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高中数学重难点突破
专题六 导数与切线方程
知识归纳
1．导数的几何意义
(1)切线的定义
如图所示，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义
导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝ ＝f′(x0)．
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．某点处的切线与过点的切线区别
曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
3．利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
典例分析
【例1】(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
【变式1】(1)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B． C．－ D．－1
(2)如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A．－4 B．3
C．－2 D．1
【例2】已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．
【变式2】求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程
【例3】已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．
【例4】(选讲)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________．
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4 B．－4 C．－2 D．2
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
3．已知点P(－1,1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1 C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2
4．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的
导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：
f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．
5．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为____________________．
6．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是______________________.
课后作业（常考题型与解题技巧）
7．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4) C． D．
8．如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，
则f(5)＋f′(5)等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
9．函数y＝ln x在x＝2处的切线斜率为________________．
10．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．
11．过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1) 平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．
12．求函数在处的切线方程
13．已知曲线y＝x2，
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．
提高训练题（思维与综合能力提升）
14．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A. B.
C. D．1
15．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
16．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________.
17．曲线y＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
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专题六 导数与切线方程
知识归纳
1．导数的几何意义
(1)切线的定义
如图所示，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义
导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝ ＝f′(x0)．
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．某点处的切线与过点的切线区别
曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
3．利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
典例分析
【例1】(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
【例1】(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．
(2)由题意，知k＝y′|x＝0
＝ ＝1，∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.]
【变式1】(1)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B．
C．－ D．－1
(2)如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A．－4 B．3
C．－2 D．1
【变式1】A [由题意可知，f ′(x)＝2ax, f ′(1)＝2a. 故由2a＝2得a＝1.]
D [直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0.
又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1.]
【例2】已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．
【例2】[解] (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．
y′＝3x2.
∴k＝y′|x＝1＝3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x，由题意可知kPQ＝y′|x＝x0，
即＝3x，又y0＝x，所以＝3x，即2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－.
①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.
②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0.
【变式2】求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程
【变式2】[解] 设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝1±，所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)
【例3】已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．
【例3】[解] 设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则
f′(x)＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2,3)．
当切点为时，有＝4×＋a，∴a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，
因此切点坐标为或(2,3)，
a的值为或－5.
【例4】(选讲)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________．
【例4】 [与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝＝.]
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4 B．－4
C．－2 D．2
1、D [由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.]
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
2、B [由导数的几何意义可知选项B正确．]
3．已知点P(－1,1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2
3、B [由题意可知， 曲线在点P处的切线方程为
y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.]
4．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：
f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．
4、＞ [f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，
由图象可得f′(a)＞f′(b)．]
5．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
5、x＋2y＋4＝0 [f′(x)＝，k＝f′(-1)=－
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.]
6．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是__________.
6、4x＋y－2＝0 [因为y＝x2－2x＋3，y′=2x-2
切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝y′|x＝－1=－4，
所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.]
课后作业（常考题型与解题技巧）
7．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C． D．
7、D [∵y′＝2x，
∴令2x＝tan ＝1，得x＝.∴y＝＝，所求点的坐标为.]
8．如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8、A [易得切点P(5,3)，∴f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.]
9．函数y＝ln x在x＝2处的切线斜率为________．
9、 [∵y＝ln x，∴y′＝，∴y′|x＝2＝.]
10．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．
10、(0,0) [y′＝2x＋2.
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
所以点P处的切线的斜率为2，
所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)．]
11．过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1) 平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
11、[解] f′(x)＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
(3)∵切线与x轴成135°的倾斜角，
∴其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
12．求函数在处的切线方程
12、解： 切点坐标为
切线方程为：
13．已知曲线y＝x2，
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．
13、[解] (1)∵y′=2x，
∴y′|x＝1＝2.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为A(x0，y0)，
由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，
∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)， ①
再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x， ②
联立①，②得x0＝1或x0＝5.
从而切点为(1,1)时，
切线的斜率为k1＝2x0＝2，
此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，
此时切线方程为y－25＝10(x－5)，
即y＝10x－25.
综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.
提高训练题（思维与综合能力提升）
14．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A. B.
C. D．1
14、A [依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝.]
15．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
15、D [因为y＝，所以y′＝＝＝.
因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，所以α∈.]
16．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________.
16、eln 3 [设切点为(x0，y0)．
因为y′＝3xln 3， ①
所以k＝3x0ln 3，所以y＝3x0ln 3·x，
又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，
所以3x0ln 3·x0＝3x0， ②
所以x0＝＝log3 e.
所以k＝eln 3.]
17．曲线y＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
17、[解] ∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x，
∴y′|x＝0＝1.
∴曲线y＝esin x在(0,1)处的切线方程为
y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设为x－y＋m＝0.
由＝得m＝－1或3.
∴直线l的方程为：x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
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