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高中数学重难点突破
专题五 排列组合问题求解
【高考地位】
排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答。同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。
其考试题型主要有填空题、选择题或者解答题中的应用，其难度不会太大．其试题难度属中高档题.
【知识要点】
1、排列数中、组合数中.
(1)排列数公式
；
(2)组合数公式
；规定,.
(3)排列数、组合数的性质：①；②；③；④；⑤；⑥.
2、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事）,分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事,各步是关联的）,有序排列,无序组合．
【典例分析】
一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）
【例1】由可以组成多少个没有重复数字五位奇数？
二、相邻问题捆绑法
【例2】7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？
三、相离问题插空法
【例3】一个晚会节目有个舞蹈，个相声，个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？
四、定序问题除序（去重复）、空位、插入法
【例4】人排队，其中甲、乙、丙人顺序一定，共有多少种不同的排法？
五、先分组后分配法
1、非均匀分组（分步组合法）
“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
【例5】人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？
①分成组，分别为人、人、人；
②选出个人分成组，一组人，另一组人。
2、均匀分组（去除重复法）
“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
(1)全部均匀分组（去除重复法）
【例6】人参加义务劳动，选出个人，分成组，每组都是人，有多少种不同的分法？
(2)部分均匀分组（去除重复法）
【例7】个不同零件分成堆，每堆分别有、、、个，有多少种不同的分法？
小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有个组的元素是均匀的，都有种顺序不同的分法只能算一种分法。
3、编号分组
(1)非均匀编号分组（分步先组合后排列法）
【例8】人参加义务劳动，选出人一组、人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？
(2)部分均匀编号分组（分组法）
【例9】本不同的书全部分给人，每人至少本，有多少种不同的分法？
【例10】已知集合含有个元素，集合含有个元素。现建立从到的映射，使中的每个元素在中都有原象的映射有多少个？
4、限制条件分配问题分类法
【例11】某高校从某系的名优秀毕业生中选人，分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
六、元素相同问题隔板法
【例12】有个运动员名额，分给个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
【例13】，求这个方程的自然数解的组数。
七、正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法）
【例14】从十个数字中取出三个，使其和为不小于的偶数，不同的取法有多少种？
重排问题求幂法
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.
【例15】把名实习生分配到个车间实习，共有多少种不同的分法？
九、环（圆）排问题直排法
把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.
【例16】人围桌而坐，共有多少种坐法？
十、含约束条件问题合理分类与分步法
【例17】在一次演唱会上共名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要演出一个人唱歌人伴舞的节目，有多少种选派方法？
十一、简单问题实际操作穷举法
【例18】设有编号，，，，的五个球和编号，，，，的五个盒子，现将个球放入个盒子内，要求每个盒子放个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
十二、数字排序问题查字典法
【例19】由，，，，，六个数字可以组成多少个没有重复的比大的数？
十三、涂色问题的分类法
1、区域涂色问题
(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。
【例20】用种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。
【例21】种不同的颜色涂在如图所示的个区域，且相邻两个区域不能同色。
【例22】如图所示，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。现有种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？
(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论。从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数。
【例23】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，五种颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
(4)根据相间区域使用颜色分类讨论。
【例24】如图，个扇形区域、、、、、，现给这个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有种不同的颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法
2、点涂色问题
方法：㈠根据共用了多少种颜色分类讨论；
㈡根据相对顶点是否同色分类讨论；
㈢将空间问题平面化，转化为区域涂色问题。
【例25】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使
同一条棱的两端点异色，如果只有种颜色可供使用，那么不同的
染色方法的总数是多少？
3、线段涂色问题
方法：㈠根据共用了多少颜色分类讨论。
㈡根据相对线段是否同色分类讨论。
解决线段涂色问题，要特别注意对各条线段依次涂色。
【例26】用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
十四、复杂问题分解与合成法
分解与合成法是解排列组合问题的一种最基本的解题方法。把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成。从而得到问题的答案。每个比较复杂的问题，都要用到这种解题方法。
【例27】能被多少个不同的偶数整除？
十三、复杂问题转化归结法（化归法）
【例28】人排成方阵，现从中选人，要求人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？
【例29】某城市的街区由个全等的矩形区域组成，
其中实线表示马路，从走到的最短路径有多少种？
十五、复杂分类问题表格法
【例30】有红、黄、兰色的球各只，分别标有、、、、五个字母，现从中取只，要求各字母均有且三色齐备，则共有多少种不同的取法？
【例31】10级台阶，某人可一步跨一级，也可跨两级，也可跨三级。
(1)他6步就可上完台阶的方法数是多少？
(2)他上完台阶的方法总数是多少？
十六、运算困难问题树图法
传球问题公式：
（）个人传球，第一次由开始传球，可传给其他任何一个人，第二次由拿
球者再传给其他任何一个人，如此继续，则第次球仍回到的手中的传球方法种数求解过程：设第
次球仍回到的手中的传球方法种数是，则，且，所以
（）。
【例32】人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过次传球后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有多少种？
