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高中数学重难点突破
专题九 导数与函数的最值
知识归纳
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
典例分析
【例1】求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
【例1】解 (1)f(x)＝2x3－12x，
∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－) － (－，) (，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8；
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈0,2π]，解得x＝π或x＝π.
计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f(π)＝＋，f(π)＝π－.
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
【变式1】(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈0,3]；
(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈2,5]．
【变式1】(1)∵f(x)＝x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
∵f(2)＝－，f(0)＝4，f(3)＝1，
∴函数f(x)在0,3]上的最大值为4，最小值为－.
(2)∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，
∵在区间2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
即函数f(x)在区间2,5]上单调递减，
∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
【变式2】(1)函数f(x)＝，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________．
(2)函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为( )
A．4e－1 B．1 C．e2 D．3e2
【变式2】答案 (1)2 －2 (2)C
(1)∵y′＝＝，
令y′＝0可得x＝1或－1.
又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－，
∴最大值为2，最小值为－2.
(2)∵f′(x)＝(x2＋2x)ex＋1＝x(x＋2)ex＋1，∴f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.
又当x∈[－2,1]时，ex＋1＞0，
∴当－2＜x＜0时，f′(x)＜0；
当0＜x＜1时f′(x)＞0.
∴f(x)在(－2,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增．
又f(－2)＝4e－1，f(1)＝e2，
∴f(x)的最大值为e2.
【例2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
【例2】[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
f′(x) ＋ 0 －
f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3
∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，
∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，
f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
【变式3】(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．
(2)若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
(1)－71 (2)－1
(1)f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
则f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.
(2)f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当－0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．
∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.
【例3】(选讲)a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
【例3】[解] f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
∵x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．
(1)若0＜＜1，即0＜a＜1，
则当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a.(如下表所示)
x 0 (0，) (，1) 1
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 0 ↗ 2a ↘ 3a－1
(2)若≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；
当0＜a＜1，x＝时，f(x)有最大值2a；
当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
【变式4】已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
【变式4】[解] f′(x)＝3x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
②当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
③当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在上单调递减，
在上单调递增，从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．函数y＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是( )．
A．－ B．－ C．－4 D．－
1、解析 y′＝x2＋2x－3(x∈[0,2])，令x2＋2x－3＝0，知x＝－3或x＝1为极值点．当x＝1时，ymin＝－，故选A.
答案 A
2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
2、A [f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]
3．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.
3、1 [f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，
当x∈(－2,0)时，f′(x)＜0，
当x∈(0,2)时，f′(x)＞0，
∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．
∴f(0)＝m＝1.]
4．求函数f(x)＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1,4]上的最大值与最小值．
4、解 f′(x)＝5x4＋20x3＋15x2＝5x2(x＋3)(x＋1)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝－1或x＝－3(舍)，
列表：
x －1 (－1,0) 0 (0,4) 4
f′(x) 0 ＋ 0 ＋
f(x) 0 ? 1 ? 2 625
又f(0)＝1，f(－1)＝0，右端点处f(4)＝2 625，
∴函数y＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1,4]上的最大值为2 625，最小值为0.
课后作业（常考题型与解题技巧）
5．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为( )
A．16 B．12
C．32 D．6
5、C [∵f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，
可知M－m＝24－(－8)＝32.]
6．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( )
A．0 B. C. D.
6、C [f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在区间[2,4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.]
7．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D.
7、A [令y′＝＝＝0(x＞0)，
解得x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0.
y极大值＝f(e)＝，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，
所以ymax＝.]
8．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为
( )．
A．0≤a<1 B．0C．－18、解析 ∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，
又∵x∈(0,1)，∴0答案 B
9．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，) B．(－1,4)
C．(－1,2] D．(－1,2)
9、C [由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ －2 ↗ 2 ↘
由此得a2－12＜－1＜a，
解得－1＜a＜.
又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.
综上，－1＜a≤2.]
10．函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________．
10、解析 y′＝1－2sin x＝0，x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.
