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高中数学重难点突破
专题十三 函数的零点与不等式
知识归纳
1、零点的定义
对于函数，方程的实数根称为函数的零点
2、函数零点存在性定理
设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得。
（1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提
（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续）
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
3、零点唯一的条件
若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一
4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系
设函数为，则的零点即为满足方程的根，若,则方程可转变为，即方程的根在坐标系中为交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
5、恒成立与存在性问题
(1)恒成立问题
1. x∈D,均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A；
2. x∈D,均有f(x)
3. x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) >0，∴ F(x)min >0
4. x∈D,均有f(x)>g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) <0，∴ F(x) max<0
5. x1∈D, x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)max
6. x1∈D, x2∈E,均有f(x1) (2)存在性问题
1. x0∈D,使得f(x0)>A成立，则f(x) max >A；
2. x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则 f(x) min 3. x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)，∴ F(x) max >0
4. x0∈D,使得f(x0) 5. x1∈D, x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x) max > g(x) min
6. x1∈D, x2∈E,均使得f(x1) (3)相等问题
1. x1∈D, x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{ f(x)}{g(x)}
2. x∈D使得f(x)=a成立，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A,则
(4)恒成立与存在性的综合性问题
1. x1∈D, x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)min> g(x) min
2. x1∈D, x2∈E, 使得f(x1) 3.设函数、，对任意的 x1∈D, x2∈E，使得，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则AB.
(5)恰成立问题
1. 若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D；
2.若不等式f(x)典例分析
例1、(1)设函数，若关于的方程在上恰有两个相异实根，则实数的取值范围是_________
(2)函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是 ．
例1、【答案】(1)；(2)或
【解析】(1)方程等价于：
，
即函数与的图像恰有两个交点，
分析的单调性并作出草图：
令解得： 在单调递减，在单调递增，，
由图像可得，水平线位于之间时，恰好与有两个不同的交点。
(2)方程即有唯一解．
记，，令．
①时，单调减，
所以的取值范围是
②时，的取值范围是；
③时，单调减，且恒正，所以的取值范围是．
所以当或时，有且只有一个零点，故的取值范围是或．
例2、已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R.}
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝－4 ln x的零点个数．
例2、解：(1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，
所以设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.
所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，所以a＝1.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
(2)由(1)知g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2，
g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：
x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
当0当x>3时，g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0.
又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，
因而g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点，
故g(x)仅有1个零点．
例3、设函数，其中为实数,若在上是单调增函数，求的零点个数，并证明你的结论．
例3、解：由在上单调增，得 (过程略) ．
时，，
而，且图像不间断，
依据零点定理，有且只有一个零点．
【分析时，由(极大值点)，】
时,．令．
且，
所以是的极大值点，也是最大值点，
所以，当且仅当．
故有唯一零点．
时，令．列表：
0
所以．
①在上，且单调，所以有且只有一个零点；
②在上，显然，注意到的结论，
所以，同理有且只有一个零点．
由①②有两个零点．
综上所述，当或时，有1个零点；当时，有2个零点．
【注1】本题第（2）问“时”赋值点的形成过程及其多元性:
①在上，因为，且为常数，所以理应成为直观赋值点的首选．
②在上【难点！】依据单调性，直观赋值点应在右侧充分远处．尝试，失败！
表明该赋值点不够远，再改试，成了！(过程如上) ．显然，赋值点不唯一．
在上，也可考虑(标解)，
或（均不及赋值简便）．
在上也可考虑，．
还可考虑(标解)，并注意到时，(证略) ，．
【注2】在本题结论的牵引下，区间上的三个赋值点一脉相承，
井然有序：因为(当且仅当，等号成立)，所以．
以上赋值均为先直观，后放缩．其特点是见效快，但有时有点悬，解、证风险大．所以，当直观赋值受挫时，不妨通过放缩，无悬念地求出赋值点，实现解(证)目标．
现以区间为例
【分析：在右侧充分远处，希望存在，使，为此，应意识到在的表达式中，对起主导作用的那一项是，不宜轻易放缩，放缩的目标应锁定．
依据()(证略) ，，不妨取，
但此路受挫，故须调整放缩的尺度】
思路一：由本题结论，．
．
详解：由本题结论
在上，存在 (以下略)．
思路二：由时，．
的任意性给赋值提供了更为宽松的选择空间：
，
令．
不妨令．
详解：(证略) ，．
今取(以下略)．
例4、(1)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则( )
A．3f(1)f(3) C．3f(1)＝f(3) D．f(1)＝f(3)
(2) 已知函数的图像为上的一条连续不断的曲线，当时，，则关于的函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
例4、【答案】(1)B; (2)A.
