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高中数学重难点突破
专题十二 概率解答题专题训练
【例1】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．
【例1】【解】(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
故X的分布列为
X 200 300 400
P
E(X)＝200×＋300×＋400×＝350.
类型二 互斥、独立与分布列
【例2】乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（1）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（2）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.
【例2】【解】（1）设恰有一次的落点在乙上这一事件为，
（2）
0 1 2 3 4 6
E.
【例3】近年来，我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A、B两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00－9：00,9：00－10：00两个时段内各发一趟列车由A城到B城(两车发生情况互不影响)，A城发车时间及其概率如下表所示：
发生时间 8：10 8：30 8：50 9：10 9：30 9：50
概率
若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，假设他们到达A城火车站侯车的时间分别是周六8：00和周日8： 20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)
(1)设乙侯车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(2)求甲、乙二人候车时间相等的概率．
【例3】【解】(1)X的所有可能取值为10、30、50、70、90(分钟)，其概率 分布列如下
X 10 30 50 70 90
P
X的数学期望E(X)＝10×＋30×＋50×＋70×＋90×＝(分钟)．
(2)甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为
P甲10＝，P甲30＝，P甲50＝；
P乙10＝，P乙30＝，P乙50＝×＝.
所以所求概率P＝×＋×＋×＝＝，
即甲、乙二人候车时间相等的概率为.
类型三 二项分布
【例4】网购逐渐步入百姓生活，网络(电子)支付 ( http: / / www.21cnjy.com )方面的股票也受到一些股民的青睐．某单位4个热心炒股的好朋友研究后决定购买“生意宝”和“九州通”这两支股票中的一支．他们约定：每个人必须从“生意宝”和“九州通”这两支股票中选择一支购买，且通过掷一枚质地均匀的骰子决定各自购买哪支股票，掷出点数为5或6的人买“九州通”，掷出点数小于5的人买“生意宝”．
(1)求这4个人中恰有1人购买“九州通”股票的概率；
(2)用ξ、η分别表示这4个人购买“生意宝”和“九州通”股票的人数，记X＝ξη，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)．
【例4】【解】因为掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数为5或6的概率为，
所以这4个人中每个人购买“九州通”的概率为，购买“生意宝”的概率为.
设“这4个人中恰有i人购买‘九州通’股票”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，
则P(Ai)＝C()i()4－i(i＝0,1,2,3,4)．
(1)这4个人中恰有1人购买“九州通”股票的概率P(A1)＝C()1()3＝.
(2)易知X的所有可能取值为0,3,4.
P(X＝0)＝P(A0)＋P(A4)＝C()0()4＋C()4·()0＝＋＝，
P(X＝3)＝P(A1)＋P(A3)＝C()1()3＋C()3·()1＝＋＝，
P(X＝4)＝P(A2)＝C()2()2＝＝.
所以X的分布列为
X 0 3 4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋3×＋4×＝.
【例5】甲、乙两支球 ( http: / / www.21cnjy.com )队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．
(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；
(2)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的均值E(X)．
【例5】【解】(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．
设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，
所以Sn＝＝300.
解得n＝－12(舍去)或n＝5，
所以总决赛共比赛了5场．
则前4场比赛中，一支球队共赢了3场，且第5场比赛中，领先的球队获胜，其概率为C4＝.
(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490.
又P(X＝220)＝2×4＝，P(X＝300)＝C4＝，P(X＝390)＝C5＝，
P(X＝490)＝C6＝，
所以X的分布列为
X 220 300 390 490
P
所以X的均值E(X)＝377.5(万元)．
类型四 概率中的最优化问题
【例6】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X 40120
发电机最多可运行台数 1 2 3
若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【例6】【解】(1)依题意，p1＝P(40p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，
p3＝P(X>120)＝＝0.1.
由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为
p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝＋4××＝0.947 7.
(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．
(Ⅰ)安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
(Ⅱ)安装2台发电机的情形．
依题意，当40此时Y＝5 000－800＝4 200，
因此P(Y＝4 200)＝P(40当X≥80时，两台发电机运行，
此时Y＝5 000×2＝10 000，
因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.
由此得Y的分布列如下：
Y 4 200 10 000
P 0.2 0.8
所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.
(Ⅲ)安装3台发电机的情形．
依题意，当40此时Y＝5 000－1 600＝3 400，
因此P(Y＝3 400)＝P(40当80≤X≤120时，两台发电机运行，
此时Y＝5 000×2－800＝9 200，
因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；
当X>120时，三台发电机运行，
此时Y＝5 000×3＝15 000，
因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.
由此得Y的分布列如下：
Y 3 400 9 200 15 000
P 0.2 0.7 0.1
所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．
课后强化练习
1、小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天， 每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业．
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望．
1、【解】（1）记2家小店分别为，店有人休假记为事件，店有人，休假记为事件，发生调剂现象的概率为．
则， ，．
所以．
（2）依题意，X的所有可能取值为．
则，
．
X 0 1 2
所以X的分布表为：
所以．
2、甲、乙两人 ( http: / / www.21cnjy.com )进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．
2、【解】用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．
则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P( ( http: / / www.21cnjy.com )B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)
＝2＋×2＋××2＝.
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4 )＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.
故X的分布列为
X 2 3 4 5
P
E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
3、集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，3个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若3个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．
(1)求集成电路E需要维修的概率；
(2)若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．
3、【解】(1)3个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
依题意，集成电路E需要维修有两种情形：
①3个元件都不能正常工作，概率为
P1＝P()＝P()P()P()＝××＝；
②3个元件中的2个不能正常工作，概率为
P2＝P(A＋B＋C)＝××＋××＋××＝＝.
