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高中数学重难点突破
专题六 二项式定理题型归纳
知识归纳
1、二项式定理的展开式：
,其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；
展开式共有n+1项.
注意：项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在的展开式中,第r+1项的二项式系数为,第r+1项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；
2、二项式定理的通项：
3、项的系数和二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）．
(2)增减性与最大值：
当时,二项式系数C的值逐渐增大,当时,C的值逐渐减小,且在中间取得最大值.
当n为偶数时,中间一项（第＋1项）的二项式系数取得最大值.
当n为奇数时,中间两项（第和＋1项）的二项式系数相等并同时取最大值.
(3)各二项式系数和：∵,令,则 ,
(4)二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,很小时,有.
(5)则设.有：
① ②
③ ④
⑤
典例分析
题型一、二项式展开式中的项
【例1-1】的二项展开式中所有有理项(指数为整数)有( )项
A．1 B．2 C．3 D．4
【例1-2】的展开式中有理项有( )项
A．项 B．项 C．项 D．项
【例1-3】若ax2+的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.
题型二、 因式相乘型展开式中的项
【例2-1】展开式中含x的项的系数为( )
A．-112 B．112 C．-513 D．513
【例2-3】已知的展开式中的系数是，则实数a的值为( )
A． B．1 C． D．
题型三、多项型展开式中的项
【例3-1】在的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】若的展开式中的系数为，则实数的值为
A． B．2 C．3 D．4
【例3-3】的展开式共（ ）项
A．10 B．15 C．20 D．21
【例3-4】已知展开式中的系数小于90，则的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【例3-5】的展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．
题型四、 换元求通项
【例4-1】若多项式，则 ．
【例4-2】在的展开式中， 的系数是( )
A. 55 B. 66 C. 165 D. 220
【例4-3】已知，则 （
A. B. C. D.
题型五、赋值法
【例5-1】已知的展开式中各项系数的和32，则展开式中项的系数为
A．120 B．100 C．80 D．60
【例5-2】的展开式中各项系数的和为16，则展开式中 项的系数为（ ）
A. B. C. 57 D. 33
【例5-3】若，则（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】已知，求的值是（ ）
A． B． C．1 D．－1
【例5-5】若，则=（ ）
A．244 B．1 C． D．
【例5-6】若，则（ ）
A． B． C． D．
题型六、最值问题
【例6-1】在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项的系数为（ ）
A．-960 B．960 C．1120 D．1680
【例6-2】若的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【例6-3】若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例6-4】已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则___________.
题型七、整除
【例7-1】设，且，若能被13整除，则a等于（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【例7-2】除以88的余数是（ ）
A．-1 B．1 C．-87 D．8
【例7-3】设为奇数，那么除以13的余数是（ ）
A． B．2 C．10 D．11
题型八、杨辉三角形
【例8-1】如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为
A．55 B．89 C．120 D．144
【例8-2】以下数表构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”.
该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后行仅有一个数，则这个数为（ ）
A． B． C． D．
【例8-3】如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1,3,3,4,6,5,10，…，则这个数列的第19项为（ ）
A．55 B．110 C．58 D．220
题型九、二项式综合问题
【例9-1】设是常数，对于，都有，则（ ）
A． B． C． D．
【例9-2】若,则
A． B． C． D．
【例9-3】已知二项式，且，则（ ）
A．324 B．405 C．648 D．810
课后作业
1．设复数x＝(i是虚数单位),则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 015＝( )
A．i B．－i C．－1－i D．1＋i
2．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝( )
A．9 B．10 C．－9 D．－10
3．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )
A．180 B．120 C．90 D．45
4．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )
A．45 B．60 C．120 D．210
5．1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是( )
A．－1 B．1 C．－87 D．87
6．设an是(1－)n的展开式中x项的系数(n＝2,3,4，…)，若bn＝，则bn的最大值是( )
A. B. C. D.
7．(x＋2y)7的展开式中，系数最大的项是( )
A．68y7 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1344x2y5
8．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x＋y＝1,xy<0,则x的取值范围是( )
A．(－∞,) B．[,＋∞) C．(－∞,－] D．(1,＋∞)
9.已知,则从集合(
)到集合的映射个数是( )
A．6561 B．316 C．2187 D．210
10.已知，则
A． B．0 C．14 D．
二、填空题
11．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3＝________.