全错位排列问题公式：
全错位排列问题（贺卡问题、信封问题），记住公式即可。
瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式： 用、、、表示写着位友人名字的信封，、、、表示份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作。假设把错装进里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：① 装入里，这时每种错装的其余部分都与、、、无关，应有种错装法。②装入、之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除之外的） 份信纸、、装入（除以外的）个信封、、，显然这时装错的方法有种。总之在装入的错误之下，共有错装法种。装入，装入、的种错误之下，同样都有种错装法。
因此，得到一个递推公式：，分别代入等，可推得结果。
也可用迭代法推导出一般公式：。
【例33】分别编有，，，，号码的人与椅，其中号人不坐号椅的不同坐法有多少种？
十七、不易理解问题构造模型法
【例34】马路上有编号为的九只路灯，现要关掉其中的盏，但不能关掉相邻的盏或盏，也不能关掉两端的盏，求满足条件的关灯方法有多少种？
【例35】某排共有个座位，若人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
十八、空间几何体中的计数问题
【例36】四面体的顶点和各棱的中点共个点，
①设一个顶点为，从其他点中取点和在同一平面上，不同的取法有多少种？
②在这点中取个不共面的点，不同的取法有多少种？
【例37】如图，用正五棱柱的个顶点中的个顶点作四棱锥的个顶点，共可得多少个四棱锥？
【例38】(1)在正方体的个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？
(2)与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？
【课后练习】
选择题
1．将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种数是( )
A．CCCAA B．AAAA C．CCCA D．CCC
2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
3．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
4．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得21分，答错得－21分；选乙题答对得7分，答错得－7分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( )
A．48 B．44 C．36 D．24
5．五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作，每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲、乙不相邻的概率是( )
A． B． C． D．
6．一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，从口袋中取5个球，则总分不小于7分的取法有( )
A．174种 B．186种 C．188种 D．192种
7．某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览．如果A，B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的顺序经过A，B两城市(A，B两城市可以不相邻)，则不同的游览线路有( )
A．120种 B．240种 C．480种 D．600种
8．对于已知直线,如果直线同时满足下列三个条件: ①与直线异面；②与直线所成的角为定值；③与直线的距离为定值。那么这样的直线有( )
A．条 B．条 C．条 D．无数条
9．如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A． B． C． D．
10．从人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( )种。
A． B． C． D．
11．四棱锥的条棱代表种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的。现打算用编号为①、②、③、④的个仓库存放这种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为( )
A． B． C． D．
12．从台甲型和台乙型电视机中任取台，其中至少要有甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种。
A． B． C． D．
13．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
14．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
15．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种
16．给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻边的颜色相同，则不同的染色方法有( )
A．18种 B．24种 C．30种 D．32种
17．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( )
A．A×A种 B．A×54种 C．C×A种 D．C×54种
18．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( )
A．240种 B．180种 C．150种 D．540种
二、填空题
19．将5名志愿者分成4组，其中一组为2人，其余各组各1人，到4个路口协助交警执勤，则不同的分配方法有________种．(用数字作答)
20．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有___种．
21．摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________(用数字作答)．
22．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有________个．
23．20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．
24．用，，，，，这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第个数是 。
25．从集合与集合中各任选个元素排成一排（字母和数字均不能重复）。每排中字母和数字至多只能出现一个的不同排法种数是_________（用数字作答）。
26．球台上有个黄球，个红球，击黄球入袋记分，击红球入袋记分。如果个黄球之间没有差别，个红球之间也没有差别。那么欲将此十球中的球击入袋中，且总分不低于分，击球方法有 种。
27．一楼梯共级，规定每次只能上一级或两级，要上完这级楼梯，共有 种不同的走法。
28．成人小孩乘船游玩，号船最多乘人，号船最多乘人，号船只能乘人，他们任选只船或只船，但小孩不能单独乘一只船，这人共有 种乘船方法。
▲▲▲选择、填空题答案填在此处
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
答案
19、 . 20、 . 21、 . 22、 . 23、 .
24、 . 25、 . 26、 . 27、 . 28、 .
②
①
③
④
②2
①
③
④
⑤
⑥
2
4
3
1
5
1
2
3
4
A
B
E
F
C
D
A
B
C
D
S
A
B
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高中数学重难点突破
专题五 排列组合问题求解
【高考地位】
排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答。同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。
其考试题型主要有填空题、选择题或者解答题中的应用，其难度不会太大．其试题难度属中高档题.
【知识要点】
1、排列数中、组合数中.
