5-1-1 任意角与弧度制（第一课时） 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
第五章 三角函数
5.1.1 任意角
高中数学/人教A版/必修一
1
生活中的周期现象
昼夜变化
四季交替
月亮圆缺
潮起潮落
圆周运动
简谐振动
交变电流变化
......
1
生活中的周期现象
这些循环往复、周而复始的变化规律称为
周期性.
从数学的角度，如何刻画这种变化呢？
2
用数学的眼光看世界
现实世界中的现象
函数
刻画
幂
函数
指数
函数
对数函数
函数图像和性质
函数模型的应用
周期性
？
函数
三角函数
如何建立三角函数的模型呢？
2
用数学的眼光看世界
现实世界中的周期现象
三角函数
任意角
弧度制
三角函数的图像和性质
简单的三角恒等变形
函数
y=Asin(ωx+φ)
三角函数模型的应用
基本关系式
诱导公式
周期性
单调性
奇偶性
最值
三角函数变换公式
任意角
2
用数学的眼光看世界
P(x,y)
与角有关的两个方面：旋转方向和旋转量
3
角的范围的推广
O
x
y
正角：按照逆时针方向旋转形成的角.
+
-
零角：一条射线没有作任何的旋转形成的角.
负角：按照顺时针方向旋转形成的角.
3
角的范围的推广
1)旋转方向
旋转可以进行任意圈次
从而将角度突破0o~360o的范围,推广到任意角．
2)旋转量
3
角的范围的推广
正角
+
-
零角
负角
方向用
正负表示
几何概念代数化
3
角的范围的推广
对于任意两个角α和β，如果旋转方向相同且旋转量相等，则称α = β．
如何定义两个角相等？
4
角与角的关系
如图，将一个圆周角进行12等分，分点分别记为Ai，
其中i=1,2,3,…,12．
γ
类比：实数可比较大小，任意角一样有大小关系.
为方便研究，有必要将角放在一个统一的标准下讨论！
4
角与角的关系
终边落在第几象限就是第几象限角
（1）使角的顶点与原点重合
（2）始边与 x 轴的非负半轴重合
统一标准
将任意角放到直角坐标系中讨论
4
角与角的关系
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
思考2：
任意一个角，一定是象限角吗？
思考1：
如果角的终边落在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限.
4
角与角的关系
-50°
x
y
O
x
y
O
210°
-450°
x
y
O
405°
x
y
O
-200°
x
y
O
下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分别是第几象限角？
练一练
1.锐角与第一象限角是什么关系？
2.钝角与第二象限角是什么关系？
3.第二象限角一定比第一象限角大吗？
思考：
练一练
设A＝{θ|θ为锐角}，
B＝{θ|θ为小于90°的角}，
C＝{θ|θ为第一象限的角}，
D＝{θ|θ为小于90°的正角}，
则下列等式中成立的是(　　)
(A)A＝B (B)B＝C (C)A＝C (D)A＝D
答案：(D)
O
A
B
x
y
O
A
B
x
y
O
A
B
x
y
O
A
B
x
y
代数表示
几何表示
C
C
C
C
5
角的加减运算
如何定义两个角相减？
5
角的加减运算
（类比实数的减法）
例1 在直角坐标系中作出下列角，并指出分别是第几象限角．
（1）－420o； （2）-140o； （3）1300o．
O
x
y
O
x
y
O
x
y
发现：
－140o与1300o的终边相同.
思考1：
给定一个角，是否有唯一确定的一条终边与之对应？
给定一条终边，以它为终边的角是否唯一？
思考2：
O
x
y
B
O
x
y
B
O
x
y
B
O
x
y
B
观察归纳：所有与45°终边相同的角，可统一表示为：
代数特征
几何直观
以45o的终边为始边，再逆时针(k>0)或顺时针(k<0)旋转|k|圈.
O
x
y
B
写出与45°终边相同的角
6
终边相同的角
所有与 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合
任何与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和.
{ β | β=α+k·360 , k∈Z }
每次的旋转量
旋转起始角
表示在α的基础上旋转的次数
特殊
一般
具体
抽象
6
终边相同的角
例2 在0o~360o范围内，找出与-950o角终边相同的角，并判
定它是第几象限角.
解：记与-950o角终边相同的角为β，则
β=-950o+k·360o ， k∈Z.
由题得: 0o ≤ β < 360o，解得k=3 ，此时β=130o.
所以与-950o角终边相同的角为130o ，是第二象限的角.
方法：任意一个角度，都可以在0o~360o范围内找到一个与之
终边相同的角.
例3 (1)写出终边在y轴正半轴的角的集合.
(2)写出终边在y轴负半轴的角的集合.
为什么是90o？
可以是其它的角度吗？
已知角α的终边在如图中阴影所表示的范围内
(不包括边界)，那么
α∈ .
x
y
O
θ
-θ
练一练
终边落在坐标轴上的情形：
x
y
o
00
900
1800
2700
+k · 3600
+k · 3600
+k · 3600
+k · 3600
6
终边相同的角
终边具有一定对称性的两个角之间的关系
若角α与角β的终边分别有如下对称性，试探究α与β的数值关系.
（1）终边关于坐标原点对称；
（2）终边关于x轴对称；
（3）终边关于y轴对称；
（4）终边关于直线y=x对称
7
终边对称的角
8
综合练习
答案：C
8
综合练习
8
综合练习
课堂小结
一、本节课学习的新知识
角的范围的推广
正角、零角、负角
象限角
终边相同的角
终边对称的角
二、本节课提升的核心素养
直观想象
课堂小结
数学建模
数据分析
数学运算
三、本节课训练的数学思想方法
类比联想
课堂小结
归纳猜想
转化与化归
01
基础作业： .
02
能力作业： .
03
拓展延伸：（选做）
给授课教师的建议：
1. 素养篇与思维篇中的问题，建议以学生分析为主，由
学生思考、探究、讨论，得出解决方案，教师适时点
拨即可;
2. 原PPT上的“分析”文本框内容，仅供教师参考，上
课前建议删除，使问题解决的过程得以原生态呈现.
（本页可以删了！）