12．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________．
13．若展开式的各项系数的绝对值之和为1024，则展开式中x的一次项的系数为________．
14．(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为________．
15．已知的展开式中含的项的系数为5，则_________．
16．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
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专题六 二项式定理题型归纳
知识归纳
1、二项式定理的展开式：
,其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；
展开式共有n+1项.
注意：项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在的展开式中,第r+1项的二项式系数为,第r+1项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；
2、二项式定理的通项：
3、项的系数和二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）．
(2)增减性与最大值：
当时,二项式系数C的值逐渐增大,当时,C的值逐渐减小,且在中间取得最大值.
当n为偶数时,中间一项（第＋1项）的二项式系数取得最大值.
当n为奇数时,中间两项（第和＋1项）的二项式系数相等并同时取最大值.
(3)各二项式系数和：∵,令,则 ,
(4)二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,很小时,有.
(5)则设.有：
① ②
③ ④
⑤
典例分析
题型一、二项式展开式中的项
【例1-1】的二项展开式中所有有理项(指数为整数)有几项？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】的通项公式为
由及，可知或18.
【例1-2】的展开式中有理项有（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
【答案】B
【详解】，，当，，，时，为有理项，共项.
【例1-3】若ax2+的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.
【答案】-2
【详解】因为，所以由，因此
题型二、 因式相乘型展开式中的项
【例2-1】展开式中含x的项的系数为（ ）
A．-112 B．112 C．-513 D．513
【答案】C
【详解】当项出时，5个括号均出；
当项出时，5个括号有2个出，3个出；
所以展开式中含的项为：.
所以含的项的系数为.
【例2-3】已知的展开式中的系数是，则实数a的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】由题意，．
题型三、多项型展开式中的项
【例3-1】在的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，故，
又的展开式中的系数为 .
【例3-2】若的展开式中的系数为，则实数的值为
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】,所以的展开式的通项为，其中，
令，所以或，
当时，的系数为，当时，的系数为，
因为的系数为，所以，即，即，所以
【例3-3】的展开式共（ ）项
A．10 B．15 C．20 D．21
【答案】B
因为所以再运用二项式定理展开共有项，应选答案B。
【例3-4】已知展开式中的系数小于90，则的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为展开式为
要想得到展开式中的项，只能是，和
当时，
二项式的展开通项
要想得到项，只能，此时的系数为
当时，
二项式的展开通项
要想得到项，只能，此时的系数为
当时，
二项式的展开通项
要想得到项，只能，此时的系数为
所以展开式中的系数为
所以，解得。故选B.
【例3-5】的展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵，
∴的展开式中的常数项为.
题型四、 换元求通项
【例4-1】若多项式，则 ．
【答案】．
【解析】根据的系数为可知，，∴的展开式中，的系数为，
而中，的系数为，∴
【例4-2】在的展开式中， 的系数是（ ）．
A. 55 B. 66 C. 165 D. 220
【答案】D【解析】二项式展开式中, 的系数是:
,所以的系数是.
【例4-3】已知，则 （
A. B. C. D.
【答案】C【解析】设，则
，∴．
题型五、赋值法
【例5-1】已知的展开式中各项系数的和32，则展开式中项的系数为
A．120 B．100 C．80 D．60
【答案】A
【详解】由题意，令x=y=1，得，解得n=5，
则展开式含项的项为，
令6-m=5，得m=1，即展开式中项的系数为，
【例5-2】的展开式中各项系数的和为16，则展开式中 项的系数为（ ）
A. B. C. 57 D. 33
【答案】A
【解析】由题意得 ,所以展开式中 项的系数为
【例5-3】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，得
令得
两式子相加得：， 令，得到，
所以，故选C．
【例5-4】已知，求的值是（ ）
A． B． C．1 D．－1
【答案】D
【详解】在中，
令得，令得，
．
故选：D．
【例5-5】若，则=（ ）
A．244 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】根据，
令时，整理得：
令x = 2时，整理得:
由①+②得，，所以.
