2022-2023 学年度第二学期高一年级期中学业质量监测
数 学答案
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A A A C D D
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
题号 9 10 11 12
答案 ABC ACD ABD AC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
1 3 π
13． , 14． √5 15． ． 16. 12 .
2 2 3
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. （本小题 10分）
1
【解析】（1）因为BE BC ，CF 2FD，
2
1 2 1 2
所以EF EC CF BC DC AD AB ， 2分
2 3 2 3
2 1
所以 x ， y ， 3分
3 2
2 1
故3x 2y 3 2 1. 4分
3 2
（2）∵ AC AB AD， 5分
1 2 1 2 2 2 1
∴ AC EF (AB AD) AD AB AD AB AB AD ， 7分
2 3 2 3 6
∵ ABCD为菱形，∴ AD AB 6， BAD 60
∴ = | || | cos 600=3， 8分
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{#{QQABBQKEggCIABBAAAgCAQVwCkOQkACACIoOhEAIsAIAwBNABCA=}#}
即. = 9 10 分
18. （本小题 12分）
【解答】解：（1）平面直角坐标系 xOy中，以 Ox轴为始边作两个锐角α，β，
它们的终边分别与单位圆相交于 A，B两点，
cos = cos = 1分
∴ sin ＝ ， sin ＝ ． 2分
∴ tanα＝7， tanβ＝ ， 4 分
∴ tan（α + β）＝ ＝ 3． 6 分
（2）由于 tan2β＝ ＝ ， 7 分
tan（α + 2β）＝ ＝ 1． 10 分
由题可知 α ∈ （0， ）、β ∈ （0， ）、
3π
故 α + 2β ∈ （0， ）， 9 分
2
3π .
∴ α + 2β＝ ． 12 分
4
19．（本小题 12分）
解：（1）由题意得，向量 = （2cos x，sin x）， = （cos x，﹣2cos x），
∴ f（x） = = 2cos2x﹣2sinxcosx1 分
= 1 + cos2x﹣sin2x 2 分
= ， 4 分
则 f（x）= ； f（x）的最小正周期为π， 6分
π π π 5π
（2）当 x ∈ *0, +时，2x + ∈ [ , ] 8 分
2 4 4 4
π 3π
∴ 2x + = π 时，即 x = ， 10 分
4 8
函数 f（x）的最小值 为1 √2； 12分
20．（本小题 12分）
【详解】（1）因为 cos + √3 sin = b + c
高一年级数学期中学业质量监测数学答案第 2 页，共 4 页
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由正弦定理得 cos + √3 sin = sinB + sinC 1分
因为 A + B + C = π ∴ sinB = sin(A + C) = sinAcosC + cosAsinC 3分
√3 sin = cosAsinC + sinC 因为sinC ≠ 0
∴ √3 = cosA + 1 ∴ √3 cosA = 1 4分
π 1
∴ sin (A ) = 5 分
6 2
π π π
A = A = 6 分
6 6 3
π
(2） 因为 a = 2，A = 由余弦定理得：
3
b2 + c2 2bc cos A = a2 b2 + c2 bc = 4 8 分
因为 b + c = 4 b2 + c2 + 2bc = 16
∴ bc = 4 10 分
1 π
∴ S ABC = bc sin = √3 12 分 2 3
21．（本小题 12分）．
【详解】
（1）由题意可知： AB BC 5，BD 3 5，
3 4
因为角A 为钝角，sin A ，所以cos A ，
5 5
在△ABD中，由余弦定理得， AD2 AB2 2AD AB cos A BD2，
所以 AD2 8AD 20 0，解得 AD 2或 AD 10（舍），
所以小岛A 与小岛D之间的距离为 2．
BC BD
（2）在△BCD中，由正弦定理 ，因为 A C π，
sin sinC
3 5
所以sinC sin(π A) sin A ，则 sin ，
5 5
2 5
因为BC BD，所以 为锐角，所以cos ，
5
3
因为 sin( ) sin(π C) sinC ，
5
4
cos( ) cos(π C) cosC ，
5
2 5
所以 sin(2 ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( ) ．
25
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22．（本小题 12分）
1
【详解】(1) 由题意可知： | 1 | = | 2 | = 1 1 2 = | 1 || 2 | cos 60
° = 2 分
2
2
| |2
2
= （x 1 + y 2 ） = x
2 21 + 2xy
2 3分
1 2 + 2
| |2 = x2 + xy + 2 4分
∴ | | = √x2 + xy + 2 5分
(2) 由题意可知 = (sin 1 + 2 2 ) (cos 1 + 2 )
∴ = (sin cos ) 1 + 2 = (sin cos , 1) 6分
由（1）可得：| | = √（sin cos )2 + （sin cos ) + 1 7分
1 3
令 t = sin cos | | = √t2 + t + 1 = √( + )2 + 8分
2 4
又因为 t = sin cos = √2sin（θ ） 9分
4
π
≤ θ ≤ 0 ≤ θ ≤
4 2 4 4
√2
0 ≤ sin（θ ） ≤ ∴ 0 ≤ t ≤ 1 10分
4 2
又因为函数 y = t2 + t + 1 在 0 ≤ t ≤ 1 单调递增
即： t = 1 时 . 函数 y = t2 + t + 1 取到最大值 3 11分
√2
故 sin (θ ) = ∴ θ =
4 2 2
∴ θ = | |的最大值为√3。 12分2
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{#{QQABBQKEggCIABBAAAgCAQVwCkOQkACACIoOhEAIsAIAwBNABCA=}#}珠海市2022-2023学年高一下学期期中学业质量监测
数 学
考试时间：120分钟 卷面分值：150分
注意事项：
1. 答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3. 答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上.
4. 所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效.
5. 考试结束后，只交试卷答题页.
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，且，则x＝（ ）
A．9 B．6 C．5 D．3
2．已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．7
3. 已知平面向量，若 ，则（ ）
A． B．0 C． D．
4． 已知，且，则向量，的夹角为（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
5. 下列函数中，以为周期且在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，是函数图像上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形中，，E为的中点，点P是以为直径的圆弧上任一点．则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列三角式中，值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法中不正确的为（ ）
A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若 ，则在方向上的投影为
D．非零向量和满足，则与的夹角为
11．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则 有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若三角形为斜三角形，则
12．已知函数，（）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点成中心对称
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若向量，则在方向上的投影向量坐标为________.
14．函数 的最大值为________．
15．已知，，且，记与的夹角为θ，则________．
16．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为，，，其面积，这里．已知在中，，，则面积的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤。
17．（本小题10分）如图，在菱形中，，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
18．（本小题12分）在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．
19．（本小题12分）已知向量=（2cos x，sin x）， =（cos x，﹣2cos x）．设函数
（2）当x∈时，求函数f（x）的最小值及取到最小值时x的值 。
20．（本小题12分）在△ABC中，内角、、所对的边分别是、、，且
（1）求角A；
（2）若，，求△ABC的面积。
21．（本小题12分）．
(1)求小岛与小岛之间的距离；
(2)记为，为，求的值．
22．（本小题12分）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，,分别是x轴与y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标,记为
（1）在斜坐标系中的坐标,已知,求
（2）在斜坐标系中的坐标,已知,
,（）求的最大值。
答案第12页，共12页