(1)排列数公式
；
(2)组合数公式
；规定,.
(3)排列数、组合数的性质：①；②；③；④；⑤；⑥.
2、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事）,分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事,各步是关联的）,有序排列,无序组合．
【典例分析】
一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）
【例1】由可以组成多少个没有重复数字五位奇数？
【例1】【答案】288
【解析】特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，从三个数中任选一个共有种组合；然后排首位，从和剩余的两个奇数中任选一个共有种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有种排列。由分步计数原理得。
二、相邻问题捆绑法
【例2】7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？
【例2】【答案】480
【解析】分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理得。
三、相离问题插空法
【例3】一个晚会节目有个舞蹈，个相声，个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？
【例3】【答案】43200
【解析】相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排个相声和个独唱共有种排列，第二步将个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有种排列，由分步计数原理得。
四、定序问题除序（去重复）、空位、插入法
【例4】人排队，其中甲、乙、丙人顺序一定，共有多少种不同的排法？
【例4】【答案】840
【解析】（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。
共有不同排法种数为：。
（空位法）设想有把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有种坐法；甲、乙、丙坐其余的三个位置，共有种坐法。总共有种排法。
思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以）
（插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有种选法；余下四个空座位让其余四人就坐，共有种坐法。总共有种排法。
五、先分组后分配法
1、非均匀分组（分步组合法）
“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
【例5】人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？
①分成组，分别为人、人、人；
②选出个人分成组，一组人，另一组人。
【例5】【答案】①105，②210
【解析】①先选出人，有种，再由剩下的人选出人，有种，最后由剩下的人为一组，有种。由分步计数原理得分组方法共有（种）。
②可选分同步。先从人中选出人，有种，再由剩下的人中选出人，有种，分组方法共有（种）。也可先选后分。先选出人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有（种）。
2、均匀分组（去除重复法）
“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
(1)全部均匀分组（去除重复法）
【例6】人参加义务劳动，选出个人，分成组，每组都是人，有多少种不同的分法？
【例6】【答案】70
【解析】可选分同步。先选人为一组，有种；再选人为另一组，有种。又有组都是人，每种分法只能算一种，所以不同的分法共有（种）。
也可先选后分。不同的分法共有（种）。
(2)部分均匀分组（去除重复法）
【例7】个不同零件分成堆，每堆分别有、、、个，有多少种不同的分法？
【例7】【答案】3150
【解析】分成、、、个元素的堆，分别有、、、种，又有堆都是个元素，每种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有（种）。
小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有个组的元素是均匀的，都有种顺序不同的分法只能算一种分法。
3、编号分组
(1)非均匀编号分组（分步先组合后排列法）
【例8】人参加义务劳动，选出人一组、人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？
【例8】【答案】420
【解析】分组方法共有（种）。
(2)部分均匀编号分组（分组法）
【例9】本不同的书全部分给人，每人至少本，有多少种不同的分法？
【例9】【答案】150
【解析】分两类。①一类为一人本；剩两人各本。将本书分成本、本、本三组，再分给人，有种分法。②另一类为一人本，剩两人各本。将书分成本、本、本三组，再分给人，有种分法。共有种分法。
【例10】已知集合含有个元素，集合含有个元素。现建立从到的映射，使中的每个元素在中都有原象的映射有多少个？
【例10】【答案】36
【解析】先把中的个元素分成组，即个、个、个，有种分组方法，再把中的个元素全排列，共有种分组方法。因此，使中的元素都有原象的映射有个。
4、限制条件分配问题分类法
【例11】某高校从某系的名优秀毕业生中选人，分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
【例11】【答案】4088
【解析】甲、乙有限制条件，按照甲、乙是否参加分四类。①甲、乙都不参加，有派遣方案种；②甲参加乙不参加，先安排甲有种，再安排其余学生有种，共有种；③乙参加甲不参加，有种；④甲、乙都参加，先安排甲乙，有种（树图法），再安排其余学生有种，共有种。综上，不同的派遣方法总数为种。
六、元素相同问题隔板法
【例12】有个运动员名额，分给个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
【例12】【答案】84
【解析】隔板法也就是档板法。分两步。第一步：每班分配个名额，只有种分法；第二步：将剩下的个名额分配给个班。取块相同隔板，连同个相同名额排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。每一种插板方法对应一种分法，由分步计数原理知，共有种分法。
变式①、个相同的球装入个盒中，每盒至少一球，有多少中装法？
分析：分两步。第一步：每盒先装入个球，只有种装法；第二步：将剩下的个球装入个盒中。取块相同隔板，连同个相同的球排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。每一种插板方法对应一种装法，由分步计数原理知，共有种装法。
【例13】，求这个方程的自然数解的组数。
【例13】【答案】176851
【解析】取块相同隔板，连同个相同的排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。每一种插板方法对应一组数，共有组数。
七、正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法）
【例14】从十个数字中取出三个，使其和为不小于的偶数，不同的取法有多少种？
【例14】【答案】51
【解析】直接求不小于的偶数很困难，可用总体淘汰法。十个数字中有个偶数个奇数，所取的三个数字含有个偶数的取法有，只含有个偶数的取法有，和为偶数的取法共有。淘汰和小于的偶数共种、、、、、、、，符合条件的取法共有。
重排问题求幂法
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.