故选：D.
【例5-6】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在中，
取，可得，取，可得，
两式相加可得，
两式相减可得．
．
题型六、最值问题
【例6-1】在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项的系数为（ ）
A．-960 B．960 C．1120 D．1680
【答案】C
【详解】因的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则有，解得，
即的展开式共有9项，于是得展开式的第5项的二项式系数最大，，
所以展开式中二项式系数最大的项的系数为1120.
【例6-2】若的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【详解】解：∵二项式系数最大的项只有第三项，∴展开式中共有5项，∴．
∴展开式第项为，
∴当时，为常数项.
【例6-3】若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由于二项式的展开式中各项的二项式系数之和为512，
所以，即，
展开式的通项公式为，
依题意可知，
.
【例6-4】已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则___________.
【答案】12
【详解】由题意可知展开式的二项式系数为，
当时，取得最大值
展开式的系数为，
当满足时，系数最大.
即
，即解得
又
时，系数的最大值为
则
故答案为：12
题型七、整除
【例7-1】设，且，若能被13整除，则a等于（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【答案】B
【详解】由，展开式通项为，又可以被13整除，
所以展开式中的项均可被13整除，余项为，
要使能被13整除，且，则.
【例7-2】除以88的余数是（ ）
A．-1 B．1 C．-87 D．8
【答案】B
【详解】因为
所以，
所以原式除以88的余数为1.
【例7-3】设为奇数，那么除以13的余数是（ ）
A． B．2 C．10 D．11
【答案】C
【详解】
因为为奇数，则上式=.
所以除以13的余数是10.
题型八、杨辉三角形
【例8-1】如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为
A．55 B．89 C．120 D．144
【答案】A
【详解】由题意，可知，
，
【例8-2】以下数表构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”.
该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后行仅有一个数，则这个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得：数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行的公差为4，…，第行的公差为，即第2018行公差为，
故第一行的第一个数为：，第二行的第一个数为：，
第三行的第一个数为：，第四行的第一个数为：，…
第行的第一个数为：，由题意得数表中共有2018行，
所以第2018行只有一个数，且这个数为：
【例8-3】如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1,3,3,4,6,5,10，…，则这个数列的第19项为（ ）
A．55 B．110 C．58 D．220
【答案】A
【详解】设“锯齿形”的数列的奇数项构成数列，
由，，，
，所以可得，即，
又因为“锯齿形”数列的第项即为新数列的第项，，
题型九、二项式综合问题
【例9-1】设是常数，对于，都有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，
则令可得.
又对两边求导可得：
，
令，
则，
所以，
所以
故，
所以.
【例9-2】若,则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：因为，
所以，
令，则，；
所以
【例9-3】已知二项式，且，则（ ）
A．324 B．405 C．648 D．810
【答案】D
【详解】由题意，，即，
两边求导得，令得，
故选：D．
课后作业
1．设复数x＝(i是虚数单位),则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 015＝( )
A．i B．－i C．－1－i D．1＋i
1．【答案】C
【解析】x＝＝－1＋i,Cx＋Cx2＋…＋Cx2 015＝(1＋x)2 015－1＝i2 015－1＝－i－1.
2．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝( )
A．9 B．10 C．－9 D．－10
2．【答案】D
【解析】x3＋x10＝x3＋[(x＋1)－1]10，题中a9只是[(x＋1)－1]10的展开式中(x＋1)9的系数，
故a9＝C(－1)1＝－10.
3．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )
A．180 B．120 C．90 D．45
3．【答案】A
【解析】由于展开式中只有第六项的二项式系数最大，故第六项为中间项，共有11项，
所以n＝10，
Tr＋1＝Cr·()10－r＝C2rx eq \s\up15() ，令＝0，得r＝2，故常数项是C22＝180.
