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高中数学重难点突破
专题十三 概率题型总结
典例分析
题型一、随机事件的概率
例1-1、如图是一个正方体纸盒的展开图，把1，1，2，2，3，3分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方中体相对面上的两个数都相等的概率是
A． B． C． D．
【解答】由题意，图中有6个位置，将1，1，2，2，3，3这6个数字在6个位置全排列，共有种结果，
要使所得到的正方中体相对面上的两个数都相等都相等，必须是1、1相对，2、2相对，3、3相对，
正方体有6个面，写第一个数字时有6种选择，
剩下四个面，则第三个数字只有4种选择，
此时剩余两个面，2个数字，有2种选择；
以此类推，可得出正方体两个对面上两数字和相等的组合方式有．
所得到的正方中体相对面上的两个数都相等的概率为：．
故选：．
例1-2、六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为
A． B． C． D．
【解析】解：由题意得排队基本事件总数，
满足“丙”必须排在前两位，“甲乙”必须分开所包含的基本事件个数：
丙排在第一位，有（种排法， 丙排在第二位，有（种排法，
满足条件的事件总数（种，
满足甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率：．
故选：．
例1-3、如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为，则从到这部分电源能通电的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：如下图：
从到这部分电源不能通电的概率为：，
从到这部分电源能通电的概率为：．
故选：．
例1-4、高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：从入口放进一个白球，
则其落在第③个格子的情况是下落过程中的7次碰撞中，5次向左，2次向右，
从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为：．
故选：．
例1-5、甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛，比赛采取三局二胜制，甲队每局取胜的概率为．甲队有一名核心球员，如果核心球员在比赛中受伤，将不能参加后续比赛，甲队每局取胜的概率降为．若核心球员在每局比赛受伤的概率为，则甲队获得冠军的概率为 .
【解析】①甲队打二局获得冠军的概率为
②甲队打三局获得冠军的概率为
甲队获得冠军的概率为.
例1-6、在平面直角坐标系中，点集，，0，，在中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为 ．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点集，，0，，
中有9个点，在中随机取出三个点的方式数为，
当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况：
①三点在一横线或一纵线上，有6种情况，
②三点是1，1，的等腰直角三角形的顶点，有种情况，
③三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，
其中，直角顶点位于的有4个，直角顶点位于，的各有1个，
共有8种情况，
综上，选出的三点两两之间距离不超过2的情况数为，
这三个点两两之间距离均不超过2的概率为．
故答案为：．
例1-7、数学多选题有，，，四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分．已知某道数学多选题正确答案为，，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为 ．
【解答】解：小明随机地填涂了至少一个选项，共有：种涂法，
得分的涂法有3种，他能得分的概率为．
故答案为：．
例1-8、(多选题)在庆祝教师节联欢活动中部分教职员工参加了学校工会组织的趣味游戏比赛，其中定点投篮游戏的比赛规则如下：①每人可投篮七次，每成功一次记1分；②若连续两次投篮成功加0.5分，连续三次投篮成功加1分，连续四次投篮成功加1.5分，以此类推，连续七次投篮成功加3分．假设某教师每次投篮成功的概率为，且各次投篮之间相互独立，则下列说法中正确的有
A．该教师恰好三次投篮成功且连续的概率为
B．该教师恰好三次投篮成功的概率为
C．该教师在比赛中恰好得4分的概率为
D．该教师在比赛中恰好得5分的概率为
【解答】解：对于，该教师恰好三次投篮成功且连续的概率，故正确；
对于，该教师恰好三次投篮成功的概率，故正确；
对于，该教师在比赛中恰好得4分包含的情况有：
①第1，3，5，7次投篮成功，另外三次投篮不成功，概率，
②连续三次投篮成功，另外四次投篮不成功，概率，
该教师在比赛中恰好得4分的概率为，故错误；
对于，教师在比赛中恰好得5分包含的情况有：
①四次发球成功，有两个连续两次投篮成功，概率，
②四次发球成功，有一个连续三次投篮成功三，
分别连续得分在首尾和不在首尾两类，概率，
教师在比赛中恰好得5分的概率为，故正确．
故选：．
例1-9、(多选题)根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分处（为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ）
A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是
B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是
C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1
D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是
【答案】ACD
【解析】由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列，设其前项和为，
