中小学教育资源及组卷应用平台
高中数学重难点突破
专题五 导数的概念及计算
知识归纳
1．函数的平均变化率
(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为＝，其中Δx＝x2－x1是相对于x1的一个“增量”，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”．
(2)平均变化率的几何意义
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示．
2．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，
即 ＝ .
3．导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′|x＝x0，
即f′(x0)＝ .
4．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax f′(x)＝axln a(a＞0)
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax f′(x)＝(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln x f′(x)＝
5．导数的运算法则
(1)和差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)积的导数：①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；②[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)商的导数:＝(g(x)≠0)．
6．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
7．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
典例分析
【例1】已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
【变式1】如图所示，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【例2】设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)等于( )
A．1 B．－1 C．－ D．
【变式2】设函数f(x)可导，则 等于( )
A．f′(1) B．3f′(1) C．f′(1) D．f′(3)
【例3】求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝sin x.
【变式3】给出下列命题：①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－； ③y＝2x，则y′＝2xln 2；
④y＝log2x，则y′＝.其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2； (2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝； (4)y＝x2－sin cos.
【变式4】设y＝－2exsin x，则y′等于( )
A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
【例5】求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1； (2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)； (4)y＝sin3x＋sin 3x.
【变式5】求下列函数的导数．
(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝2sin；(4)y＝.
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为( )
A．4 B．4x C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx
2．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．4
3．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
4．函数y＝(2 019－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2 019－8x)2 B．－24x C．－24(2 019－8x)2 D．24(2 019－8x)2
5．函数y＝mx2m－n的导数为y′＝4x3，则( )
A．m＝－1，n＝－2 B．m＝－1，n＝2 C．m＝1，n＝2 D．m＝1，n＝－2
6．若f(x)＝，则f(x)的导数是( )
A. B.
C. D.
课后作业（常考题型与解题技巧）
7．若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则 等于( )
A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0
8．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
9．某质点的运动方程为s＝(其中s的单位为米，t的单位为秒)，则质点在t＝3秒时的速度为( )
A．－4×3－4米/秒 B．－3×3－4米/秒 C．－5×3－5米/秒 D．－4×3－5米/秒
10．函数y＝(ex＋e－x)的导数是( )
A.(ex－e－x) B.(ex＋e－x) C．ex－e－x D．ex＋e－x
11．函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
12．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
14．求下列函数的导数．
(1)y＝ln(sinx)； (2)y＝102x＋3； (3)y＝sin4x＋cos4x.
提高训练题（思维与综合能力提升）
15．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 019(x)＝( )
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
16．已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝________.
17．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′；
(2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
高中数学重难点突破
专题五 导数的概念及计算
知识归纳
1．函数的平均变化率
(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为＝，其中Δx＝x2－x1是相对于x1的一个“增量”，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”．
(2)平均变化率的几何意义
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示．
2．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，
即 ＝ .
3．导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′|x＝x0，
即f′(x0)＝ .
4．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax f′(x)＝axln a(a＞0)
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax f′(x)＝(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln x f′(x)＝
5．导数的运算法则
(1)和差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)积的导数：①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；②[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)商的导数:＝(g(x)≠0)．
6．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
7．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
典例分析
【例1】已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
【例1】[解] (1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为＝0.9.
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx.
【变式1】如图所示，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【变式1】B [平均变化率为＝－1.故选B.]
【例2】设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)等于( )
A．1 B．－1 C．－ D．
【例2】C [∵ ＝ ＝－3f′(x0)＝1，
∴f′(x0)＝－，故选C.]
【变式2】设函数f(x)可导，则 等于( )
A．f′(1) B．3f′(1) C．f′(1) D．f′(3)
【变式2】C [ ＝ ＝f′(1)．]
【例3】求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝sin x.
【例3】[解] (1)∵y＝cos ＝，∴y′＝0.
(2)∵y＝＝x－5，∴y′＝－5x－6.
(3)∵y＝＝＝x，∴y′＝x.
(4)∵y＝lg x，∴y′＝.
(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln 5.
(6)y＝sin x，∴y′＝cos x.
【变式3】给出下列命题：
①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－； ③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【变式3】C [对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－，故②正确；显然③，④正确，故选C.]
【例4】求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2； (2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝； (4)y＝x2－sin cos.
