第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．二次函数有（ ）
A．最大值是1 B．最大值是2
C．最小值是1 D．最小值是2
2．已知，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．已知，代数式的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．设，且，则（ ）
A．有最小值为 B．有最小值为
C．有最小值为 D．无最小值
8．不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列结论正确的是（ ）
A．设，则的最小值是
B．当时，的最小值是2
C．当时，
D．当时，的最大值是1
10．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为或
11．若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（ ）
A．0 B． C．1 D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则的最大值为 ．
14．已知不等式的解是或， 不等式的解集为 .
15．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
16．已知，，，则的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
解下列不等式．
(1)；
(2)；
(3)．
18．（12分）
（1）已知，，试求与的取值范围；
（2）已知，，求的取值范围；
（3）已知，，求的取值范围.
19．（12分）
已知.
(1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
20．（12分）
某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
(1)设的长为米，试写出总造价（单位：元）关于的函数解析式；
(2)问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
21．（12分）
已知都是正数.
(1)若，求的最大值;
(2)已知且，求的最小值.
22．（12分）
已知不等式的解集为
(1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围；
(2)解关于的不等式：.第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．二次函数有（ ）
A．最大值是1 B．最大值是2
C．最小值是1 D．最小值是2
【答案】C
【解析】，所以函数有最小值.
故选：C
2．已知，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】由知，，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为6.
故选：A
3．已知，代数式的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由于，所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
故选：A
4．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题设，可得，故解集为.
故选：D
5．若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】方法一 由条件得，
由，知，
从而，
当且仅当，即，时取等号．
故的最小值为5．
方法二 对原条件式转化得，
则 ，
当且仅当，，即，时取等号．
故的最小值为5．
故选：D
6．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
所以不等式的解集为：.
故选：A.
7．设，且，则（ ）
A．有最小值为 B．有最小值为
C．有最小值为 D．无最小值
【答案】C
【解析】由，
当且仅当，即，时等号成立，
故当，时，取得最小值为．
故选：C．
8．不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为：，
令，则不等式转化为：，在上恒成立，由可得即，
又，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值，
故可得.
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列结论正确的是（ ）
A．设，则的最小值是
B．当时，的最小值是2
C．当时，
D．当时，的最大值是1
【答案】CD
【解析】对于选项A：∵不是定值，∴不是的最小值，故选项A错误；
对于选项B：当时，由基本不等式可得，
等号成立的条件为，即．
但，故取不到等号，故不是的最小值，故选项B错误；
对于选项C：当时，由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；
对于选项D：当，即时，
，
由基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立．
此时，
即当时，有最大值1，故选项D正确．
故选：CD．
10．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为或
【答案】ABC
【解析】由不等式和解集的形式可知，
，且方程的实数根为或，
那么，所以，
所以，且，故ABC正确；
不等式，
即，解得:,
所以不等式的解集为，故D错误.
故选：ABC
11．若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】因为，，，
对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，取，，得，故D错误.
故选：ABC
12．若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】BC
【解析】可化为，
因为关于的不等式的解集中恰有两个整数，
由一次函数和二次函数的图象可知和为不等式的解集中的两个整数，
所以解得，
故选：BC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由于，则，根据基本不等式，，
于是，即当时，的最大值是.
故答案为：
14．已知不等式的解是或， 不等式的解集为 .
【答案】或
【解析】因为不等式的解是或，
所以，2和3是方程的两个根，
所以，解得，
所以不等式可化为，
因为，所以，得，
解得或，
所以不等式的解集为或，
故答案为：或，
15．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】对任意的实数，不等式恒成立，
当时，即当时，则有恒成立，合乎题意；
当时，即当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
16．已知，，，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
解下列不等式．
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】（1）方程的两根分别为，，
函数的图象是开口向上的抛物线，与轴有两个交点和，如图所示，
观察图象可知，不等式的解集为或．
（2）原不等式可化为；
方程的两根分别为，，
函数的图象是开口方向向上的抛物线，与轴有两个交点和，如图所示，
观察图象可知，不等式的解集为.
（3）原不等式移项整理得；
，方程无实根，
函数的图象是开口方向向上的抛物线，与轴无交点，如图所示，
观察图象可知，不等式的解集为．
18．（12分）
（1）已知，，试求与的取值范围；
（2）已知，，求的取值范围；
（3）已知，，求的取值范围.
【解析】（1）∵，，
∴，，
∴．
∵，
∴．
又，
∴，即．
∴的取值范围是，的取值范围是．
（2）∵，
∴．
又，
∴，即．
∴的取值范围是．
（3）∵，∴．
①当时，；
②当时，．
由①②得，即的取值范围是．
19．（12分）
已知.
(1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意知：只有当二次函数与直角坐标系中的轴无交点时，才能满足题意；
其相应方程此时应满足，解得：，
实数的取值范围为.
（2）若对任意，恒成立，则满足题意的函数的图象如图所示，
由图象可知，此时应该满足，则，
不等式组无解，
不存在实数满足：对任意，恒成立.
20．（12分）
某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
(1)设的长为米，试写出总造价（单位：元）关于的函数解析式；
(2)问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
【解析】（1）设，则，所以，
由，可得，
所以总造价（单位：元）关于的函数解析式为：
.
（2）令，则且，
因为函数，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以总造价的最小值为元.
21．（12分）
已知都是正数.
(1)若，求的最大值;
(2)已知且，求的最小值.
【解析】（1），，
化为,当且仅当,即时取等号.
的最大值为6.
（2）因为且,所以,
则
,
当且仅当，，即时取等号，
则其最小值为.
22．（12分）
已知不等式的解集为
(1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围；
(2)解关于的不等式：.
【解析】（1），原不等式等价于恒成立，
且的解集为，故方程的2个根为2，3，
故由韦达定理，
恒成立，
可得恒成立，所以，
解得，
，
故，
不等式有且仅有10个整数解，故，
所以的取值范围为；
（2）1 当时，由（1）得时，
，
即：，
①当时，原不等式解集为；
②当时，原不等式解集为；
③当时，原不等式解集为.
2 当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为，
由韦达定理：恒成立，
解得，
，
该不等式解集为或，
3 当时，
，则无解.
4 当时，
，则.
综上：当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
