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高中数学重难点突破
专题二 排列
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
知识归纳
1.排列的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2.相同排列的两个条件
(1)元素相同． (2)顺序相同．
3.排列数与排列数公式
排列数定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示
全排列的概念 n个不同元素全部取出的一个排列
阶乘的概念 把n·(n－1)·…·2·1记作n！，读作：n的阶乘
排列数公式 A＝n(n－1)…(n－m＋1)
阶乘式A＝(n，m∈N*，m≤n)
特殊情况 A＝n！，1！＝1,0！＝1
典例分析
【例1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．( )
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．( )
(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．( )
(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．( )
(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．( )
【例1】[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
【例2】(1)4×5×6×…×(n－1)×n等于( )
A．A B．A
C．(n－4)! D．A
(2)计算＝( )
A．12 B．24
C．30 D．36
【例2】(1)D [4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4，
故4×5×6×…×(n－1)×n＝A.]
(2)D [A＝7×6A，A＝6A，所以＝＝36.]
【例3】(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
【例3】[解] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．
【例4】3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．
(1)全体站成一排，男、女各站在一起；
(2)全体站成一排，男生必须站在一起；
(3)全体站成一排，男生不能站在一起；
(4)全体站成一排，男、女各不相邻．
【例4】[解] (1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；
女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；
全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．
由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288种排队方法．
(2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720种排队方法．
(3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法，故共有A·A＝1 440种排法．
(4)排好男生后让女生插空，
共有A·A＝144种排法．
【变式1】5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
【变式1】C [5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A×A＝36(种)．]
【例5】从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．
【例5】186 [可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A－A＝186(种)．]
【变式2】由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数字共有( )
A．238个 B．232个
C．174个 D．168个
【变式2】C 解析：由0，1，2，3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3A＝18(个)，故共有192－18＝174(个)
【例6】用0,1,2,3,4,5这六个数字：
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数；
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数；
(3)能组成多少个比1 325大的四位数．
【例6】[解] (1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有A个；
第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A种，十位和百位从余下的数字中选，有A种，于是有A·A个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A·A个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数A＋A·A＋A·A＝156(个)．
(2)五位数中是5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A个；个位数上的数字是5的五位数有A·A个．
故满足条件的五位数的个数共有A＋A·A＝216(个)．
(3)比1 325大的四位数可分为三类：
第一类：形如2，3，4，5的数，共A·A个；
第二类：形如14，15，共A·A个；
第三类：形如134，135，共A·A个．
由分类加法计数原理知，比1 325大的四位数共有A·A＋A·A＋A·A＝270(个)．
【变式3】由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于( )
A．1 543 B．2 543
C．3 542 D．4 532
【变式3】C 解析：千位数为1时组成的四位数有A个，同理，千位数是2，3，4，5时均有A个数，而千位数字为1，2，3时，从小到大排成数列的个数为3A＝72，即3 542是第72个．
解有限制条件的排列问题的基本思路
限制条件 解题策略
特殊元素 通常采用“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素
特殊位置 通常采用“位置分析”法，即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置
元素相邻 通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列
元素不相邻 通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空当中
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A．36 B．120
C．720 D．240
1、C [由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720.]
2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种 B．360种
C．480种 D．720种
2、C [先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]
3．A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数是( )
A．6 B．24 C．48 D．120
3、B [把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，排法共有A＝24(种)．]
4．3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为( )
A．30 B．48 C．60 D．96
4、B [“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到不同的三位数有A×2×2×2＝48(个)．]
5．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．
5、144 [先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA＝144个．]
6．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻， 且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
6、36 [先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有A种方法，而A、B可交换位置，所以摆法有2A＝48(种)．又当A、B相邻又满足A、C相邻，摆法有2A＝12(种)．
故满足条件的摆法有48－12＝36(种)．]
课后作业（常考题型与解题技巧）
7．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有( )
A．20种 B．30种 C．40种 D．60种
7、A [分三类：甲在周一，共有A种排法；甲在周二，共有A种排法；甲在周三，共有A种排法．所以排法共有A＋A＋A＝20(种). ]
8．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有( )
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
8、B [将4张贺卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树状图表示为：
由此可知共有9种送法．]
9．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )
A．6种 B．12种
C．24种 D．30种
9、C [首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法；其次从剩余3门中任选2门进行排列，排列方法有A＝6(种)．于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×6＝24(种)．]
10．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
10、C [先排除A，B，C外的三个程序，有A种不同排法，再排程序A，有A种排法，最后插空排入B，C，有A·A种排法，所以共有A·A·A·A＝96种不同的编排方法．]
11．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有( )
A．288个 B．240个
C．144个 D．126个
11、B [第1类，个位数字是2，首位可排3,4,5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数；
第2类，个位数字是4，有AA个数；
第3类，个位数字是0，首位可排2,3,4,5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数．
由分类加法计数原理，可得共有2AA＋AA＝240个数．]
12．5人排成一排，其中甲，乙至少一人在两端的排法种数为( )
A．6 B．84
C．24 D．48
12、B [5人全排列有A种，甲，乙都不在两端的排法有AA种，共有A－AA＝84种不同的排法．]
13．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．
13、24 [“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空当中即可．所以不同坐法共有A＝24(种)．]
14．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
14、96 [先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A种，因此共有不同的分法4A＝4×24＝96(种)．]
15．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？
15、[解] 法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：
第1类，甲不参赛，有A种参赛方案；
第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A种方法，此时有2A种参赛方案．
由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A＋2A＝240种．
法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A种方法．
由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AA＝240种．
16．7人站成一排．
(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？
(2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？
(3)甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种？
(4)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？
16、[解] (1)法一：7人的所有排列方法有A种，其中甲、乙、丙的排序有A种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有＝840(种)．
法二：(填空法)7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故A＝7×6×5×4＝840(种)．
(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有A＝2 520(种)．
(3)第一步：从其余5人中选1人放于甲、乙之间，有A种方法．
第二步：将甲、乙及中间1人看作一个元素与其他四个人全排，有A种方法．
第三步：甲、乙及中间1人的排列为A.