【解析】由于f(x)>xf′(x)，则′＝<0恒成立，
因此在R上是单调递减函数，∴<，即3f(1)>f(3)．
(2)，
结合的零点个数即为方程，
结合条件中的不等式，可将方程化为，
可设，即只需求出的零点个数，
当 时，，即在上单调递增；
同理可得：在上单调递减，
，故，所以不存在零点。
例5、(1)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)
(2)函数f(x)＝x－2sin x，对任意的x1，x2∈[0，π]，恒有|f(x1)－f(x2)|≤M，则M的最小值为________.
例5、【答案】(1)C; (2)＋.
【解析】a＝0时，不符合题意，a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意．
则a<0，由图象结合f(0)＝1>0知，此时必有f>0，
即a×－3×＋1>0，化简得a2>4.
又a<0，所以a<－2.
(2)∵f(x)＝x－2sin x，∴f′(x)＝1－2cos x，∴当0当0，f(x)单调递增；∴当x＝时，f(x)有极小值，即最小值，
且f(x)min＝f＝－2sin ＝－. 又f(0)＝0，f(π)＝π，∴f(x)max＝π.
由题意得|f(x1)－f(x2)|≤M等价于M≥|f(x)max－f(x)min|＝π－＝＋.
∴M的最小值为＋.
例6、已知函数f(x)＝(x＋1)2－3aln x，x∈R，若对任意x∈[1，e]，f(x)≤4恒成立，求实数a的取值范围．
例6、解：(2)f′(x)＝2x＋2－＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在[1，e]上单调递增，
f(x)min＝f(1)＝4，f(x)≤4不恒成立；
当a>0时，设g(x)＝2x2＋2x－3a，x>0，
∵g(x)的对称轴为x＝－，g(0)＝－3a<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且存在唯一x0∈(0，＋∞)使得g(x0)＝0.
∴当x∈(0，x0)时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)在(0，x0)上单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)在(x0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)在[1，e]上的最大值f(x)max＝max{f(1)，f(e)}．
∴得(e＋1)2－3a≤4解得a≥.
例7、已知三次函数f(x)的导函数f′(x)＝－3x2＋3且f(0)＝－1，g(x)＝xln x＋(a≥1).
(1)求f(x)的极值；
(2)求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)≤g(x2).
例7、解：依题意得f(x)＝－x3＋3x－1，f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，
知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是减函数，在(－1，1)上是增函数，
所以f(x)极小值＝f(－1)＝－3，f(x)极大值＝f(1)＝1.
(2)证明 易得x>0时，f(x)最大值＝1，
由a≥1知，g(x)≥xln x＋(x>0)，
令h(x)＝xln x＋(x>0)，
则h′(x)＝ln x＋1－＝ln x＋，
注意到h′(1)＝0，当x>1时，h′(x)>0；
当0即h(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
h(x)最小值＝h(1)＝1，即g(x)最小值＝1.
综上知对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)≤g(x2).
例8、已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln x(a∈R).
(1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)函数g(x)＝(1－a)x，若 x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围.
例8、解：(1)f′(x)＝，当导函数f′(x)的零点x＝a落在区间(1，2)内时，函数f(x)在区间[1，2]上就不是单调函数，即a (1，2)，
所以实数a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).
(2)由题意知，不等式f(x)≥g(x)在区间[1，e]上有解，
即x2－2x＋a(ln x－x)≥0在区间[1，e]上有解.
因为当x∈[1，e]时，ln x≤1≤x(不同时取等号)，x－ln x>0，
所以a≤在区间[1，e]上有解.
令h(x)＝，则h′(x)＝.
因为x∈[1，e]，所以x＋2>2≥2ln x，所以h′(x)≥0，h(x)在[1，e]上单调递增，
所以x∈[1，e]时，h(x)max＝h(e)＝，所以a≤，
所以实数a的取值范围是.
例9、(1)已知函数y＝a＋2ln x的图象上存在点P，函数y＝－x2－2的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝(a，b∈R)，若对 x∈(0，＋∞)，都有f(x)≥1恒成立，记ab的最小值为g(a，b)，则g(a，b)的最大值为________．
例9、【答案】(1)； (2)
【解析】(1)函数y＝－x2－2的图象与函数y＝x2＋2的图象关于原点对称，
若函数y＝a＋2ln x的图象上存在点P，函数y＝－x2－2的图象上存在点Q，
且P，Q关于原点对称，则函数y＝a＋2ln x的图象与函数y＝x2＋2的图象有交点，
即方程a＋2ln x＝x2＋2有解，
令f＝x2＋2－2ln x，则f′＝，
当x∈时，f′<0，当x∈时，f′>0，
故当x＝1时，f(x)有最小值3.