【例4】[解] (1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x，
∴y′＝2x－cos x.
【变式4】设y＝－2exsin x，则y′等于( )
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
【变式4】D [∵y＝－2exsin x，∴y′＝－2exsin x－2excos x＝－2ex(sin x＋cos x)．]
【例5】求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.
【例5】[解] (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′
＝3u2·cos x＋3cos v
＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
【变式5】求下列函数的导数．
(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝2sin；(4)y＝.
[解] (1)令u＝3x－2，则y＝10u，
所以y′x＝y′u·ux′＝10uln 10·(3x－2)′＝3×103x－2ln 10.
(2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u，
所以y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(3)设y＝2sin u，u＝3x－，则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos.
(4)设y＝u－，u＝1－2x，
则y′x＝y′u·u′x＝·(1－2x)′＝－u－×(－2)＝(1－2x)－.
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx
1、[答案] D [＝＝4＋2Δx.故选D.]
2．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．4
2、[答案] B [由已知得：＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2.]
3．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
3、[答案] A
4．函数y＝(2 019－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2 019－8x)2 B．－24x
C．－24(2 019－8x)2 D．24(2 019－8x)2
4、[答案] C [y′＝3(2 019－8x)2×(2 019－8x)′＝3(2 019－8x)2×(－8)＝－24(2 019－8x)2.]
5．函数y＝mx2m－n的导数为y′＝4x3，则( )
A．m＝－1，n＝－2 B．m＝－1，n＝2
C．m＝1，n＝2 D．m＝1，n＝－2
5、[答案] D [∵y＝mx2m－n，∴y′＝m(2m－n)x2m－n－1，
又y′＝4x3，∴∴即]
6．若f(x)＝，则f(x)的导数是( )
A. B.
C. D.
6、[答案] A [f′(x)＝＝.]
课后作业（常考题型与解题技巧）
7．若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则 等于( )
A．f′(x0) B．2f′(x0)
C．－2f′(x0) D．0
7、[答案] B [法一： ＝
＝ ＋ ＝f′(x0)＋
＝f′(x0)＋f′(x0)＝2f′(x0)．
法二： ＝ ＝2
＝2f′(x0)．]
8．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
8、[答案] C [∵f′(x0)＝ ＝ ＝ (a＋bΔx)＝a，∴f′(x0)＝a.]
9．某质点的运动方程为s＝(其中s的单位为米，t的单位为秒)，则质点在t＝3秒时的速度为( )
A．－4×3－4米/秒 B．－3×3－4米/秒
C．－5×3－5米/秒 D．－4×3－5米/秒
9、[答案] D [由s＝得s′＝＝(t－4)′＝－4t－5.得s′|t＝3＝－4×3－5，故选D.]
10．函数y＝(ex＋e－x)的导数是( )
A.(ex－e－x) B.(ex＋e－x) C．ex－e－x D．ex＋e－x
10、[答案] A [y′＝(ex＋e－x)′＝(ex－e－x)．]
11．函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
11、[答案] B [y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.]
12．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
12、[答案] [∵f′(x)＝，∴f′(1)＝＝.]
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
13、[答案] 1 [因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.]
14．求下列函数的导数．
(1)y＝ln(sinx)； (2)y＝102x＋3； (3)y＝sin4x＋cos4x.
14、[解] (1)令u＝sinx，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(sinx)′＝·(cosx)＝=.
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.
(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2 x·cos2 x＝1－sin2 2x＝1－(1－cos 4x)＝＋cos 4x.
∴y′＝－sin 4x.
提高训练题（思维与综合能力提升）
15．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 019(x)＝( )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
15、[答案] D [f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，所以4为最小正周期，故f2 019(x)＝f3(x)＝－cos x．]
16．已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝________.
16、[答案] － [∵f′(x)＝f′cos x－sin x，∴f′＝f′cos －sin ＝－1，
∴f′(x)＝－cos x－sin x，∴f′＝－cos －sin ＝－.]
17．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′；
(2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．
17、[解] (1)∵f(x)＝eπxsin πx，
∴f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcos πx＝πeπx(sin πx＋cos πx)．
∴f′＝πe＝πe.
(2)设切点的坐标为P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝0.
又y′＝，∴y′|x＝x0＝＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即该点的坐标为(0,1)，切线方程为y－1＝0.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