【例15】把名实习生分配到个车间实习，共有多少种不同的分法？
【例15】【答案】
完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有种分法，把第二名实习生分配到车间也有种分法，依此类推，由分步计数原理共有种不同的分法。
九、环（圆）排问题直排法
把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.
【例16】人围桌而坐，共有多少种坐法？
【例16】【答案】5040
【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线（如图所示），其余人共有种不同的坐法。
十、含约束条件问题合理分类与分步法
【例17】在一次演唱会上共名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要演出一个人唱歌人伴舞的节目，有多少种选派方法？
【例17】【答案】199
【解析】名演员中有人只会唱歌，人只会跳舞，人为全能演员。以选上唱歌人员为标准分三类，每一类中再分步：①只会唱歌的人中没有人选上唱歌人员，有种；②只会唱歌的人中只有人选上唱歌人员，有种；③只会唱歌的人中有人选上唱歌人员，有种。由分类计数原理得，共有种选派方法。
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步。做到分类标准明确，贯穿解题过程始终；每一类中分步层次清楚，不重不漏。
本题还有如下分类标准：①以个全能演员是否选上唱歌人员为标准；②以个全能演员是否选上跳舞人员为标准；③以只会跳舞的人是否选上跳舞人员为标准。
十一、简单问题实际操作穷举法
【例18】设有编号，，，，的五个球和编号，，，，的五个盒子，现将个球放入个盒子内，要求每个盒子放个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
【例18】【答案】20
【解析】从个球中取出个与盒子对号，有种取法；剩下球盒不对号，利用实际操作法。如果剩下，，号球，，，号盒，号球只能装入号或号盒，有两种装法；当号球装号盒时，则，号球，只有种装法；同理号球装号盒时，，号球有也只有种装法。由分步计数原理有即20种。
十二、数字排序问题查字典法
【例19】由，，，，，六个数字可以组成多少个没有重复的比大的数？
【例19】【答案】297
【解析】数字排序问题可用查字典法。从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原理求出其总数。①首位（十万位）为或，各有个；②首位为，万位为或，各有个；③首位为，万位为，千位为，有个；④首位为，万位为，千位为，百位为，有个；⑤首位为，万位为，千位为，百位为，十位为，有个。共有个。
十三、涂色问题的分类法
1、区域涂色问题
(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。
【例20】用种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
【例20】【答案】240
【解析】先给①号区域涂色有种方法；再给②号涂色有种方法；接着给③号涂色方法有种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有种涂法。根据分步计数原理，不同的涂色方法有种。
(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。
【例21】种不同的颜色涂在如图所示的个区域，且相邻两个区域不能同色。
【例21】【答案】120
【解析】依题意只能选用种颜色，要分四类：
㈠②与⑤同色、④与⑥同色，则有种； ㈡③与⑤同色、④与⑥同色，则有种；
㈢②与⑤同色、③与⑥同色，则有种； ㈣③与⑤同色、②与④同色，则有种；
㈤②与④同色、③与⑥同色，则有种。
根据分类计数原理得涂色方法总数为。
【例22】如图所示，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。现有种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？
【例22】【答案】72
【解析】依题意至少要用种颜色。
①若用种颜色，区域与必须同色，区域与必须同色，故有种；
②若用种颜色，则区域与同色，区域与不同色，有种；或区域与同色，区域与不同色，有种。共有种。
根据分类计数原理得满足题意的着色方法共有。
(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论。从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数。
【例23】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，五种颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
【例23】【答案】260
【解析】可把问题分为三类：
①四格涂不同的颜色，有种；
②有且仅有两个区域颜色相同，即只有一组对角小方格涂相同的颜色。涂法种数有；
③两组对角小方格分别涂相同的颜色，有种。
根据分类计数原理得涂法种数共有种。
(4)根据相间区域使用颜色分类讨论。
【例24】如图，个扇形区域、、、、、，现给这个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有种不同的颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法
【例24】【答案】732
【解析】①当相间区域、、着同一种颜色时，有种着色方法，此时、、各有
种着色方法，共有种方法。
②当相间区域、、着两种不同的颜色时，有种着色方法，此时、、
有种着色方法，共有种方法。
③当相间区域、、着三种不同的颜色时有种着色方法，此时、、各有种着色方法，共有种方法。