所以，集成电路E需要维修的概率为P1＋P2＝＋＝.
(2)设ξ为维修集成电路的个数，则ξ～B(2，)，而X＝100ξ，
P(X＝100k)＝P(ξ＝k)＝C()k()2－k，k＝0,1,2.
X的分布列为
X 0 100 200
P
∴E(X)＝0×＋100×＋200×＝或E(X)＝100E(ξ)＝100×2×＝.
4、在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担，，，四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务.
（1）若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；
（2）设这五位同学中承担任务的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
4、【解】（1）设为“甲、乙两人不同时承担同一项任务”，
则.
（2）由题意得，每一位同学承担任务的概率为，不承担任务的概率为，
则，
，
，
，
，
.
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5
P
数学期望.
5、在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：
组别 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
频数 5 18 28 26 17 6
(1)求抽取的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)已知这次考试共有2 0 ( http: / / www.21cnjy.com )00名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N(μ，σ2)(其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2)，且规定82.7分是复试线，那么在这2 000名考生中，能进入复试的有多少人？(附：≈12.7，若z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ(3)已知样本中成绩在[90,100] ( http: / / www.21cnjy.com )中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E(ξ)．
5、【解】(1)样本平均数和样本方差s2分别为
＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70，
s2＝(－25)2×0.05＋(－15)2×0.18＋(－5)2×0.28＋52×0.26＋152×0.17＋252×0.06＝161.
(2)由(1)知，z～N(70,161)，从而P(z>82.7)＝＝0.158 7，
所以能进入复试的人数为2 000×0.158 7≈317.
(3)显然ξ的取值为1,2,3，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.
6、某选修课的考试按A级，B级依次进行，只有当A级成绩合格时，才可继续参加B级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A级考试成绩合格的概率为，B级考试合格的概率为.假设各级考试成绩合格与否均互不影响．
(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；
(2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E(ξ)．
6、【解】设“A级第一次考试合格”为事件A1，“A级补考合格”为事件A2；“B级第一次考试合格”为事件B1，“B级补考合格”为事件B2.
(1)不需要补考就获得合格证书的事件为A1B1，注意到A1与B1相互独立，
则P(A1B1)＝P(A1)×P(B1)＝×＝.
故该考生不需要补考就获得该选修课的合格证书的概率为.
(2)由已知，得ξ＝2,3,4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得：
P(ξ＝2)＝P(A1B1)＋P(12)＝×＋×＝＋＝.
P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A1)＋P(A2B1)
＝××＋××＋××＝＋＋＝，
P(ξ＝4)＝P(A2B2)＋P(A2)
＝×××＋×××＝＋＝，
故E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.
即该考生参加考试的次数ξ的期望为.
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高中数学重难点突破
专题十二 概率解答题专题训练
类型一 古典概型
【例1】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．
类型二 互斥、独立与分布列
【例2】乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（1）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（2）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.
【例3】近年来，我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A、B两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00－9：00,9：00－10：00两个时段内各发一趟列车由A城到B城(两车发生情况互不影响)，A城发车时间及其概率如下表所示：
发生时间 8：10 8：30 8：50 9：10 9：30 9：50
概率
若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，假设他们到达A城火车站侯车的时间分别是周六8：00和周日8： 20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)
(1)设乙侯车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(2)求甲、乙二人候车时间相等的概率．
类型三 二项分布
【例4】网购逐渐步入百姓生活，网络(电子)支付 ( http: / / www.21cnjy.com )方面的股票也受到一些股民的青睐．某单位4个热心炒股的好朋友研究后决定购买“生意宝”和“九州通”这两支股票中的一支．他们约定：每个人必须从“生意宝”和“九州通”这两支股票中选择一支购买，且通过掷一枚质地均匀的骰子决定各自购买哪支股票，掷出点数为5或6的人买“九州通”，掷出点数小于5的人买“生意宝”．
(1)求这4个人中恰有1人购买“九州通”股票的概率；
(2)用ξ、η分别表示这4个人购买“生意宝”和“九州通”股票的人数，记X＝ξη，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)．
【例5】甲、乙两支球 ( http: / / www.21cnjy.com )队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．
(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；
(2)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的均值E(X)．
类型四 概率中的最优化问题
【例6】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X 40120
发电机最多可运行台数 1 2 3
若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
课后强化练习
1、小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天， 每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业．
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望．
2、甲、乙两人 ( http: / / www.21cnjy.com )进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．
3、集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，3个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若3个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．
(1)求集成电路E需要维修的概率；
(2)若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．
4、在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担，，，四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务.
（1）若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；
（2）设这五位同学中承担任务的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
5、在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：
组别 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
频数 5 18 28 26 17 6
(1)求抽取的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)已知这次考试共有2 0 ( http: / / www.21cnjy.com )00名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N(μ，σ2)(其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2)，且规定82.7分是复试线，那么在这2 000名考生中，能进入复试的有多少人？(附：≈12.7，若z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ(3)已知样本中成绩在[90,100] ( http: / / www.21cnjy.com )中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E(ξ)．
6、某选修课的考试按A级，B级依次进行，只有当A级成绩合格时，才可继续参加B级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A级考试成绩合格的概率为，B级考试合格的概率为.假设各级考试成绩合格与否均互不影响．
(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；
(2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E(ξ)．
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