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高中数学重难点突破
专题十 函数的切线问题求解策略
知识归纳
导数的概念
1、平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率用表示,＝.
几何意义：割线的斜率
2、导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝=
几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是在曲线y＝f (x)上点(x0，f (x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)。
特别注意：
①区分清“求曲线上过点M的切线”与“求曲线上在点M处的切线”；
前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。
②判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。
导数的运算
1、常见函数的导数公式：
； (2)； (3)；
(4)； (5)；
(6)； (7)且； (8).
2、两个函数的和(或差)积商的导数
(1)
(2)
(3)
3、复合函数的求导法则：
两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：，其中u为中间变量.即： 对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
典例分析
题型一、平均变化率与导数的概念的应用
例1、(1)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则 的值为( )
A．f ′(x0) B．2f ′(x0) C．－2f ′(x0) D．0
(2)若f′(x0)＝2，则li＝__________.
题型二、导数的计算
例2、计算下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)； (2)y＝； (3)y＝ln； (4)y＝sin2.
题型三、导数与切线
例3-1、(1)求函数在处的切线方程
(2)求过点，且与曲线相切的直线方程
例3-2、函数上一点处的切线方程为，则a= ，b= .
例3-3、(1)过点(e，－e)作曲线y＝ex－x的切线，则切线方程为( )
A．y＝(－1－e)x＋e2 B．y＝(e－1)x－e2 C．y＝(ee＋1－1)x－ee＋2 D．y＝(ee－1)x－ee＋1
(2)曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．
例3-4、已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A.1 B.2 C.－1 D.－2
例3-5、设对函数f(x)＝－ex－x图象上任意一点处的切线为l1，若总存在函数g(x)＝ax＋2cos x图象上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，2] B．(－1，2) C．[－2，1] D．(－2，1)
例3-6、已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是________.
例3-7、设点P是曲线上的任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型四、公切线问题
例4-1、若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________.
例4-2、设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
例4-3、已知函数与在交点处有公共的切线，则（ ）
A． B． C． D．
题型五、切线的条数问题
例5-1、已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围
例5-2、若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
同步练习
1、已知曲线在处的切线方程为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2、曲线在处的切线与直线相互垂直，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
3、已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4、已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5、已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
6、已知函数.若过点存在3条直线与曲线相切，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
7、若直线是曲线的一条切线，则______．
8、曲线在点处的切线方程为__________．
9、曲线过原点的切线方程为______.
10、曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为 ．
11、若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______.
12、若两曲线y＝x2+1与y＝alnx+1存在公切线，则正实数a的取值范围是_________．
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高中数学重难点突破
专题十 函数的切线问题求解策略
知识归纳
导数的概念
1、平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率用表示,＝. 几何意义：割线的斜率
2、导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝=
几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是在曲线y＝f (x)上点(x0，f (x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)。
特别注意：
①区分清“求曲线上过点M的切线”与“求曲线上在点M处的切线”；
前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。
②判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。
导数的运算
1、常见函数的导数公式：
； (2)； (3)；
(4)； (5)；
(6)； (7)且； (8).
2、两个函数的和(或差)积商的导数
(1)
(2)
(3)
3、复合函数的求导法则：
两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：，其中u为中间变量.即： 对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
典例分析
题型一、平均变化率与导数的概念的应用
例1、(1)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则 的值为( )
A．f ′(x0) B．2f ′(x0) C．－2f ′(x0) D．0
(2)若f′(x0)＝2，则li＝__________.
(1) ＝2＝2 ＝2f′(x0)．
(2)li =li ==
题型二、导数的计算
例2、计算下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)； (2)y＝； (3)y＝ln； (4)y＝sin2.
解：(1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
∴y′＝18x2－10x－4.
(2)y′＝＝＝－
(3)y′＝＝＝.
(4)y′＝＝2sin·＝2sin·cos·
＝2sin·cos·2＝2sin.
题型三、导数与切线
例3-1、(1)求函数在处的切线方程
(2)求过点，且与曲线相切的直线方程
解：(1)当为切点时
切线方程为：
(2)当不是切点时，设切点，切线斜率为
，消去可得：
而
方程等价于：
解得：（舍），
切线方程为
综上所述：切线方程为或
例3-2、函数上一点处的切线方程为，则a= ，b= .
(2)在上，
又因为处的切线斜率为
例3-3、(1)过点(e，－e)作曲线y＝ex－x的切线，则切线方程为( )
A．y＝(－1－e)x＋e2 B．y＝(e－1)x－e2 C．y＝(ee＋1－1)x－ee＋2 D．y＝(ee－1)x－ee＋1
【答案】y＝(ee＋1－1)x－ee＋2.
【详解】(1)由y＝ex－x，得y′＝ex－1，
设切点为(x0，－x0)，则y′|x＝x0＝－1，
∴切线方程为y－＋x0＝(－1)(x－x0)，
∵切线过点(e，－e)，
∴－＝(e－x0)，
解得：x0＝e＋1.
∴切线方程为
y－ee＋1＋e＋1＝(ee＋1－1)(x－e－1)，
整理得：y＝(ee＋1－1)x－ee＋2.