则，得．因为，均为正整数，所以有如下几种情况：
，，，共4种情况，每种情况各位诸侯分到领地的处数如下表所列：
男 子 伯 侯 公
， 8 9 10 11 12
， 6 8 10 12 14
， 4 7 10 13 16
， 2 6 10 14 18
由表中数据可知：为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是；故选项A正确；
为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是；故选项B不正确；
为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是；故选项C正确；
为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是，故选项D正确；
故选：ACD．
例1-10、(多选题)如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网，处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到达，处为止，则下列说法正确的有
A．甲从到达处的方法有120种
B．甲从必须经过到达处的方法有9种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
【解答】解：对于，甲由道路网处出发随机地选择一条沿街的最短路径到达处需走6步，
共有种方法，故错误；
对于，甲经过到达，可分为两步：
第一步：甲从经过的方法数：种，
第二步：甲从到的方法数：种，
所以：甲经过的方法数为种，故正确；
对于，由知：甲从到达处的方法有种，甲经过的方法数为：，
同理，乙从到达处的方法有种，乙经过的方法数也为：种，
甲、乙两人相遇经点的方法数为：种，
甲、乙两人相遇经点的概率，故错误；
对于，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，
他们在，2，3，相遇的走法有种方法；
，
甲、乙两人相遇的概率，故正确．
故选：．
题型二、随机事件的均值与方差
例2-1、某次招聘考试共有50个人参加，假设每个人获得通过的概率都为0.4，且各人通过与否相互独立．设这50人中获得通过的人数为，则
A．12 B．20 C．108 D．2058
【解答】解：据题意某次招聘考试共有50个人参加，假设每个人获得通过的概率都为0.4，且各人通过与否相互独立．可知，则，，
故选：．
例2-2、有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的次品数的数学期望值是
A． B． C． D．
【解析】解：设抽到的次品数为，
则有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽 件产品，抽到的次品数服从超几何分布即，，，抽到的次品数的数学期望值
故选：．
例2-3、某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若某随机事件的概率分布列满足，则______；若，则______.
【解析】因为,故,解得
,解得
故答案为: 1;
例2-4、某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．
【解析】设a，b∈{1，2，3，4，5}，则p（ξ1＝a），其ξ1分布列为：
ξ1 1 2 3 4 5
P
E(ξ1)（1+2+3+4+5）＝3． D(ξ1)[(1﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2+(5﹣3)2]＝2．
ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分别为：1.4，2.8，4.2，5.6，
P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.8），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．
ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6
P
E（ξ2）＝1.42.84.25.62.8．∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．
故答案为：2，0.2．
题型三、 条件概率
例3-1、(多选题)已知，分别为随机事件，的对立事件，（A），（B），则下列说法正确的是
A． B．
C．若，独立，则（A） D．若，互斥，则
【解答】解：对于，，故选项正确；
对于，若，为独立事件是，则，
而（B）不一定等于，故选项错误；
对于，若，独立，则（A）（B），则，故选项正确；
对于，若，互斥，则，所以，故选项正确．
故选：．
例3-2、小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“4个人去的景点不完全相同”，事件为“小赵独自去一个景点”，则
A． B． C． D．
【解析】解：小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种
所以小赵独自去一个景点的可能性为种，因为4个人去的景点不相同的可能性种，
所以．
故选：．
例3-3、为适应人民币流通使用的发展变化，提升人民币整体仿伪能力，保持人民币系列化，中国人民银行发行了2019年版第五套人民币元、元、元、元纸币和元、角、角硬币，同时升级了原有的验钞机现从混有张假钞的张元钞票中任取两张，在其中一张是假钞的条件下，两张都是假钞的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设事件A表示“两张都是假钞”，事件B表示“两张中至少有一张是假钞”，则
，，所以，所以所求概率为，
故选：B
题型四、古典概型
例4-1、袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为. 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.