由f＝＋4，f＝e2，
故当x＝e时，f(x)有最大值e2，
故a∈.
(2)由题意可得 x∈(0，＋∞)，f(x)≥1恒成立，
∴≥1，解得eax＋b≥x，即ax＋b≥ln x，
为满足题意，当直线与曲线相切时成立，
不妨设切点(x0，ln x0)，由(ln x)′＝，
∴切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，即y＝x－1＋ln x0，
∴a＝，b＝ln x0－1，ab＝.
令g(x)＝，g′(x)＝＝0，x＝e2，
当00，g(x)是增函数，当x>e2时，g′(x)<0，g(x)是减函数，
则g(a，b)max＝＝.
课后作业
1．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则f(x)( )
A．在区间，(1，e)上均有零点 B．在区间，(1，e)上均无零点
C．在区间上有零点，在区间(1，e)上无零点
D．在区间上无零点，在区间(1，e)上有零点
2．函数f(x)＝ln x＋a的导数为f′(x)，若方程f′(x)＝f(x)的根x0小于1，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.(0，1) C.(1，) D.(1，)
3．已知a为常数，函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1A．f(x1)>0，f(x2)>－ B．f(x1)<0，f(x2)<－ C．f(x1)>0，f(x2)<－ D．f(x1)<0，f(x2)>－
4．已知f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)恒成立，则不等式x2f－f(x)>0的解集为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
5．已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a>0，b∈R)，若对任意x>0，f(x)≥f(1)，则( )
A．ln a<－2b B．ln a≤－2b
C．ln a>－2b D．ln a≥－2b
6. 已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为___________________．
7．若对任意a，b满足08．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.718 28….
(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；
(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由.
9．已知函数f(x)＝xln x(x>0).
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求实数m的最大值.
1、答案 D
解析 因为f′(x)＝－，所以当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(0,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，而0<<1又f＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，所以f(x)在区间上无零点，
在区间(1，e)上有零点．
2、答案 A
解析 由函数f(x)＝ln x＋a可得f′(x)＝，
∵x0使f′(x)＝f(x)成立，∴＝ln x0＋a，
又01，ln x0<0，∴a＝－ln x0>1.
3、答案 D
解析 f′(x)＝ln x－2ax＋1，依题意知f′(x)＝0有两个不等实根x1，x2，
即曲线y＝1＋ln x与直线y＝2ax有两个不同交点，如图.
由直线y＝x是曲线y＝1＋ln x的切线，
可知：0<2a<1，0由0∵当x10，
∴f(x2)>f(1)＝－a>－.
4、答案 C
解析 令F(x)＝，x>0，则F′(x)＝，因为f(x)>xf′(x)，所以F′(x)<0，
所以函数F(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，由不等式x2f－f(x)>0，
得>，所以0，所以x>1，故选C.
5、答案 A
解析 f′(x)＝2ax＋b－，由题意可知f′(1)＝0，即2a＋b＝1，
由选项可知只需比较ln a＋2b与0的大小，而b＝1－2a，
所以只需判断ln a＋2－4a的符号．构造一个新函数g(x)＝2－4x＋ln x，则g′(x)＝－4，令g′(x)＝0，得x＝；当x<时，g(x)为增函数；当x>时，g(x)为减函数，所以对任意x>0有g(x)≤g＝1－ln 4<0，所以有g(a)＝2－4a＋ln a＝2b＋ln a<0 ln a<－2b，故选A.
4，令g′(x)＝0，得x＝；当x<时，g(x)为增函数；当x>时，g(x)为减函数，所以对任意x>0有g(x)≤g＝1－ln 4<0，所以有g(a)＝2－4a＋ln a＝2b＋ln a<0 ln a<－2b，故选A.
6、答案 (－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
解析 由可导函数f(x)的图象，
得或
解之得x∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．
7、答案 e
解析 ∵0∴<，
令y＝，x∈(0，t)，则函数在(0，t)上单调递增，
故y′＝>0，解得0故t的最大值是e.
8、(1)证明 由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x，
所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－>0，
所以h(1)h(2)<0，
所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点.
(2)解 由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x.
由g(x)＝＋x知x∈[0，＋∞)，
而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点.
又h(x)在(1，2)内有零点，
因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点.
h′(x)＝ex－x－－1，记φ(x)＝ex－x－－1，则φ′(x)＝ex＋x－.
