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高中数学重难点突破
专题二 组合
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
知识归纳
1．组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．
3．组合数公式及其性质
(1)公式：C＝＝. (2)性质：C＝C，C＋C＝C. (3)规定：C＝1.
典例分析
【例1】(1)下面几个问题中属于组合问题的是( )
①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．
A．①③ B．②④
C．①② D．①②④
(2)若A＝12C，则n等于( )
A．8 B．5或6
C．3或4 D．4
【例1】(1)C [①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．]
(2)A [A＝n(n－1)(n－2)，C＝n(n－1)，
所以n(n－1)(n－2)＝12×n(n－1)．
由n∈N*，且n≥3，解得n＝8.]
【例2】高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？
【例2】[解] (1)从余下的34名学生中选取2名，
有C＝561(种)．
∴不同的取法有561种．
(2)从34名可选学生中选取3名，有C种．
或者C－C＝C＝5 984种．
∴不同的取法有5 984种．
(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2 100种．
∴不同的取法有2 100种．
(4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555种．
∴不同的取法有2 555种．
(5)选取3名的总数有C，因此选取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090种．
∴不同的取法有6 090种．
【变式1】课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
[解] (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C·C＋C·C＝825种．或采用排除法有C－C＝825种．
(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C·C＋C·C＋C＝966种．
(3)分两种情况：
第一类：女队长当选，有C种；
第二类：女队长不当选，
有C·C＋C·C＋C·C＋C种．
故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790种．
【例3】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
【例3】[解] (1)根据分步乘法计数原理得到：CCC＝90种．
(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法．根据分步乘法计数原理可得：CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．
(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60种方法．
(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360种方法．
(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有CCC＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有CC5CA＝360种方法；③“1、1、4型”，有CA＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．
【变式2】按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？
(1)各组人数分别为2,4,6个；
(2)平均分成3个小组；
(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．
【变式2】[解析] (1)CCC＝13 860(种)； (2)＝5 775(种)；
(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有·A＝C·C·C＝34 650(种)不同的分法．
【例4】按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；
(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．
【例4】[解] (1)每个小球都有4种放法，根据分步乘法计数原理，共有46＝4 096种不同放法．
(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有C·C·A＋C·C·A＝1 560(种)不同放法．
(3)法一：按3,1,1,1放入有C种方法，按2,2,1,1放入有C种方法，共有C＋C＝10(种)不同放法．
法二：(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四份，共有C＝10(种)不同放法．
【变式3】20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．
【变式3】【答案】120
【解析】先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有C＝120(种)方法．
【例5】(1)有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成 个不同的三位数.
(2)某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )
A．56种 B．68种
C．74种 D．92种
【例5】(1)432 [法一 依0与1两个特殊值分析，可分三类：
①取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位；有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC·22个．
②取1不取0，同上分析可得不同的三位数C·22·A个．
③0和1都不取，有不同三位数C·23·A个．
综上所述，不同的三位数共有
CCC·22＋C·22·A＋C·23·A＝432(个)．
法二 任取三张卡片可以组成不同三位数C·23·A个，
其中0在百位的有C·22·A个，这是不合题意的，
故可组成的不同三位数共有C·23·A－C·22·A＝432(个)．]
(2)D [根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有CC种，有一个“多面手”的选派方法有CCC种，有两个“多面手”的选派方法有CC种，即共有20＋60＋12＝92种不同的选派方法．]
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )
A．36种 B．48种
C．96种 D．192种
1、C [甲选修2门有C＝6种选法，乙、丙各有C＝4种选法．由分步乘法计数原理可知，共有6×4×4＝96种选法．]
2．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )
A．CC B．CA
C．CACA D．AA
2、【解析】 分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种．故有CA种．
【答案】 B
3．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 B．56
C．49 D．28
3、[答案] C
[解析] 考查有限制条件的组合问题．
(1)从甲、乙两人中选1人，有2种选法，从除甲、乙、丙外的7人中选2人，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有2C＝42种．
(2)甲、乙两人全选，再从除丙外的其余7人中选1人共7种选法．
由分类计数原理知共有不同选法42＋7＝49种．
4．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有( )
A．CC B．AA
C． D．AAA
4、C [由于三组之间没有区别，且是平均分组，故共有，故选C.]