根据乘法原理得A×A×A＝1 200(种)，
故有1 200种排法．
(4)第一步安排甲，有A种排法；第二步安排乙，有A种排法，第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上，有A种排法．由分步乘法计数原理得，符合要求的排法共有A·A·A＝1 440种．
提高训练题（思维与综合能力提升）
17．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是( )
A．8 B．5 C．3 D．0
17、【答案】C 【解析】因为当n≥5时，A的个位数是0，故S的个位数取决于前四个排列数，
又A＋A＋A＋A＝33.
18．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有( )
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
18、【答案】B 【解析】 分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A种排法；
第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A种排法，有2A种排法．
由分类加法计数原理，共有A＋2A＝36种不同的安排方案．
19．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．10种 B．12种
C．9种 D．8种
19、【答案】B 【解析】 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．
再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．
因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．
20．安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是( )
A．180 B．240
C．360 D．480
20、【答案】D 【解析】不同的排法种数先全排列有A，甲、乙、丙的顺序有A，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种顺序，所以不同排法的种数共有4×＝480种．
21．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．
21、【答案】448 【解析】千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)，前一个数为千位数字，后一个数为个位数字，其余两位无任何限制．所以共有8A＝448(个)．
22．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是________．
22、【答案】40 【解析】 可分为三步来完成这件事：
第一步：先将3,5进行排列，共有A种排法；
第二步：再将4,6插空排列，共有2A种排法；
第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A种排法．
由分步乘法计数原理得，共有A2AA＝40种不同的排法．
23．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
23、解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝1 440(种)．
(2)先不考虑排列要求，有A种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A－AA＝37 440(种)．
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专题二 排列
知识归纳
1.排列的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2.相同排列的两个条件
(1)元素相同． (2)顺序相同．
3.排列数与排列数公式
排列数定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示
全排列的概念 n个不同元素全部取出的一个排列
阶乘的概念 把n·(n－1)·…·2·1记作n！，读作：n的阶乘
排列数公式 A＝n(n－1)…(n－m＋1)
阶乘式A＝(n，m∈N*，m≤n)
特殊情况 A＝n！，1！＝1,0！＝1
典例分析
【例1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．( )
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．( )
(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．( )
(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．( )
(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．( )
【例2】(1)4×5×6×…×(n－1)×n等于( )
A．A B．A C．(n－4)! D．A
(2)计算＝( )
A．12 B．24 C．30 D．36
【例3】(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
【例4】3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．
(1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起；
(3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男、女各不相邻．
【变式1】5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
【例5】从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．
【变式2】由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数字共有( )
A．238个 B．232个
C．174个 D．168个
【例6】用0,1,2,3,4,5这六个数字：
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数；
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数；
(3)能组成多少个比1 325大的四位数．
【变式3】由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于( )
A．1 543 B．2 543 C．3 542 D．4 532
解有限制条件的排列问题的基本思路
限制条件 解题策略
特殊元素 通常采用“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素
特殊位置 通常采用“位置分析”法，即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置
元素相邻 通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列
元素不相邻 通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空当中
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A．36 B．120 C．720 D．240
2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
3．A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数是( )
A．6 B．24 C．48 D．120
4．3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为( )
A．30 B．48 C．60 D．96
5．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．
6．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻， 且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_______种．
课后作业（常考题型与解题技巧）
7．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有( )
A．20种 B．30种 C．40种 D．60种
8．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有( )
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
9．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
10．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种 C．96种 D．144种
11．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有( )
A．288个 B．240个 C．144个 D．126个
12．5人排成一排，其中甲，乙至少一人在两端的排法种数为( )
A．6 B．84 C．24 D．48
13．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．
14．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
15．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，共有 种参赛方案。
16．7人站成一排．
(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？
(2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？
(3)甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种？
(4)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？
提高训练题（思维与综合能力提升）
17．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是( )
A．8 B．5 C．3 D．0
18．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有( )
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
19．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．10种 B．12种 C．9种 D．8种
20．安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是( )
A．180 B．240 C．360 D．480
21．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．
22．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是________．
23．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
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