（1）求随机变量的概率分布列和数学期望；
（2）求甲取到白棋的概率.
【解析】设袋中白棋共有个，，则依题意知：，∴，
即 ，解之得（舍去）.
（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量的所有可能取值是1，2，3，4，5.
，，，
，.
（注：此段4分的分配是每错1个扣1分，错到4个即不得分.）
随机变量的概率分布列为：
1 2 3 4 5
所以.
（2）记事件“甲取到白棋”，则事件包括以下三个互斥事件：
“甲第1次取棋时取出白棋”；
“甲第2次取棋时取出白棋”；
“甲第3次取棋时取出白棋”.
依题意知：，，，
所以，甲取到白棋的概率为
例4-2、从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.
(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.
(ⅰ)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；
(ⅱ)求抽到红球次数的数学期望及方差.
(Ⅱ)若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数的分布列.
【解析】（1）抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为得黑球的概率为
①所以恰2次为红色球的概率为
抽全三种颜色的概率
②,则，
（2）的可能取值为2，3，4，5
, ,
，
即分布列为：
2 3 4 5
P
题型五、 两点分布
例5-1、绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．
（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？
（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？
【解析】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，
设每个游客的利润为元，则是随机变量，其分布列为：
15
0.3 0.7
（元，
则5000个游客的平均利润为5000元，
当收费为10元时，照片被带走的可能性为，不被带走的概率为0.2，
设每个游客的利润为，则是随机变量，其分布列为：
5
0.8 0.2
（元，
则5000个游客的平均利润为（元，
该项目每天的平均利润比调整前多10000元．
（2）设降价元，则，照片被带走的可能性为，
不被带走的可能性为，
设每个游客的利润为元，则是随机变量，其分布列为：
，
当时，有最大值3.45元，
当定价为13元时，日平均利润取最大值为元．
题型六、 超几何分布
例6-1、某学校要在6名男生和3名女生中选出5名学生进行关于爱国主义教育相关知识的初赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分．已知6名男生中有2人不会答所有的题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名女生每人得2分的概率均为．现选择2名男生和3名女生，每人答一题，则所选队员得分之和为6分的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，记“所选5位队员得分之和为6分”为事件，
分3种情况讨论：
①男生得0分，女生得6分，设其为事件，则（A），
②男生得2分，女生得4分，设其为事件，则（B），
③男生得4分，女生得2分，设其为事件，则（C），
故（E）（A）（B）（C），
故选：．
例6-2、在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有个，其余的球为红球．
（Ⅰ）若，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望．
【解析】解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件，则．
所以，．
答：三次取球中恰有2个红球的概率为．（4分）
（Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件，则，
整理得：，解得（舍或．
所以，红球的个数为3个．（8分）
（Ⅲ）的取值为2，3，4，5，6，且，，，，．
所以的分布列为
2 3 4 5 6
所以，．（13分）
题型七、二项分布
例7-1、作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计如下：
红灯 1 2 3 4 5
等待时间（秒 60 60 90 30 90
（1）设学校规定后（含到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；
（2）设表示该学生上学途中遇到的红灯数，求的值；
（3）设表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量的分布列和数学期望．
【解析】解：（1）由题意知，当1，2，3，5路口同时遇到红灯时，
该同学会迟到，这名学生迟到的概率：．
（2）由题意知，
．
（3）由题意知，1，2，3，4，5，
，，，，
，，
随机变量的分布列：
0 1 2 3 4 5
．
例7-2、设甲、乙两位同学在高中三年级上学期间，甲同学每天之前到校的概率均，乙同学每天之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）设为事件“上学期间的五天中，甲同学在之前到校的天数为3天”， 为事件“上学期间的五天中，甲同学有且只有一次连续两天在之前到校”，求在事件发生的条件下，事件发生的概率；
（2）在上学期间的五天中，随机变量表示甲、乙同学同时在之前到校的天数，求的分布列与数学期望；
（3）甲、乙同学组成了学习互助小组后，若某天至少有一位同学在之后到校，则之后的一天甲、乙同学必然同时在之前到校，在上学期间的五天中，随机变量表示甲、乙同学同时在之前到校的天数，求的分布列与数学期望．
【解答】解：（1）事件包含6种情况：
甲同学第1，2，4天之前到校；甲同学第1，2，5天之前到校；
甲同学第2，3，4天之前到校；甲同学第1，3，4天之前到校；
甲同学1，4，5天之前到校；甲同学第2，4，5天之前到校．
故，又（A），
所以或；
（2）对于每一天甲乙同学同时在之前到校的概率为，
随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，5，
所以，，，
，，，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4 5
所以随机变量的数学期望为；
（3）随机变量的所有可能取值为2，3，4，5，
则，，，，
所以随机变量的分布列为：
2 3 4 5
则随机变量的数学期望为．
题型八、正态分布
例8-1、“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：服从正态分布，且．现从该地区高中男生中随机抽取3人，记不在的人数为，则
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，正态分布曲线的对称轴方程为，
又，，故错误；
不在的人数的可能取值为0，1，2，3，
