第一章 集合与常用逻辑用语单元测试
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“存在两个不同的无理数，使得是无理数”的否定为（ ）
A．存在两个相同的无理数，使得是有理数
B．存在两个相同的有理数，使得是有理数
C．任意两个不同的无理数，都有是无理数
D．任意两个不同的无理数，都有是有理数
【答案】D
【解析】“存在两个不同的无理数，使得是无理数”的否定为“任意两个不同的无理数，都有是有理数”，
故选：D.
2．满足 A 的集合A的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】满足 A 的集合A,
可以是：，
因此满足条件的集合A的个数为3.
故选：
3．已知集合，，则M与P的关系为（ ）
A．M＝P B．M P
C．P M D．M P
【答案】D
【解析】①对于任意
∵，∴，
∴，由子集定义知.
②∵，此时，即，
而在时无解，.
综合①②知，M P.
故选：
4．设全集，若，，，则下列结论不正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C． D．，且
【答案】ACD
【解析】根据题意利用韦恩图可得：
可知：且，故A、C、D错误，B正确.
故选：ACD.
5．“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】“方程至多有一个实数解”的充要条件
为即，
又是的充分不必要条件，
故选：
6．已知条件p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为p是q的充分不必要条件，
所以 ，
则m≤－1，
故选：D.
7．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，
因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，
参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，
只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，
所以单独参加数学的有人，
单独参加物理的有人，单独参加化学的有，
故参赛人数共有人，
没有参加任何竞赛的学生共有人.
故选：D.
8．若集合，则集合的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，
若为偶数，为奇数，
若，则，
以此类推，，，，，共个，每个对应一个；
同理，若为奇数，为偶数，此时、、、，共个，每个对应一个.
于是，共有个，每一个对应一个满足题意.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．由不超过5的实数组成集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，由，所以，所以B错误；
对于C中，由，
所以，所以C正确；
对于D中，由，所以，所以D正确.
故选：ACD.
10．若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则下列结论不正确的是（ ）
A．“”是“”的充分条件但不是必要条件
B．“”是“”的必要条件但不是充分条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”既不是“”的充分条件，也不是“”的必要条件
【答案】ACD
【解析】∵非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，
∴由，
即：“”是“”的必要条件.
由，或.
∵B不是A的子集，∴不一定有，即，
所以“”不是“”的充分条件.即仅有B正确．
故选：ACD.
11．已知集合，，若，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】AC
【解析】当时，，满足条件，
当时，若，则，无解，
若，则，无解，
若，则，无解，
若，则，得，
综上可知，或，只有AC符合条件.
故选：AC
12．当一个非空数集满足“任意，则，且时，”，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法．其中正确的选项有（ ）
A．0是任何数域的元素
B．若数域有非零元素，则
C．集合是一个数域
D．任何一个数域的元素个数必为奇数
【答案】ABD
【解析】对于A，当时，由数域的定义可知，若，则有，即，故A是真命题；
对于B，当时，由数域的定义可知，，则有，即，
若，则，则，……，则，故B是真命题；
对于C，显然，但，故不是一个数域，故C是假命题；
对于D，∵，当且时，则，因此只要这个数不为0，就一定成对出现，
所以数域的元素个数必为奇数，所以D是真命题．
故选：ABD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为 ．
【答案】36
【解析】集合A的非空子集分别是：，，，，，，．
故所求和为为．
故答案为：36.
14．已知.若，则实数m的取值范围为 .
【答案】或.
【解析】已知集合，且，
或
当时，，解得，符合题意；
当时，且，
则或，解得，
综上：实数的取值范围为或.
故答案为：或.
15．已知集合中有两个元素，则实数满足的条件为 .
【答案】，且
【解析】由题意知有两个不等实根，
所以且，
解得，且.
故答案为：，且
16．若，，1组成的集合与组成的集合为同一个含3个元素的集合，则的值为 ．
【答案】1
【解析】因为，，1组成的集合与组成的集合为同一个集合，
所以，解得，或，
当时，三个元素组成的集合为，符合题意，
当时，集合中有相同的元素，所以不合题意，
综上，，
所以，
故答案为：1
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
设集合，，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）由并集定义知：.
（2），.
（3），或，
.
18．（12分）
已知全集．
(1)求；
(2)若且，求的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以或，
因为，
所以或
（2）因为
所以或，
当时，成立，此时，解得，
当时，因为，
所以，或，解得，
综上，的取值范围为
19．（12分）
已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围．
【解析】（1），，∴，
解得，
∴实数m的取值范围是.
（2）当时，或，解得或，
∴当时，.
∴实数m的取值范围是.
20．（12分）
求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件是.
【解析】假设p：方程有一个根是1，q：.
证明，即证明必要性：
∵是方程的根，
∴，即.
再证明，即证明充分性：
由，得.
∵，
∴，即.
故.
∴是方程的一个根．
故方程有一个根是1的充要条件是.
21．（12分）
已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.
【解析】（1）因为，且，
所以或，
解得或，
故.
（2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，
所以.
当时，，满足题意；
当时，
当时，，解得，满足题意；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
综上，a的取值范围为.
22．（12分）
已知集合具有性质：对任意，（），与至少一个属于.
(1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；
(2)证明：；
(3)具有性质，当时，求集合.
【解析】（1）集合具有性质，集合不具有性质
理由如下：
对集合，由于
所以集合具有性质；
对集合，由于，故集合不具有性质.
（2）由于，则，故，
，故得证.
（3）由于，故，
又，故，
又，故，
.
因此集合.第一章 集合与常用逻辑用语单元测试
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“存在两个不同的无理数，使得是无理数”的否定为（ ）
A．存在两个相同的无理数，使得是有理数
B．存在两个相同的有理数，使得是有理数
C．任意两个不同的无理数，都有是无理数
D．任意两个不同的无理数，都有是有理数
2．满足 A 的集合A的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
3．已知集合，，则M与P的关系为（ ）
A．M＝P B．M P
C．P M D．M P
4．设全集，若，，，则下列结论不正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C． D．，且
5．“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知条件p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
8．若集合，则集合的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．由不超过5的实数组成集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则下列结论不正确的是（ ）
A．“”是“”的充分条件但不是必要条件
B．“”是“”的必要条件但不是充分条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”既不是“”的充分条件，也不是“”的必要条件
11．已知集合，，若，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．
12．当一个非空数集满足“任意，则，且时，”，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法．其中正确的选项有（ ）
A．0是任何数域的元素
B．若数域有非零元素，则
C．集合是一个数域
D．任何一个数域的元素个数必为奇数
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为 ．
14．已知.若，则实数m的取值范围为 .
15．已知集合中有两个元素，则实数满足的条件为 .
16．若，，1组成的集合与组成的集合为同一个含3个元素的集合，则的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
设集合，，，求：
(1)；
(2)；
(3).
18．（12分）
已知全集．
(1)求；
(2)若且，求的取值范围．
19．（12分）
已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围．
20．（12分）
求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件是.
21．（12分）
已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.
22．（12分）
已知集合具有性质：对任意，（），与至少一个属于.
(1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；
(2)证明：；
(3)具有性质，当时，求集合.
