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高中数学重难点突破
专题七 随机变量及其分布列
知识归纳
1．随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
2．离散型随机变量
(1)定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
(2)特征：
①可用数值表示． ②试验之前可以判断其出现的所有值．
③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出．
3．离散型随机变量的分布列
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②＝1.
4．两点分布
X 0 1
P 1－p p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p为成功概率．
5．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则
P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，
其中m＝min，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X 0 1 … m
P …
典例分析
【例1】设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值； (2)求P.
【例2】一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．
(1)求X的分布列； (2)求X的取值不小于4的概率．
【例3】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求随机变量X的分布列；
(3)求甲取到白球的概率．
【例4】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 2a 3a
则a＝( )
A. B. C. D.
2．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X
A．(－∞，2] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2)
3．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于( )
A. B. C. D.
4．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.
课后作业（常考题型与解题技巧）
5．设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝( )
A. B. C. D.
6．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，如果P(ξ＜4)＝0.3，那么n＝________．
7．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________ .
8．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数ξ的分布列．
9．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X.求随机变量X的分布列．
10．随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组从某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄在[25,30)，[55,60)的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
(1)求从年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成的概率；
(2)求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；
(3)若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列．
提高训练题（思维与综合能力提升）
11．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P＝ ( )
A. B. C. D.
12．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________.
13．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
14．随机将1,2，…，6，这6个连续正整数分成A，B两组，每组3个数．A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2. 记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.
(1)求ξ的分布列；
(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)．
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专题七 随机变量及其分布列
知识归纳
1．随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
2．离散型随机变量
(1)定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
(2)特征：
①可用数值表示． ②试验之前可以判断其出现的所有值．
③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出．
3．离散型随机变量的分布列
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②＝1.
4．两点分布
X 0 1
P 1－p p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p为成功概率．
5．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则
P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，
其中m＝min，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X 0 1 … m
P …
典例分析
【例1】设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值； (2)求P.
【例1】[解] 分布列可改写为：
X
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)P＝P＋P＋P＝＋＋＝，或P＝1－P＝1－＝.
【例2】一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．
(1)求X的分布列；
(2)求X的取值不小于4的概率．
【例2】[解] (1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 3 4 5 6
P
(2)X的取值不小于4的概率为
P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝.
【例3】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．
(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率．
【例3】解 (1)设袋中白球共有x个，根据已知条件＝，
即x2－x－6＝0，
解得x＝3，或x＝－2(舍去)．
(2)X表示取球终止时所需要的次数，则X的取值分别为：1,2，3,4,5.
因此，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.
则随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
(3)甲取到白球的概率为P＝＋＋＝＋＋＝.
【例4】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
【例4】[解] (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X 0 1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
P(Y＝0)＝＝＝，
P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，
P(Y＝50)＝＝＝，
P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的分布列为
Y 0 10 20 50 60
P
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 2a 3a
则a＝( )
A. B.
C. D.
1、A [由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，所以a＝.]
2．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
2、C [由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X3．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于( )
A. B.
C. D.
3、【解析】 根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，
故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝.
【答案】 A
4．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.
4、 [P(X＝3)＝＝.]
课后作业（常考题型与解题技巧）
5．设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝( )
A. B.
C. D.
5、B [根据概率分布列的性质得出：＋m＋＋＝1，所以m＝，随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P
所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝.故选B.]
6．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，如果P(ξ＜4)＝0.3，那么n＝________．
6、解析：由ξ＜4知ξ＝1，2，3时，有P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＝，解得n＝10.
答案：10
7．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________ .
7、答案
解析 女生人数服从超几何分布．
设所选女生人数为X，
则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，
则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
8．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数ξ的分布列．
8、[解] 随机变量ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.
ξ的所有可能取值为0,1,2，它相应的概率依次为
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
9．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X.求随机变量X的分布列．
9、解： X可取3，4，5，6，7.其中X＝3表示取出分别标有1，2的2张卡片，P(X＝3)＝eq \f(1,C)＝；
X＝4表示取出分别标有1，3的2张卡片，P(X＝4)＝eq \f(1,C)＝；
X＝5表示取出分别标有1，4或2，3的2张卡片，P(X＝5)＝eq \f(2,C)＝；
X＝6表示取出分别标有2，4的2张卡片，P(X＝6)＝eq \f(1,C)＝；
X＝7表示取出分别标有3，4的2张卡片，P(X＝7)＝eq \f(1,C)＝.
所以变量X的分布列为：
X 3 4 5 6 7
P
10．随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组从某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄在[25,30)，[55,60)的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
(1)求从年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成的概率；
(2)求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；
(3)若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列．
10、解 (1)设“年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A，
所以P(A)＝＝.
(2)设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B，
所以P(B)＝＋＋＝.
(3)X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
提高训练题（思维与综合能力提升）
11．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P＝ ( )
A. B. C. D.
11、解析：由＜ξ＜知ξ＝1，2，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.
答案：D
12．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________.
12、答案
解析 解法一：由已知得ξ的取值为7,8,9,10，
∵P(ξ＝7)＝＝，
P(ξ＝8)＝＝，
P(ξ＝9)＝＝，
P(ξ＝10)＝＝，
∴ξ的概率分布列为：
ξ 7 8 9 10
P
∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝＋＋＝.
解法二：P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝.
13．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
13、答案 －1,0,1,2,3
解析 X＝－1，甲抢到1题但答错了；
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时1对1错；
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对；
X＝2时，甲抢到2题均答对；
X＝3时，甲抢到3题均答对．
14．随机将1,2，…，6，这6个连续正整数分成A，B两组，每组3个数．A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2. 记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.
(1)求ξ的分布列；
(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)．
14、解 (1)ξ的所有可能取值为2,3,4,5.
将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有C＝20(种)，所以ξ的分布列为：
ξ 2 3 4 5
P
(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为2,3,4.
又ξ和η恰好相等且等于2时，不同的分组方法有2种；
ξ和η恰好相等且等于3时，不同的分组方法有2种；
ξ和η恰好相等且等于4时，不同的分组方法有4种．
所以P(C)＝＝.
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