由可知，不在的概率为0.2，
则，，
，．
，故错误；
，
则，故错误；
，故正确．
故选：．
例8-2、(多选题)设，，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中错误的是
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
【解答】解：由图可知，，，
，故选项错误，
由图可得，，故选项错误，
由图可得，对任意实数，，而，，故，故选项正确，选项错误．
故选：．
例8-3、2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；
（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若令，则，且．利用直方图得到的正态分布，求．
(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到0．0001)以及的数学期望．
参考数据：．若，则．
【解析】（1），
；
（2）（i）由题知，，∴，．
∴；
（ⅱ）由（i）知，
可得，
.
∴的数学期望.
题型九、决策问题
例9-1、某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，出现故障时需1名工人进行维修，且每台机器是否出现故障是相互独立的，每台机器出现故障的概率为．
（1）若出现故障的机器台数为，求的分布列；
（2）该厂到多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于？
（3）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的数学期望．
【解析】解：（1）一台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障的概率为，
4台机器相当于4次独立试验，设出现故障的机器台数为，则，
，，，，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
（2）设该厂有名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为，
则，，，，，这个互斥事件的和事件，则：
0 1 2 3 4
1
，
至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于．
（3）设该厂获利为万元，则的所有可能取值为18，13，8，
，
，，
的分布列为：
18 13 8
．
该厂获利的均值为．
例9-2、某单位准备购买三台设备，型号分别为，，已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元．为了决策在购买设备时应同时购买的易耗品的件数．该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如表所示．
每台设备一个月中使用的易耗品的件数 6 7 8
型号 30 30 0
频数 型号 20 30 10
型号 0 45 15
将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立．
（1）求该单位一个月中，，三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；
（2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？
【解析】解：（1）由题中的表格可知
型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为，
型号的设备一个月使用易耗品的件数为6，7，8的频率均为，
型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率均为，
设该单位一个月中，，三台设备使用易耗品的件数分别为，，，
则，，，
设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为，
则，
而
，故，
即该单位一个月中，，三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为；
（2）以题意知，所有可能的取值为19，20，21，22，23，
，
由（1）知，，
若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品，设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元，则的所有可能取值为2000，2200，2400，2600，
，
，，，
，
若该单位在购买设备的同时购买了21件易耗品，设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元，则的所有可能取值为2100，2300，2500，
，
，，
，
故，所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品．
题型十、保险问题
例10-1、某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12 000,6 000,2 000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)：
工种类别 A B C
赔付频率
已知A，B，C三类工种的职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．
(1)求保险公司在该业务所获利润的期望值；
(2)现有如下两个方案供企业选择：
方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；
方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支．
请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．
解：(1)设A，B，C三类工种职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量X，Y，Z，则X，Y，Z的分布列分别为
X 25 25－100×104
P 1－
Y 25 25－100×104
P 1－
Z 40 40－50×104
P 1－
∴E(X)＝25×＋(25－100×104)×＝15，E(Y)＝25×＋(25－100×104)×＝5，
E(Z)＝40×＋(40－50×104)×＝－10，
保险公司所获利润的期望值为12 000×15＋6 000×5－2 000×10－100 000＝90 000，
∴保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．
(2)方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为12 000×100×104×＋6 000×100×104×＋2 000×50×104×＋12×104＝46×104；
方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为(12 000×25＋6 000×25＋2 000×40)×0.7＝37.1×104.
