江西省南昌市等5地2022-2023学年高二下学期期中调研测试数学试题（Word版含答案）

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南昌市等5地2022-2023学年高二下学期期中调研测试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知数列为1，，9，，25，，…，则数列的一个通项公式是（ ）
A. B. C. D.
2.某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.25 B.45 C.50 D.90
4.已知函数的导函数为，若，则（ ）
A. B.1 C. D.
5.已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
6.“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度（单位：）随时间（单位：h）变换的函数关系为，，则该单车爱好者骑行速度的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，已知正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形……如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.记某勾股树中最大正方形的边长为，第二大的正方形的边长为……以此类推，构成数列，且，若数列满足，则使得成立的的值有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知等比数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.曲线在处的切线与直线垂直
B.在上单调递增
C.的极小值为
D.在上的最小值为
12.已知数列的前项和为，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.数列是等比数列
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知首项为的数列满足，则______.
14.若函数存在两个极值，则实数的取值范围是______.
15.已知首项为1的数列满足，则______.
16.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式以及；
（2）求的最小值.
18.（12分）已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间.
19.（12分）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
20.（12分）已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围.
21.（12分）已知正项等差数列的前项和为，其中，.
（1）求数列的通项公式及；
（2）若，求数列的前项和.
22.（12分）已知函数.
（1）讨论函数在上的零点个数；
（2）当且时，记，探究与1的大小关系，并说明理由.
南昌市等5地2022-2023学年高二下学期期中调研测试
数学参考答案及评分细则
1.【答案】B
【解析】依题意，数列为1，，，，，，…观察形式可知，B正确，故选B.
2.【答案】C
【解析】平均速度在图形上的体现为两点间连线的斜率，观察可知，最小，故选C.
3.【答案】B
【解析】依题意，，而，故，故选B.
4.【答案】A
【解析】依题意，，令，故，解得，故选A.
5.【答案】B
【解析】依题意，，故选B.
6.【答案】C
【解析】依题意，，故当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故所求速度的最大值为，故选C.
7.【答案】D
【解析】依题意，；令，则，故当时，，故在上单调递减，则，则；令，，则，故在上单调递增，故，即，故，故选D.
8.【答案】B
【解析】依题意，，解得，故，故，因为，故，因为，所以，又，所以，解得，又，所以满足条件的的取值集合为，故选B.
9.【答案】BD
【解析】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D正确，故选BD.
10.【答案】BCD
【解析】设等比数列的公比为，显然，故，得；，得，，，故选BCD.
11.【答案】BC
【解析】，故，故A错误；
令，解得，故的单调递增区间为，而，故B正确；
当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的极小值为，故C正确；
在上单调递减，最小值为，故D错误，故选BC.
12.【答案】ACD
【解析】依题意，，故A正确；
，解得，而，故数列不是等比数列，故B错误；
，故C正确；
，故D正确，故选ACD.
13.【答案】
【解析】依题意，，.
14.【答案】
【解析】依题意，，，则，解得或.
15.【答案】
【解析】令，则，则，，故，则数列是以为首项、5为公比的等比数列，故，则.
16.【答案】
【解析】依题意，，故；令，则，令，解得，故当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，故，则，，故实数的取值范围是.
17.解：（1）记等差数列的公差为，
故
故
（2）令，则，得
而，故
则当时，有最小值
，故的最小值为
18.解：（1）依题意，，
而，
故，
故所求切线方程为，即.
（2）依题意，，
令，解得或.
故当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
19.解：（1）当时，，解得；
当时，；
将代入也成立，
综上所述，.
（2）依题意，，
故.
20.解：（1）依题意，，
，
令，解得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故当时，有极小值，无极大值.
（2）依题意，，
，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故当时，函数有极小值，也是最小值，
因为恒成立，故，
即实数的取值范围为.
21.解：（1）记等差数列的公差为，
依题意，，解得，
而，则，解得（舍去），
故，
.
（2）依题意，，
故，
两式相减得，
即
则
22.解：（1）令，故，令，
则的图象与的交点个数即为的零点个数，
，则当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增；
而，，，
作出函数在上的大致图象如下所示，
观察可知，当或时，函数无零点；
当或时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点.
（2）结论：.
下面给出证明：
依题意，，
令，，则，
令，则，
当时，，单调递增；
当，，单调递减；
所以，当且仅当时等号成立；
从而，所以在和上单调递减，
易知当时，；
当时，，
所以，即，
又当且时，，所以，
即.