总计有种不同的涂色方法。
2、点涂色问题
方法：㈠根据共用了多少种颜色分类讨论；
㈡根据相对顶点是否同色分类讨论；
㈢将空间问题平面化，转化为区域涂色问题。
【例25】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使
同一条棱的两端点异色，如果只有种颜色可供使用，那么不同的
染色方法的总数是多少？
【例25】【答案】420
【解析】解法一：满足题设条件的染色至少要用种颜色。
①若恰用种颜色，可先从种颜色中任选一种染顶点，再从余下的种颜色中任选种染、、
、四点，此时只能与、与分别同色，故有种方法。
②若恰用种颜色，可以先从种颜色中任选一种染顶点，再从余下的种颜色中任选种染与，由于、颜色可以交换，故有种染法；再从余下的种颜色中任选种染或，而与中的另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。
③若恰用种颜色，有种方法。
综上，满足题意的染色方法数为种。
解法二：设想染色按的顺序进行，对、、染色，有种染色方法。由于点的颜色可能与同色或不同色，这影响到点颜色的选取方法数，故分类讨论：①与同色时（此时对颜色的选取方法唯一），
应与（）、不同色，有种选择；②与不同色时，
有种选择的颜色，也有种颜色可选择，从而对、
染色有种染色方法。由分步计数乘法原理得，总
的染色方法数为种。
解法三：这个问题可转化成相邻区域不同色问题。如图，对这
五个区域用种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
3、线段涂色问题
方法：㈠根据共用了多少颜色分类讨论。
㈡根据相对线段是否同色分类讨论。
解决线段涂色问题，要特别注意对各条线段依次涂色。
【例26】用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
【例26】【答案】84
【解析】解法一：（1）①使用四种颜色，有种；
②使用三种颜色，则必须将一组对边染成同色，故有种；
③使用二种颜色，则两组对边必须分别同色，有种；
因此，染色方法共有种。
解法二：涂色按的顺序进行，对、涂色有种。
由于的颜色可能与同色或不同色，这影响到颜色的选取，故分类讨论：
①当与同色时，这时对颜色的选取唯一，则有3种颜色可选；
②当与不同色时，有两种颜色可选，也有两种颜色可选.
对、有种涂色方法。
由分步计数乘法原理，总的涂色方法数为种。
十四、复杂问题分解与合成法
分解与合成法是解排列组合问题的一种最基本的解题方法。把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成。从而得到问题的答案。每个比较复杂的问题，都要用到这种解题方法。
【例27】能被多少个不同的偶数整除？
【例27】【答案】32
【解析】分析：先把分解成质因数的乘积形式。依题意可知：偶因数必先取，再从其余个因数中任取若干个组成乘积。所有的偶因数为：。
十三、复杂问题转化归结法（化归法）
【例28】人排成方阵，现从中选人，要求人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？
【例28】【答案】600
【解析】将问题退化成人排成方阵，现从中
选人，要求人不在同一行也不在同一列，有多少种
不同的选法？这样每行（列）有且只有人，从其中的
一行中选取人后，把这人所在的行列都划掉，如此继
续下去，从方队中选人的方法有种。再
从方阵选出方阵便可解决问题。从方队
中选取行列，有选法。所以从方阵选不在同一行也不在同一列的人有选法。
【例29】某城市的街区由个全等的矩形区域组成，
其中实线表示马路，从走到的最短路径有多少种？
【例29】【答案】35
【解析】将问题退化成从走到的最短路径需要七步，
四步向右三步向上，共有（或）种。
十五、复杂分类问题表格法
【例30】有红、黄、兰色的球各只，分别标有、、、、五个字母，现从中取只，要求各字母均有且三色齐备，则共有多少种不同的取法？
【例30】【答案】150
【解析】一些复杂的分类选取题，要满足的条件比较多，无从入手，经常出现重复遗漏的情况，用表格法，则分类明确，能保证题中须满足的条件，达到好的效果。
红 1 1 1 2 2 3
黄 1 2 3 1 2 1
兰 3 2 1 2 1 1
取法
【例31】10级台阶，某人可一步跨一级，也可跨两级，也可跨三级。
(1)他6步就可上完台阶的方法数是多少？
(2)他上完台阶的方法总数是多少？
【例31】【答案】(1)90 (2)274
【解析】（1）设跨1级、2级、3级的步数分别为，则，解得，
故方法数为
（2）设上完n级台阶的方法数为，则，
且，
十六、运算困难问题树图法
传球问题公式：
（）个人传球，第一次由开始传球，可传给其他任何一个人，第二次由拿
球者再传给其他任何一个人，如此继续，则第次球仍回到的手中的传球方法种数求解过程：设第
次球仍回到的手中的传球方法种数是，则，且，所以
（）。
【例32】人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过次传球后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有多少种？
【例32】【答案】10
【解析】此题不易用公式进行运算，用树图法会收到意想不到的结果。
全错位排列问题公式：
全错位排列问题（贺卡问题、信封问题），记住公式即可。
瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式： 用、、、表示写着位友人名字的信封，、、、表示份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作。假设把错装进里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：① 装入里，这时每种错装的其余部分都与、、、无关，应有种错装法。②装入、之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除之外的） 份信纸、、装入（除以外的）个信封、、，显然这时装错的方法有种。总之在装入的错误之下，共有错装法种。装入，装入、的种错误之下，同样都有种错装法。