∵46×104>37.1×104，
∴建议企业选择方案2.
题型十一、考试问题
例11-1、某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①、②、③、④、⑤．
（1）某教练将所带6名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3项的概率．
科目学员 ① ② ③ ④ ⑤
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
注“”表示合格，空白表示不合格
（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行第一轮测试（按①、②、③、④、⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第一轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若选择补考，则需另外缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．（注：每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序全部重考，学员在同一轮补测中5个项目均合格，则可通过“科二”考试）．每人最多只能补考1次．学员甲每轮测试或补测通过①、②、③、④、⑤各项测试的概率依次为1、1、1、、，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．求：
（ⅰ）学员甲能通过“科二”考试的概率；
（ⅱ）学员甲缴纳的考试费用的数学期望．
【解答】解：（1）根据题意，学员（1），（2），（4），（6）恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有的可能情况如下：
学员编号 补测编号 项数
（1）（2） ②③⑤ 3
（1）（4） ②③④⑤ 4
（1）（6） ③④⑤ 3
（2）（4） ②④⑤ 3
（2）（6） ②③④⑤ 4
（4）（6） ②③④ 3
由表可知，全部6种情况中，有4种情况补测项数不超过3，故所求概率为；
（2）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试（或补测）的概率为．
（ⅰ）由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应的概率为，故学员甲能通过“科二”考试的概率为；
（ⅱ）根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但是通过第1轮补测时，其他情况时均有，而，
故的分布列为：
150 450
故．
题型十二、比赛问题
例12-1、某学校要在6名男生和3名女生中选出5名学生进行关于爱国主义教育相关知识的初赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分．已知6名男生中有2人不会答所有的题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名女生每人得2分的概率均为．现选择2名男生和3名女生，每人答一题，则所选队员得分之和为6分的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，记“所选5位队员得分之和为6分”为事件，
分3种情况讨论：
①男生得0分，女生得6分，设其为事件，则（A），
②男生得2分，女生得4分，设其为事件，则（B），
③男生得4分，女生得2分，设其为事件，则（C），
故（E）（A）（B）（C），
故选：．
例12-2、甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
(1)求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
(2)记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.
【解析】(1)用表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”， 表示“第局甲获胜”， 表示“第局乙获胜”.则， .
.
(2)的可能取值为.
.
.
故的分布列为
2 3 4 5
所以.