5．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告．要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )
A．120种 B．48种
C．36种 D．18种
5、【解析】 最后必须播放奥运广告有C种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C种，故共有CCA＝36种不同的播放方式．
【答案】 C
6．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 B．80种
C．100种 D．140种
6、[答案] A
[解析] 考查排列组合有关知识．
解：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名，
∴共有C·C＋C·C＝70，∴选A.
课后作业（常考题型与解题技巧）
7．北京《财富》全球论坛开幕期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )
A．CCC B．CCC
C. D．CCCA
7、[答案] B
[解析] 解法1：由题意知不同的排班种数为：CCC＝··＝CCC.
故选B.
解法2：也可先选出12人再排班为：CCCC，即选B.
8．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为( )
A．120 B．240
C．360 D．720
8、【解析】 先选出3个球有C＝120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240种方法．
【答案】 B
9．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )种 ( )．
A．72 B．84 C．120 D．168
9、解析 需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所
以关灯方案共有C＝120(种)．
答案 C
10．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是( )．
A．15 B．45 C．60 D．75
10、解析 从4个重点项目和6个一般项目各选2个项目共有C·C＝90种不同
选法，重点项目A和一般项目B都不被选中的不同选法有C·C＝30(种)，
所以重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的选法有90－30＝60(种)．
答案 C
11．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有______种不同送法．
11、[答案] 10
[解析] 每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有C＝10种．
12．2010年上海世博会期间，将5名志愿者分配到3个不同国家的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数是________种．
12、[答案] 150
[解析] 先分组共有C＋种，然后进行排列，有A种，所以共有(C＋)·A＝150种方案．
13．某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案(用数字作答)．
13、解析 第一类，若从A、B、C三门选一门有C·C＝60(种)．
第二类，若从其他六门选4门有C＝15(种)，
∴共有60＋15＝75(种)不同的选法．
答案 75
14．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种．
14、【解析】 6位游客选2人去A风景区，有C种，余下4位游客选2人去B风景区，有C种，余下2人去C，D风景区，有A种，所以分配方案共有CCA＝180(种)．
【答案】 180
15．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路图(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条．
15、126 [要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条．]
16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名；
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
问全程赛程共需比赛多少场？
16、[解析] (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C＝30(场)．
(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A＝4(场)．
(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．
17．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：
(1)4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰有两双；
(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双．
17、[解] (1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C×24＝3 360(种)．
(2)从10双鞋子中选2双有C种取法，即有45种不同取法．
(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝CC×22＝1 440种.
18．某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
18、[解] (1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90种抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
法一：(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有C·C种选法；
②选3名外科专家，共有C·C种选法；
③选4名外科专家，共有C·C种选法；
根据分类加法计数原理，共有
C·C＋C·C＋C·C＝185种抽调方法．
法二：(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：
C－C·C－C＝185种抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有C·C种选法；
③有2名外科专家参加，有C·C种选法．
所以共有C＋C·C＋C·C＝115种抽调方法.