因此，得到一个递推公式：，分别代入等，可推得结果。
也可用迭代法推导出一般公式：。
【例33】分别编有，，，，号码的人与椅，其中号人不坐号椅的不同坐法有多少种？
【例33】【答案】44
【解析】树图法如下：
十七、不易理解问题构造模型法
【例34】马路上有编号为的九只路灯，现要关掉其中的盏，但不能关掉相邻的盏或盏，也不能关掉两端的盏，求满足条件的关灯方法有多少种？
【例34】【答案】10
【解析】此问题可转化为排队模型。在盏亮灯形成的个空隙中，插入盏不亮的灯，有 种。
一些不易理解的排列组合问题可转化为熟悉的模型，使问题直观化。
【例35】某排共有个座位，若人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
【例35】【答案】120
【解析】每人坐一个座位,还剩个。把这个座位,插入个人,且两头必须有座位,两人之间至少有一个座位。用表示个空座位,用表示个人。①；②；③；④；⑤。有种。又，这个人的坐法有顺序,共有：种。
此问题也可转化为排队模型。每人坐一个座位,还剩个。这个座位排成一排，可迭相邻的两个座位，
有种迭法。跌后有个座位形成个空隙（不包括两端），插入个人，有种。又，这个人的坐法有顺序,共有：种。
十八、空间几何体中的计数问题
【例36】四面体的顶点和各棱的中点共个点，
①设一个顶点为，从其他点中取点和在同一平面上，不同的取法有多少种？
②在这点中取个不共面的点，不同的取法有多少种？
【例36】【答案】①33，②141
【解析】①如图，含顶点的四面体的
三个面上，除点外都有个点，从中取
出点必与点共面，共有种取法；
含顶点的棱有条，每条棱上有个点，
它们与所对棱的中点共面，共有种取法。
根据分类计数原理和点共面三点取法共
有种。
②取出的点不共面比取出的点共面的情形要复杂，故采用间接法。先不加限制任取点（种取法）减去4点共面的取法。取出的点共面有三类：第一类：从四面体的同一个面上的点取出点共面，有种取法；第二类：每条棱上的个点与所对棱的中点共面，有种取法；第三类：从条棱的中点取个点共面，有种取法。
根据分类计数原理点共面取法共有。故取个点不共面的不同取法有种。
点评：由点构成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，附加的条件是点共线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等。
【例37】如图，用正五棱柱的个顶点中的个顶点作四棱锥的个顶点，共可得多少个四棱锥？
【例37】【答案】160
【解析】分四类。①以棱柱的底面为棱锥的底面，有个；②以棱柱的侧面为棱锥的底面，有个；
③以棱柱的对角面为棱锥的底面，有个；④以图中(梯形)为棱锥的底面，有个。
共有个。
【例38】(1)在正方体的个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？
（2）与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？
【例38】【答案】(1)174, (2)7.
【解析】(1)①从正方体个顶点中任取个顶点，共面情况有种（共正方体的面或共对角面，无其它的面）；②从正方体个顶点取出不在同一平面上的个顶点，有：种；③空间不在同一平面上的个点，可以组成对异面直线；④共有对。
(2)个。画一个四面体 ( http: / / wenwen. / s / w=%E7%AB%8B%E6%96%B9%E4%BD%93&ch=w.search.intlink" \t "http: / / wenwen. / z / _blank )，在上面取个不共面
的顶点，可知有个平面到这点的距离相等。
空间四个点、、、构成一个四面体
。设、、、、
、的中点分别是、、、
、、。①四面体的四个中截面：
平面，平面，平面，
平面；②与相对棱平行的平面：
平面，平面，平面。
共有个平面满足要求 。
【课后练习】
选择题
1．将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种数是( )
A．CCCAA B．AAAA C．CCCA D．CCC
1．【答案】C
【解析】将8名售票员平均分为4组，分配到4辆车上，有CCC种，再分配司机有A种，故共有方案数CCCA种．
2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
2．【答案】B
【解析】先放1、2的卡片有C种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置，有·A种，故共有C·C＝18(种)．
3．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
3．【答案】A
【解析】先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．
因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．
4．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得21分，答错得－21分；选乙题答对得7分，答错得－7分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( )
A．48 B．44 C．36 D．24
4．【答案】B
【解析】分四类：第一类，4人全选乙题则有C种；第二类，1人选甲题3人选乙题，则有C·2种；第三类，2人选甲题2人选乙题，则有C·2·2种；第四类，4人选甲题，则有C种，则这4位同学不同得分情况种数为C＋C·2＋C·2·2＋C＝44，故选B.