当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点，
即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点，
则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，
所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.
9、解 (1)由f(x)＝xln x(x>0)，得f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)>0，得x>；令f′(x)<0，得0∴f(x)的单调增区间是，单调减区间是.
故f(x)在x＝处有极小值f＝－，无极大值.
(2)由f(x)≥及f(x)＝xln x，得m≤恒成立，
问题转化为m≤.
令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝，
由g′(x)>0 x>1，由g′(x)<0 0所以g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)min＝g(1)＝4，
因此m≤4，所以m的最大值是4.
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专题十三 函数的零点与不等式
知识归纳
1、零点的定义
对于函数，方程的实数根称为函数的零点
2、函数零点存在性定理
设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得。
（1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提
（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续）
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
3、零点唯一的条件
若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一
4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系
设函数为，则的零点即为满足方程的根，若,则方程可转变为，即方程的根在坐标系中为交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
5、恒成立与存在性问题
(1)恒成立问题
1. x∈D,均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A；
2. x∈D,均有f(x)3. x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) >0，∴ F(x)min >0
4. x∈D,均有f(x)>g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) <0，∴ F(x) max<0
5. x1∈D, x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)max
6. x1∈D, x2∈E,均有f(x1) (2)存在性问题
1. x0∈D,使得f(x0)>A成立，则f(x) max >A；
2. x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则 f(x) min 3. x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)，∴ F(x) max >0
4. x0∈D,使得f(x0) 5. x1∈D, x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x) max > g(x) min
6. x1∈D, x2∈E,均使得f(x1) (3)相等问题
1. x1∈D, x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{ f(x)}{g(x)}
2. x∈D使得f(x)=a成立，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A,则
(4)恒成立与存在性的综合性问题
1. x1∈D, x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)min> g(x) min
2. x1∈D, x2∈E, 使得f(x1) 3. 设函数、，对任意的 x1∈D, x2∈E，使得，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则AB.
(5)恰成立问题
1. 若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D；
2. 若不等式f(x)典例分析
例1、(1)设函数，若关于的方程在上恰有两个相异实根，则实数的取值范围是_________
(2)函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是 ．
例2、已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R.}
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝－4 ln x的零点个数．
例3、设函数，其中为实数,若在上是单调增函数，求的零点个数，并证明你的结论．
例4、(1)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则( )
A．3f(1)f(3) C．3f(1)＝f(3) D．f(1)＝f(3)
(2) 已知函数的图像为上的一条连续不断的曲线，当时，，则关于的函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
例5、(1)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)
(2)函数f(x)＝x－2sin x，对任意的x1，x2∈[0，π]，恒有|f(x1)－f(x2)|≤M，则M的最小值为________.
例6、已知函数f(x)＝(x＋1)2－3aln x，x∈R，若对任意x∈[1，e]，f(x)≤4恒成立，求实数a的取值范围．
例7、已知三次函数f(x)的导函数f′(x)＝－3x2＋3且f(0)＝－1，g(x)＝xln x＋(a≥1).
(1)求f(x)的极值；
(2)求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)≤g(x2).
例8、已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln x(a∈R).
(1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)函数g(x)＝(1－a)x，若 x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围.
例9、(1)已知函数y＝a＋2ln x的图象上存在点P，函数y＝－x2－2的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝(a，b∈R)，若对 x∈(0，＋∞)，都有f(x)≥1恒成立，记ab的最小值为g(a，b)，则g(a，b)的最大值为________．
课后作业
1．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则f(x)( )
A．在区间，(1，e)上均有零点 B．在区间，(1，e)上均无零点
C．在区间上有零点，在区间(1，e)上无零点D．在区间上无零点，在区间(1，e)上有零点
2．函数f(x)＝ln x＋a的导数为f′(x)，若方程f′(x)＝f(x)的根x0小于1，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.(0，1) C.(1，) D.(1，)
3．已知a为常数，函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1A．f(x1)>0，f(x2)>－ B．f(x1)<0，f(x2)<－ C．f(x1)>0，f(x2)<－ D．f(x1)<0，f(x2)>－
4．已知f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)恒成立，则不等式x2f－f(x)>0的解集为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
5．已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a>0，b∈R)，若对任意x>0，f(x)≥f(1)，则( )
A．ln a<－2b B．ln a≤－2b C．ln a>－2b D．ln a≥－2b
6. 已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为________________．
7．若对任意a，b满足08．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.718 28….
(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；
(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由.
9．已知函数f(x)＝xln x(x>0).
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求实数m的最大值.
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