江苏专版2023_2024学年新教材高中数学模块综合测评新人教A版选择性必修第二册（含解析）

模块综合测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 记为等比数列的前项和.若,,则( )
A. 22 B. 24 C. 28 D. 30
2. 曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3. 在等差数列中,,那么该数列的前14项和为( )
A. 20 B. 21 C. 42 D. 84
4. 设等比数列的前项和为,且满足,.若,则数列的前10项和是( )
A. B. C. 25 D. 35
5. 中国明代商人程大位对书法和数学颇感兴趣,他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》.该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石,令三人从上互和减半分之,只云甲多丙米三十六石,问：各该若干？”大致意思是:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三个人来分,他们分得的米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少石米？”则甲应该分得( )
A. 78石 B. 76石 C. 75石 D. 74石
6. 已知函数,,若在区间上单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. [2023河南南阳期末]对于函数,,下列说法正确的是( )
A. 函数 有唯一的极大值点 B. 函数 有唯一的极小值点
C. 函数 有最大值没有最小值 D. 函数 有最小值没有最大值
8. 已知为定义在上的可导函数,为其导函数,且恒成立,是自然对数的底数,则( )
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 函数的导函数的图象如图所示,下列说法正确的是( )
A. 为函数 的单调递增区间
B. 为函数 的单调递减区间
C. 函数 在 处取得极大值
D. 函数 在 处取得极小值
10. 等差数列是递增数列,满足,前项和为,下列选项正确的是( )
A. 公差 B.
C. 当 时, 最小 D. 当 时, 的最小值为8
11. [2023重庆长寿校级期末]已知数列中,,,则关于数列的说法正确的是( )
A. B. 数列为递增数列
C. D. 数列 的前 项和小于
12. 已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 若函数在点处的切线方程为,则,.
14. [2023天津津南期末]随着双减政策的落地,小明决定利用写完作业后的时间进行了一次“阅读经典”的活动,阅读书籍共1 200页.他第一天只读了10页,之后采取了积极措施,从第二天起每一天阅读的量都比前一天多10页.在这次“阅读经典”活动中,小明一共进行的天数为.
15. 在数列中,已知,,记数列的前项之积为,若,则的值为.
16. [2023北京丰台期末]已知函数存在两个极值点,,给出下列四个结论：
①函数有零点;
②的取值范围是,;
③;
④.
其中所有正确结论的序号是.
四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）过函数图象上两点和作曲线的割线.
（1） 求出当时割线的斜率;
（2） 求在处的瞬时变化率.
18. [2023浙江杭州校级期末]（12分）等差数列的前项和为,已知,,求：
（1） 数列的通项公式;
（2） 数列的前项和的最小值.
19. （12分）设,函数.
（1） 若函数为奇函数,求实数的值;
（2） 若函数在处取得极小值,求实数的值.
20. [2023山东青岛崂山期末]（12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图中（1）,（2）,（3）,（4）为她们刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同）,设第个图形包含个小正方形.
（1） 求的值;
（2） 求出的表达式;
（3） 求证：当时,.
21. （12分）已知数列满足,.
（1） 证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
（2） 令,求数列的前项和.
22. （12分）已知函数.
（1） 若,讨论在上的单调性;
（2） 若函数在上的最大值小于,求实数的取值范围.
模块综合测评
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. D
[解析]设等比数列的公比为,首项为,
则,
所以,,
所以,
解得,,
所以.
故选.
2. A
[解析],则曲线在点处的切线斜率为,所以切线方程为,即,故选.
3. B
[解析]由,得,即,则数列的前14项和为.
4. C
[解析]设等比数列的公比为.由题意知,
则解得
所以,所以,所以数列的前10项和.故选.
5. A
[解析]今有白米一百八十石,甲、乙、丙三个人来分,设他们分得的米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,
因此公差,
则前3项和,
解得.
所以甲应该分得78石.
6. B
[解析]因为,定义域为,
所以,
依题意在区间上恒成立,
即在区间上恒成立,
所以在区间上恒成立,
令,,
则,在区间上单调递增,
所以在处取得最小值,
即,
所以.故选.
7. A
[解析],,
,
令,
则在区间上恒成立,
则在区间上单调递减,
而,,
存在,使得当时,,单调递增,当时,,单调递减,
又,,
则函数有唯一的极大值点,且函数有最大值和最小值.
故选.
8. B
[解析]令,
则,
因为,
所以,
故函数在上单调递增,
所以,
故,
即.
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. ABD
[解析]由题图可知,当或时,;当或时,,所以函数的单调递减区间为,,单调递增区间为,,所以函数在,处取得极小值,在处取得极大值,故选项错误,正确.
10. ABD
[解析]因为是等差数列，,
所以,
解得,
又由等差数列是递增数列,可知,
则,
故,正确.
因为,
由可知,当或时,最小,故错误,
令,
解得或,又,
故当时,的最小值为8,故正确.
故选.
11. BCD
[解析]由,
得,
即,
又,,
所以{}是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以,
即,所以,
故错误,正确.
由,可知为递增数列,故正确.
,
所以数列的前项和为,故正确.故选.
12. ACD
[解析]构造函数，，
所以在区间上,,单调递增；
在区间上,,单调递减，
所以，
故，当且仅当时等号成立.
即,，
当且仅当时等号成立.
所以,，选项错误，，选项正确.
构造函数，，
所以在区间上,,单调递增；
在区间上,,单调递减，
所以,，选项错误.故选.
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 2; 1
[解析]由题得,
又,,
即,,
所以,.
14. 15
[解析]由题意可得“阅读经典”活动小明每天的读书页数为等差数列,
设该等差数列为,
由题意可得首项,公差,则通项公式,
所以数列的前项和,
设天读完,则,
即,,
解得或（舍去）,
所以.
15. 2 022
[解析]由及,得,,,,猜想.
经检验符合题意.
数列的前项之积为.
当时,的值为2 022.
16. ①④
[解析]显然,①正确;函数的定义域为,,
由于存在两个极值点,则有两个不相等的正根,
所以
解得,②错误;
令,
得,
解得,,
又,
则,,③错误;
由前面分析可知,函数在,上单调递减,在上单调递增,
所以,④正确.
四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1） 解当时,,
故,
故.
（2） .则瞬时变化率
.
18. （1） 解由已知得
解得
所以.
（2） .
当或6时,有最小值.
19. （1） 解由已知,得,
,.
为奇函数,
,,即,
.
（2） 的定义域为,
当变化时,,的变化情况如下表：
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
在处取得极小值,
,.
20. （1） 解根据题意,由题干中的图形可得
,
,
,
,
,
.
（2） 解根据题意,,
,
,
,
……由此类推：.则.
（3） 证明由（2）的结论,,当时,,则.又由,故结论成立.
21. （1） 解由可得.
,
是首项为2,公比为2的等比数列.
,
.
（2） 由（1）知,
,,
.
.
22. （1） 解,
则,
令,解得,
令,解得,
故在上单调递减,在上单调递增,
①当时,在上单调递减,
②当时,在上单调递减,在上单调递增.
（2） ,
,
①当时,,令,解得,
故在上单调递减,在上单调递增,
故在上单调递增,,不符合题意;
②当时,,在上单调递增,,
故无解,不符合题意;
③当时,,
令,解得或,
令,解得,
故在上单调递减,在上单调递增,
故或.
若是最大值,则,
此时,则,
故;
若是最大值,则,
故,
故;
④当时,,
故在上单调递减,,符合题意.
综上,的取值范围是,.