5．五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作，每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲、乙不相邻的概率是( )
A． B． C． D．
5．【答案】B
【解析】由题意，总的基本事件数为五个人的全排列数A.设“甲不值周一，乙不值周五，且甲、乙不相邻”为事件A，则事件A包含的基本事件数可按甲值班日期分类计算，当甲值周二时，有A种；当甲值周三时，有A种；当甲值周四时，有2A种，当甲值周五时，有3A种．所以事件A包含的基本事件数n(A)＝A＋A＋2A＋3A＝7A，所以事件A发生的概率为P(A)＝＝，故选B.
6．一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，从口袋中取5个球，则总分不小于7分的取法有( )
A．174种 B．186种 C．188种 D．192种
6．【答案】B
【解析】设取x个红球，y个白球，于是其中于是或或因此所求的取法数是CC＋CC＋CC＝186.
7．某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览．如果A，B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的顺序经过A，B两城市(A，B两城市可以不相邻)，则不同的游览线路有( )
A．120种 B．240种 C．480种 D．600种
7．【答案】D
【解析】已知A，B必选，则从剩下的5个城市中再选取3个，有C种情况，此时5个城市已确定，将其全排列共有A种情况，又A，B顺序一定，则根据分步乘法计数原理，得不同的游览线路有＝600(种)，故选D.
8．对于已知直线,如果直线同时满足下列三个条件: ①与直线异面；②与直线所成的角为定值；③与直线的距离为定值。那么这样的直线有( )
A．条 B．条 C．条 D．无数条
8．【答案】D
【解析】①过直线可作无数个平面。
②在平面的两侧可以分别作平面平面、平面平面，且平面与平面、平面的距离都为所给定的异面直线、间的距离。
③在平面、平面上分别可作一组直线直线、一组直线直线。
④在平面上可作直线与直线交成所给定的异面直线、之间的夹角。（当夹角为直角时,可作一组相互平行的直线；当夹角为锐角时可分别作两组相互平行的直线）。
⑤在平面上可作直线与直线交成所给定的异面直线、之间的夹角。（当夹角为直角时,可作一组相互平行的直线,当夹角为锐角时可分别作两组相互平行的直线）。
因为过直线可作无数个平面，所以满足条件的直线就有无数条。
9．如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A． B． C． D．
9．【答案】B
【解析】对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,有个；对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,有个。正方体中“正交线面对”共有个。
10．从人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( )种。
A． B． C． D．
10.【答案】B
【解析】（提示：分三类。第一类：甲、乙都不去，有种；第二类：甲去乙不去或乙去甲不去，另三人选巴黎，有种；第三类：甲、乙都去，另二人选巴黎，有种。）
11．四棱锥的条棱代表种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的。现打算用编号为①、②、③、④的个仓库存放这种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为( )
A． B． C． D．
11.【答案】B
【解析】在四棱锥中,先把安全的产品捆绑在一起有种:①，，，；②，，，。再将四组产品放在个编号不同的仓库里，有种。安全存放方法共有种。）
12．从台甲型和台乙型电视机中任取台，其中至少要有甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种。
A． B． C． D．
12.【答案】C
【解析】“至少”、“至多”问题用间接排除法或分类法解决。①间接排除法。逆向思考。至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号。不同的取法共有种。②分类法。分两类。甲型台乙型台；甲型台乙型台。不同的取法共有种。）
13．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
13.【答案】C
【解析】利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图，
它们的棱是原正方体的12条面对角线．
一个正四面体中两条棱成60°角的有(C－3)对，两个正四面体有(C－3)×2对．又正方体的面对角线中
平行成对，所以共有(C－3)×2×2＝48(对)．故选C.
14．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
14．【答案】C
【解析】当m＝4时，数列{an}共有8项，其中4项为0，4项为1，要满足对任意k≤8，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，则必有a1＝0，a8＝1，a2可为0，也可为1.(1)当a2＝0时，分以下3种情况：①若a3＝0，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C＝4种情况；②若a3＝1，a4＝0，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C＝3种情况；③若a3＝1，a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C＝2种情况；(2)当a2＝1时，必有a3＝0，分以下2种情况：①若a4＝0，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14(个)，故选C.