(2)曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．
【答案】
【详解】由，设切线斜率为，切点横坐标为，则，得，所以
故答案为：
例3-4、已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A.1 B.2 C.－1 D.－2
解析 设切点为(x0，y0)，y′＝，
所以有解得
例3-5、设对函数f(x)＝－ex－x图象上任意一点处的切线为l1，若总存在函数g(x)＝ax＋2cos x图象上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，2] B．(－1，2) C．[－2，1] D．(－2，1)
解析 f(x)＝－ex－x，则f′(x)＝－ex－1，
∵ex＋1>1，∴－ex－1<－1，
由g(x)＝ax＋2cos x，可得g′(x)＝a－2sin x，
又－2sin x∈[－2，2]，
∴a－2sin x∈[－2＋a，2＋a]，
要使得l1⊥l2，则
∴方程有对于任意的x1都解
则解得－1≤a≤2.
即实数a的取值范围是[－1，2]．
例3-6、已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是________.
【答案】
【详解】，，
,，
的取值范围是．故答案为：．
例3-7、设点P是曲线上的任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，
则，易知，
所以曲线的图象在直线的上方．
，
令，得或，
因为，所以点P到直线的距离的最小值．
故选：A
题型四、公切线问题
例4-1、若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________.
【答案】
【解析】
第一步：设与和的切点分别为
第二步：由导数的几何意义可得，得，
第三步：由切点也在各自的曲线上，可得，联立上述式子解得.
例4-2、设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，，，，，
又为与公共点，，，解得：，
.
故选：D.
例4-3、已知函数与在交点处有公共的切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于函数与的导函数分别为：，．设切点的横坐标为，则，解得．
故选：A．
题型五、切线的条数问题
例5-1、已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围
例5、解：设切点坐标，切线斜率为，则有：
切线方程为：
因为切线过，所以将代入直线方程可得：
所以问题等价于方程，令
即直线与有三个不同交点
令解得 所以在单调递减，在单调递增
所以若有三个交点，则
所以当时，过点存在3条直线与曲线相切
例5-2、若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．A
【解析】设切点为，∵，∴，
∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为，
代入点P的坐标，化简得，
∵过点可以作三条直线与曲线相切，
∴方程有三个不等实根.
令，求导得到，
可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
如图所示，故，即.
故选：A.
同步练习
1、已知曲线在处的切线方程为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
1、【答案】C
【详解】由题意，函数，可得，
因为曲线在处的切线方程为，
可得，解得，
将切点坐标为带入切线方程，即，解得.
故选：C.
2、曲线在处的切线与直线相互垂直，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2、【答案】A
【详解】
曲线在处的切线斜率为
由切线与直线相互垂直
可得
解得
故选：A
3、已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3、【答案】C
【详解】因为，所以，
联立可解得，所以，
所以，.
所以曲线在点处的切线方程为，
所以所求的切线方程为.
故选：C
4、已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、【答案】D
【详解】，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，，
由题知，∴，，
两点处的切线方程分别为和，
故，即.
故选：D.
5、已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
5、【答案】A
【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，
，即方程有两个解，则有或.
故答案为:A.
6、已知函数.若过点存在3条直线与曲线相切，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】B
6、【详解】
设函数上任意一点，
在点处的切线方程为，
即.
若过点，则
依题意，方程有三个不等实根.
令，
，得，.
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
因此的极小值为，极大值为.
若有三个不等实根，故.
故选：B
7、若直线是曲线的一条切线，则______．
7、【答案】
【解析】第一步，设出切点的坐标为并求出函数在切点处的导数：
设切点为，，所以
第二步，充分考虑题目的已知条件，抓住切线的定义，挖掘题目的隐含条件，寻找解题的等量关系：
则将①代入②得，即，
第三步，利用方程的思想即可得出结论：
∴或，
8、曲线在点处的切线方程为__________．
8、【答案】
【解析】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
9、曲线过原点的切线方程为______.
9、【答案】
【详解】设切点为，，，
所求切线方程为，
代入点可得，得，
所求切线方程为，整理得.
故答案为：．
10、曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为 ．
10、【答案】
【解析】设切线的切点坐标为，，
∴切点坐标为，所求的切线方程为，即，故答案为：．
11、若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______.
11、或
【解析】令，，则，.
设切点分别，，
则切线方程为，即；
，即，
∴，即，
∴，∴或.
当时，切线方程为，∴；
当时，切线方程为，∴.
综上所述，或.
故答案为: 或
12、若两曲线y＝x2+1与y＝alnx+1存在公切线，则正实数a的取值范围是_________．
12、【答案】（0，2e]
【详解】设公切线与曲线y＝x2+1和y＝alnx+1的交点分别为（x1，x12+1），（x2，alnx2+1），其中x2＞0，对于y＝x2+1，y′＝2x，所以与曲线y＝x2+1相切的切线方程为：y﹣（x12+1）＝2x1（x﹣x1），
即y＝2x1x﹣x12+1，对于y＝alnx+1，y′＝，
所以与曲线y＝alnx+1相切的切线方程为y﹣（alnx2+1）＝（x﹣x2），即y＝x﹣a+1+alnx2，
所以，即有﹣＝alnx2﹣a，
由a＞0，可得a＝4x2﹣4x2lnx，
记f(x)＝4x2﹣4x2lnx（x＞0），f′(x)＝8x﹣4x﹣8xlnx＝4x（1﹣2lnx），
当x＜时，f′(x)＞0，即f(x)在（0，）上单调递增，
当x＞时，f′(x)＜0，即f(x)在（，+∞）上单调递减，
所以f(x)max＝f（）＝2e，又x→0时，f(x)→0，x→+∞时，f(x)→﹣∞，所以0＜a≤2e．
故答案为：（0，2e]．
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