4．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )
A．45 B．60 C．120 D．210
4．【答案】C
【解析】在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，
故f(m，n)＝C·C.从而f(3,0)＝C＝20，f(2,1)＝C·C＝60，f(1,2)＝C·C＝36，f(0,3)＝C＝4.
5．1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是( )
A．－1 B．1 C．－87 D．87
5．【答案】B
【解析】1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910
＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.
6．设an是(1－)n的展开式中x项的系数(n＝2,3,4，…)，若bn＝，则bn的最大值是( )
A. B. C. D.
6．【答案】D
【解析】由已知an＝C，所以bn＝＝＝＝，
由于y＝n＋在 (0，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数，且n＝2,3,4，…，
所以n＝4时，ymin＝4＋＝， 则bn＝取得最大值＝，故选D.
7．(x＋2y)7的展开式中，系数最大的项是( )
A．68y7 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1344x2y5
7．【答案】C
【解析】设第r＋1项系数最大，则有
即即解得
又∵r∈Z，∴r＝5，∴系数最大的项为T6＝Cx2·25y5＝672x2y5.故选C.
8．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x＋y＝1,xy<0,则x的取值范围是( )
A．(－∞,) B．[,＋∞) C．(－∞,－] D．(1,＋∞)
8．【答案】D
【解析】二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝C·x9－r·yr.
依题意,有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C·x9－1·y≤C·x9－2·y2,x＋y＝1,xy<0)),由此得,
解之得x>1,即x的取值范围为(1,＋∞)．
9.已知,则从集合(
)到集合的映射个数是( )
A．6561 B．316 C．2187 D．210
9．【答案】A
【解析】,
所以,所以集合M中有0、1、4、6、、、、,从M到N的映射共有个．选A．
10.已知，则
A． B．0 C．14 D．
10、【答案】B
【详解】解：由题知，，
且，则，，
所以.故选：B.
二、填空题
11．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3＝________.
11．【答案】10
【解析】法一、由等式两边对应项系数相等,即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a5＝1，,Ca5＋a4＝0，,Ca5＋Ca4＋a3＝0)) a3＝10.
法二、由于f(x)=x5=[(1+x)-1]5,所以a3=(-1)2=10.
12．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________．
12．【答案】56
【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相等，即C＝C，所以n＝8，所以展开式的通项为Tk＋1＝Cx8－kk＝Cx8－2k，令8－2k＝－2，解得k＝5，所以T6＝C2，所以的系数为C＝56.
13．若展开式的各项系数的绝对值之和为1024，则展开式中x的一次项的系数为________．
13．【答案】－15
【解析】Tr＋1＝C()n－rr＝(－3)r·Cx eq \s\up15() ，因为展开式的各项系数绝对值之和为
C＋|(－3)1C|＋(－3)2C＋|(－3)3C|＋…＋|(－3)nC|＝1024，所以(1＋3)n＝1024，
解得n＝5，令＝1，解得r＝1，
所以展开式中x的一次项的系数为(－3)1C＝－15.
14．(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为________．
14．【答案】－210
【解析】(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－C(x2)(x－1)9＋C(x－1)10，
所以x3的系数为－CC＋C(－C)＝－210.
15．已知的展开式中含的项的系数为5，则_________．
15、【答案】2
【详解】由题意知原式展开为，
所以的展开式中含的项为，
即，由已知条件知，解得 .
16．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
16．【答案】3
【解析】解法一：∵(1＋x)4＝x4＋Cx3＋Cx2＋Cx＋Cx0＝x4＋4x3＋6x2＋4x＋1，
∴(a＋x)(1＋x)4的奇数次幂项的系数为4a＋4a＋1＋6＋1＝32，∴a＝3.
解法二：设(a＋x)(1＋x)4＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3＋b4x4＋b5x5.
令x＝1，得16(a＋1)＝b0＋b1＋b2＋b3＋b4＋b5，①
令x＝－1，得0＝b0－b1＋b2－b3＋b4－b5，②
由①－②，得16(a＋1)＝2(b1＋b3＋b5)，
即8(a＋1)＝32，解得a＝3.
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