15．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种
15．【答案】B
【解析】由题知，不同的座次有AA＝48(种)，故选B.
16．给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻边的颜色相同，则不同的染色方法有( )
A．18种 B．24种 C．30种 D．32种
16．【答案】C
【解析】通过分析可知，每种色至少要染1次，至多只能染2次，即有一色染1次，剩余两种颜色各染2次．染五条边总体分两步．第一步选一色染1次有CC种染法，第二步另两色各染2次有2种染法，由分步乘法计数原理知，一共有2CC＝30(种)染法．故选C.
17．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( )
A．A×A种 B．A×54种 C．C×A种 D．C×54种
17．【答案】D
【解析】有两个年级选择甲博物馆共有C种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C×54种，故选D.
18．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( )
A．240种 B．180种 C．150种 D．540种
18．【答案】C
【解析】5名学生可分成2,2,1和3,1,1两种形式，当5名学生分成2,2,1时，共有CCA＝90(种)方法，当5名学生分成3,1,1时，共有CA＝60(种)方法，根据分类计数原理知共有90＋60＝150(种)保送方法．
二、填空题
19．将5名志愿者分成4组，其中一组为2人，其余各组各1人，到4个路口协助交警执勤，则不同的分配方法有________种．(用数字作答)
19．【答案】240
【解析】假设4个路口分别为A，B，C，D，如果A路口有2人，则共有C·C·C·C种选派方法，同理若B，C，D路口有2人，则每种情况共有C·C·C·C种选派方法，故总的选派方法有4C·C·C·C＝240(种)．
把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有___种．
20．【答案】36
【解析】记5件产品为A、B、C、D、E，A、B相邻视为一个元素，先与D、E排列，有AA种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC＝2×6×3＝36(种)不同的摆法．
摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________(用数字作答)．
21．【答案】20
【解析】 先从5位小朋友中选取2位，让他们位置不变，其余3位都改变自己的位置，即3人不在其位，共有方案种数为N＝C·C·C·C＝20.
由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有________个．
22．【答案】120
【解析】由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻的情况，运用插入法可得有AA＝144(种)，而当第四位是4的情况如图所示，要使奇数不相邻，偶数只能放在第2、5、6号位处，且5、6号位只能放一个偶数，因此偶数的可能性有2×2种，其余的奇数放在1、3、5(或6)号位处，共有A＝6(种)，共有2×2×6＝24(种)，因此符合题意的六位数共有144－24＝120(个)．
23．20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．
23．【答案】120
【解析】先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有C＝120(种)方法．
24．用，，，，，这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第个数是 。
24．【答案】3140
【解析】①千位为，个位为，有个；②千位为，个位为，有个；③千位为，个位为，有个；④千位为，个位为，有个；⑤千位为，个位为，有个；⑥千位为，十位为，个位为（或），各有个。共个。接下来有，，，，，，第个数是。
25．从集合与集合中各任选个元素排成一排（字母和数字均不能重复）。每排中字母和数字至多只能出现一个的不同排法种数是_________（用数字作答）。
25．【答案】
【解析】总的排法数有，和都出现的排法数有。共有种。
26．球台上有个黄球，个红球，击黄球入袋记分，击红球入袋记分。如果个黄球之间没有差别，个红球之间也没有差别。那么欲将此十球中的球击入袋中，且总分不低于分，击球方法有 种。
26．【答案】195
【解析】（提示：设击入黄球x个，红球y个符合要求，则
，相应每组解的击球方法数分别为，，，。
共有不同击球方法数为）。
27．一楼梯共级，规定每次只能上一级或两级，要上完这级楼梯，共有 种不同的走法。
27．【答案】89
【解析】构造数列递推法。设上级楼梯的走法为种，易知，，当时，上级楼梯的走法可分为两类：第一类：是最后一步跨一级，有种走法；第二类是最后一步跨两级，有种走法。由分类计数加法原理知：。据此，，，，，，，，。故走完10级楼梯共有种不同的走法。
28．成人小孩乘船游玩，号船最多乘人，号船最多乘人，号船只能乘人，他们任选只船或只船，但小孩不能单独乘一只船，这人共有 种乘船方法。
28．【答案】27
【解析】分两大类。第一大类为选只船，则只能选号船和号船。以号船乘成人为标准，又可分为两小类：每一小类乘成人人，有种；每二小类乘成人人，有种。第二大类为选只船。以号船乘成人为标准，又可分为三小类，每一小类均有种。由分类计数原理得，共有种乘船方法。
②
①
③
④
②2
①
③
④
⑤
⑥
2
4
3
1
5
1
2
3
4
A
B
E
F
C
D
A
B
C
D
S
S
C
D
A
B
A
B
A
B
C
D
M
N
O
P
Q
S
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