提高训练题（思维与综合能力提升）
19．设集合Ⅰ＝{1,2,3,4,5}．选择Ⅰ的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )
A．50种 B．49种
C．48种 D．47种
19、[答案] B
[解析] 主要考查集合、排列、组合的基础知识．考查分类讨论的思想方法．
因为集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素，A中元素从1、2、3、4中取，B中元素从2、3、4、5中取，由于A、B非空，故至少要有一个元素．
1° 当A＝{1}时，选B的方案共有24－1＝15种，
当A＝{2}时，选B的方案共有23－1＝7种，
当A＝{3}时，选B的方案共有22－1＝3种，
当A＝{4}时，选B的方案共有21－1＝1种．
故A是单元素集时，B有15＋7＋3＋1＝26种．
2° A为二元素集时，
A中最大元素是2，有1种，选B的方案有23－1＝7种．
A中最大元素是3，有C种，选B的方案有22－1＝3种．故共有2×3＝6种．
A中最大元素是4，有C种．选B的方案有21－1＝1种，故共有3×1＝3种．
故A中有两个元素时共有7＋6＋3＝16种．
3° A为三元素集时，
A中最大元素是3，有1种，选B的方案有22－1＝3种．
A中最大元素是4，有C＝3种，选B的方案有1种，
∴共有3×1＝3种．
∴A为三元素时共有3＋3＝6种．
4° A为四元素时，只能是A＝{1、2、3、4}，故B只能是{5}，只有一种．
∴共有26＋16＋6＋1＝49种．
20．正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种. 【导学号：97270020】
20、【解析】 若用三种颜色，有CA种染法，若用四种颜色，有5·A种染法，则不同的染色方法有CA＋5·A＝240(种)．
【答案】 240
21．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．
21、58 [先从8个顶点中任取4个的取法为C种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C－12＝58个．]
22. 如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有一个点在圆内的三角形共有________个．
22、解析 有一个点在圆内的有：
C(C－4)＝248(个)．
有两个顶点在圆内的有：C(C－2)＝60(个)．
三个项点均在圆内的有：C＝4(个)．
所以共有248＋60＋4＝312(个)．
答案 312
23．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
23、解 (1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C·A＝A种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法．所以共有不同测试方法A·C·A·A＝103 680(种)．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．所以共有不同测试方法C·(C·C)A＝576(种)．
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高中数学重难点突破
专题三 组合
知识归纳
1．组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．
3．组合数公式及其性质
(1)公式：C＝＝. (2)性质：C＝C，C＋C＝C. (3)规定：C＝1.
典例分析
【例1】(1)下面几个问题中属于组合问题的是( )
①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．
A．①③ B．②④
C．①② D．①②④
(2)若A＝12C，则n等于( )
A．8 B．5或6
C．3或4 D．4
【例2】高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？
【变式1】课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
【例3】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
【变式2】按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？
(1)各组人数分别为2,4,6个；
(2)平均分成3个小组；
(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．
【例4】按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；
(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．
【变式3】20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．
【例5】(1)有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成 个不同的三位数.
(2)某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )
A．56种 B．68种
C．74种 D．92种
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )
A．36种 B．48种
C．96种 D．192种
2．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )
A．CC B．CA
C．CACA D．AA
3．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 B．56
C．49 D．28
4．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有( )
A．CC B．AA C． D．AAA
5．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告．要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )
A．120种 B．48种
C．36种 D．18种
6．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 B．80种
C．100种 D．140种
课后作业（常考题型与解题技巧）
7．北京《财富》全球论坛开幕期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )
A．CCC B．CCC C. D．CCCA
8．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为( )
A．120 B．240
C．360 D．720
9．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )种 ( )．
A．72 B．84 C．120 D．168
10．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是( )．
A．15 B．45 C．60 D．75
11．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有______种不同送法．
12．2010年上海世博会期间，将5名志愿者分配到3个不同国家的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数是________种．
13．某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案(用数字作答)．
14．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种．
15．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路图(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条．
16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名；
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
问全程赛程共需比赛多少场？
17．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：
(1)4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰有两双；
(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双．
18．某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
提高训练题（思维与综合能力提升）
19．设集合Ⅰ＝{1,2,3,4,5}．选择Ⅰ的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )
A．50种 B．49种
C．48种 D．47种
20．正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种. 【导学号：97270020】
21．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．
22. 如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有一个点在圆内的三角形共有________个．
23．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
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