法以AB或AC、BC为对角线作平行四边形。
（3）∵r=OB= = ，∴S⊙O= r2= ≈16.75，
又S平行四边形=2S△ABC=2× ×42×sin60º=8 ≈13.86,
∵S⊙O > S平行四边形 ∴选择建圆形花坛面积较大.
点评：本题利用三角形的外接圆和平行四边形的性质来解决这一实际问题，不同的设计方案考察了学生的作图、计算、识别的能力。
例11、（05 沈阳）如图所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：
方案一：； 方案二：.
经测量得千米，千米，千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15°.
已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米.
⑴求出河宽AD（结果保留根号）；
⑵求出公路CD的长；
⑶哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.
点评：本题为几何型方案设计题，应先根据几何图形计算出各线段的长度，然后分别计算各方案所需的费用。
提示：（1）作BF⊥AD，AD=DF-AF=，
（2）过点B作BG⊥CD，易证BFDG是正方形，可求得CG=8，得CD=14
（3）方案1：40万元； 方案2：万元
例12、（05乌兰察布市）如图,一块等腰三角形的小钢板下脚料,其中AB=AC.工人师傅要将它做适当的切割,重新拼接后焊成一个面积与原下脚料面积相等的矩形工件。
(1)请根据上述要求,设计出将这块下脚料分割成两块或三块的两种不同的拼接方案(在图中画出切割时所沿的虚线,以及拼接后得到的矩形,保留拼接的痕迹)；
(2)若要把该三角形下脚料切割后焊成一个正方形工件(只切割一次),则该三角形需满足什么条件 并按(1)要求画图。
5、图形变换
例13、（05苏州）下图可以
看作是一个等腰直角三角形
旋转若干次而生成的，则
每次旋转的度数可以是（ ）
A． B． C． D．
例14、（05无锡）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.
①设AB的长为a，PB的长为b（b
（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.
例15、（05扬州）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．
分析：本题以每位学生都有的30°三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力。问题的设计，考虑到中考的选拔功能，用三角板旋转构成了一个问题串，图形简洁，便于操作，层层推进，第1问入手容易，第2问深入困难，有一定的区分度，使不同层次的学生有不同的收获。同时通过本题的解答，一使同学们领悟到学习数学的方法，二是提醒教师学生在平时的教学中要注意变式练习。
解答：（1）证明：在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，所以∠B=∠C=30°， 因为∠B+∠BPE+∠BEP=180° 所以∠BPE+∠BEP=150°因为∠EPF=30°，又因为 ∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°所以∠BPE+∠CPF=150°所以∠BEP=∠CPF，所以△BPE∽△CFP （两角对应相等的两个三角形相似）
（2）①△BPE∽△CFP
②△BPE与△PFE相似。下面证明结论：
同（1）可证△BPE∽△CFP得=，而CP=BP 因此=，又因为∠EBP=∠EPF， 所以△BPE∽△PFE （ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
③ 由②得 △BPE∽△PFE 所以∠BEP=∠PEF， 分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM =PN。连AP，在Rt△ABP中，由∠B =30°，AB=8可得AP=4， 所以PM=2， 所以PN=2
所以 s = PN×EF=m
点评：本题的第1问不难，用两角相等即可证得相似（但也有少数学生尽管能将“同角的补角相等”背得很熟，却不能类比出这儿的两角相等），第2问中的①由第1问类比即得，②要用到①中对应边成比例代换后方可证得，③一般学生都能想到作高，却想不到求这条高要用到角平分线的性质、解直角三角形等知识。这一列问题串既遵循学生的一般思维规律，同时又一个问题比一个问题更具隐蔽性。既渗透了分类、从特殊到一般、函数等数学思想，同时又让学生在解决问题的过程中领悟到学习数学、研究数学的方法。
本题实际完全是由课本上几个重要知识点的基本题构建而成的，从证明两个三角形相似，到利用三角函数解三角形，到角平分线性质的运用，课本上无处不在。因此在中考复习中夯实“三基”（基础知识、基本技能、基本思想）仍显得异常重要。
拓展：其实本题还可以做不少拓展演变。如可以引导学生思考若点P不是中点，以上结论还成立吗？三角板旋转到特殊位置有些什么发现？
上述几道例题都利用了在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角的性质。解题的关键就是要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等，它的应用很广泛，可以用来求角度、求弧长、求面积、证明线段相等、证明角相等、证明位置关系等。
6、思想方法
数学思想方法是数学的灵魂，新课程的中考越来越重视思想方法的渗透，而初中阶段的整体思想、分类思想、数形结合、函数、方程、迁移类比等思想方法在各地中考试卷中得到了充分的体现。
例16、某公园规定，团体购买门票，票价如下表：
购票人数 1～50 51～100 100元以上
每人门票价 13元 11元 9元
现有两个旅游团，若分别购票，两团共需付门票费1314元；若合在一起作为一个团体购票，需付门票费1008元，问这两个旅游团分别有多少人？
41人，71人
例17、（淮安）如图1，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙。（盒壁的厚度忽略不计）
（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图1，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连结AE、EC1，昆虫乙如果沿路径A→E→C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细本会其中的道理，并在图1中画出另一条路径，使昆虫乙从顶上噗A沿这条路径爬行，同样可以厚短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）
（2）假设昆虫甲从顶点C1以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2cm/s的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1s）
[点评] （1）试题考查的是正方体的侧面展开图中A、C1两点间距离最短问题，将图1中正方形BCC1B1绕棱BB1顺时针旋转90°构成矩形ACC1A1，又已知E为BB1中点，由此我们可以类推正方体的十二条棱中必有符合条件的其他中点。（注意“无盖”二字）
例18、（05南昌）已知：如图，在直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点的坐标为（1，0），直线l过点A(1,0)与⊙C切于D点。（1）求直线l的解析式；
（2）在直线上存在点P，使△APC为等腰三角形，求P点的坐标。
（1）
（2）分类：
例19、如图，1，所对应点为A，P。点P关于A的对称点为C，则C表示的数为 。
例19、（2005·泰州）教室里有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水。假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的。两个放水管同时打开时，他们的流量相同。放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着。饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）的函数关系如图②所示：
（1）求出饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）（x≧2）的函数关系式；
（2）如果打开第一个水管后，2min时恰好有4个同学接完水，则前22个同学接完水共需要几分钟？
（3）按（2）的放法，求出在课间10min内班级中最多有多少个同学能及时接完水？
点评： 本题是从图象中获取信息，求出函数解析式，并解决问题，因此必须读懂图象。从图象中可以发现，图象是一条直线，也就是说是一个一次函数的图象。又当x=2时，y=17；x=12时，y=8。所以用待定系数法，可求出解析式。
[解答] （1）（2≦x≦）。（2）7min。（3）当x=10时，存水量
用去水所以课间10 min最多有32人及时接完水。由题意可得0.25z≦8.2，z≦32.8。
当然，新中考的热点题型还有很多，如：探究开放题、图表信息题、数形结合题等。如何应对？我认为只要大家
立足基础 关注变化 重视应用 提高能力
就一定能笑对这些层出不穷、千变万化的考题。最后祝大家在2008年中考中取得满意的成绩！
○
—2
—1
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0
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A
B
C
图2
E
D
F
图2
第21题
中考数学第 1 页 共 15 页
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