答案 ＋
11．已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1,1]都成立，则实数a的取值范围是________．
11、(－∞，1] [设f(x)＝4x3＋4x2＋1，则f′(x)＝12x2＋8x＝4x(3x＋2)，
由f′(x)＝0得x＝－或x＝0.
又f(－1)＝1，f＝，f(0)＝1，f(1)＝9，
故f(x)在[－1,1]上的最小值为1.
故a≤1.]
12．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]；
(2)f(x)＝sin 2x－x，x∈.
12、[解] (1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：
x －2 (－2，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －1 ↗ 11 ↘ －1 ↗ 11
从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.
当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.
(2)f′(x)＝2cos 2x－1，令f′(x)＝0，得cos 2x＝，
又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．
∴2x＝±.∴x＝±.
∴函数f(x)在上的两个极值分别为
f＝－，f＝－＋.
又f＝－，f＝.
比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.
13．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
13、解 (1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
∴f(2)＞f(－2)．
于是有22＋a＝20，∴a＝－2.
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.
∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．
又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，
∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，
∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即f(x)最小值为－7.
14．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
14、[解] 易知f(x)的定义域为.
(1)f′(x)＝＋2x＝＝.
当－0；
当－1当x>－时，f′(x)>0，
从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减．
(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f＝ln 2＋.
又因为f－f＝ln＋－ln－
＝ln＋＝<0，
所以f(x)在区间上的最大值为
f＝＋ln.
提高训练题（思维与综合能力提升）
15．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( )
A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
15、A [令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)，
又f′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max≤F(a)＝f(a)－g(a)．]
16．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
16、(－∞，2ln 2－2] [函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可．]
17．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__________．
17、[e，＋∞) [由f(x)＝＋2ln x得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.]
18．已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若 x0∈[－1,4]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是________．
18、 [∵f(x0)＝2a，即x－x＋6x0＋a＝2a，
可化为x－x＋6x0＝a，
设g(x)＝x3－x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2.
∴g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4)＝16.
由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，∴－≤a≤16.]
19．已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
19、[解] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.
令x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ －ek－1 ↗
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，
函数f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，
函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
20．已知函数f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．
20、解 ∵f(x)＝x2e－ax(a>0)，
∴f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．
令f′(x)>0，即e－ax(－ax2＋2x)>0，
得0∴f(x)在(－∞，0)，上是减函数，
在上是增函数．
当0<<1，即a>2时，f(x)在(1,2)上是减函数，
∴f(x)max＝f(1)＝e－a.
当1≤≤2，即1≤a≤2时，
f(x)在上是增函数，
在上是减函数，
∴f(x)max＝f＝e－2.
当>2，即0∴f(x)max＝f(2)＝4e－2a.
综上所述，当0当1≤a≤2时，f(x)的最大值为e－2；
当a>2时，f(x)的最大值为e－a.
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高中数学重难点突破
专题九 导数与函数的最值
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
知识归纳
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
典例分析
【例1】求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
【变式1】(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0,3]； (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．
【变式2】(1)函数f(x)＝，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________．
(2)函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为( )
A．4e－1 B．1 C．e2 D．3e2
【例2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
【变式3】(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．
(2)若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
【例3】(选讲)a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
【变式4】已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．函数y＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是( )．
A．－ B．－ C．－4 D．－
2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
3．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.
4．求函数f(x)＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1,4]上的最大值与最小值．
课后作业（常考题型与解题技巧）
5．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为( )
A．16 B．12
C．32 D．6
6．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( )
A．0 B. C. D.
7．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D.
8．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )．
A．0≤a<1 B．0C．－19．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，) B．(－1,4)
C．(－1,2] D．(－1,2)
10．函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________．
11．已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1,1]都成立，则实数a的取值范围是________．
12．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈.
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
13．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
14．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
提高训练题（思维与综合能力提升）
15．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( )
A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
16．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
17．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__________．
18．已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若 x0∈[－1,4]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是________．
19．已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
20．已知函数f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．
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