例12-3、“钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“模式”．在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“”模式，“”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局．24分钟计时后开始的所有小局均采用“”模式．某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束．现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求4局比赛决出胜负的概率；
（Ⅱ）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）若24分钟内打满2局，最后可能甲乙获胜，则；
若24分钟内打满3局，最后可能甲乙获胜，则，
因此4局比赛决出胜负的概率为；
（Ⅱ）由题意可知，的可能取值为4，5，6，7，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
4 5 6 7
所以的数学期望为．
例12-4、甲、乙、丙、丁四只球队进行单循环小组赛（每两个队比赛一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，打平两队各记1分．三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线．假设四只球队水平相当，即每场比赛双方获胜、负、平的概率都为．
（Ⅰ）三轮比赛结束后甲的积分记为，求；
（Ⅱ）若前二轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四个球队积分分别为3、3、0、6，问甲能小组出线的概率．
【分析】（Ⅰ）设甲的第场比赛获胜记为，2，，第场比赛获平记为，2，，第场比赛获输记为，2，，，由此能求出结果．
（Ⅱ）分类1：若第三轮甲胜丁，则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为6、3、0、6，另一场比赛乙胜丙，这时甲、乙、丁积（6分），丙积0分，要抽签决定，抽中前两名的概率为，求出此时甲出线的概率，另一场比赛乙平丙或乙输丙，这时甲一定出线，求出甲出线的概率；分类2：若第三轮甲平丁，则甲、乙、丙、丁积分变为4、3、0、7，另一场比赛乙输丙，则甲、乙、丙、丁积分变为4、3、3、7，甲一定出线，求出甲出线的概率，另一场比赛乙平丙，则甲、乙、丙、丁积分变为4、4、1、7，要抽签决定，抽中前两名的概率为，求出这时甲出线的概率；分类3：若第三轮甲输丁，则甲、乙、丙、丁积分变为3、3、0、9，另一场比赛乙输丙，甲、乙、丙、丁积分变为3、3、3、9，求出甲出线的概率．由此能求出甲出线的概率．
【解答】解：（Ⅰ）设甲的第场比赛获胜记为，2，，第场比赛获平记为，2，，第场比赛获输记为，2，，
．
（Ⅱ）分类1：若第三轮甲胜丁，则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为6、3、0、6，
另一场比赛乙胜丙，这时甲、乙、丁积，丙积0分，
所以要抽签决定，抽中前两名的概率为，这时甲出线的概率为，
另一场比赛乙平丙或乙输丙，这时甲一定出线，甲出线的概率为；
分类2：若第三轮甲平丁，则甲、乙、丙、丁积分变为4、3、0、7，
另一场比赛乙输丙，则甲、乙、丙、丁积分变为4、3、3、7，甲一定出线，甲出线的概率为
另一场比赛乙平丙，则甲、乙、丙、丁积分变为4、4、1、7，
所以要抽签决定，抽中前两名的概率为，这时甲出线的概率为；
分类3：若第三轮甲输丁，则甲、乙、丙、丁积分变为3、3、0、9，
另一场比赛乙输丙，甲、乙、丙、丁积分变为3、3、3、9，甲出线的概率为．
甲出线的概率为．
题型十三、游戏问题
例13-1、(多选题)骰子通常作为桌上游戏的小道具．最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则
A．直接挑战第2关并过关的概率为
B．连续挑战前两关并过关的概率为
C．若直接挑战第3关，设 “三个点数之和等于15”， “至少出现一个5点”，则
D．若直接挑战第4关，则过关的概率是
【解答】解：对于，直接挑战第2关，则，
所以投掷两次点数之和应大于6，
故直接挑战第2关并过关的概率为，故选项正确；
对于，闯第1关时，，所以挑战第1关通过的概率为，
则连续挑战前两关并过关的概率为，故选项错误；
对于，由题意可知，抛掷3次的基本事件有个，
抛掷3次至少出现一个5点的基本事件共有个，故，
而事件包括：含5，5，5的1个，含4，5，6的有6个，一共有7个，
故，所以，故选正确；
对于，当时，，基本事件共有个，
“4 次点数之和大于20”包含以下情况：
含5，5，5，6的有4个，含5，5，6，6的有6个，含6，6，6，6的有1个，含4，6，6，6的有4个，
含5，6，6，6的有4个，含4，5，6，6的有12个，含3，6，6，6的有4个，
所以共有个，
所以直接挑战第4关，则过关的概率是，故选项正确．
故选：．
例13-2、如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．
（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
【解析】（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第 次划拳小华平”为；事件“第 次划拳小华输”为，所以．
因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：
第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；
其概率为，
第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，
其概率为
所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为．
（2）依题可知的可能取值为2、3、4、5，
，，
，
所以的分布列为：
2 3 4 5
所以的数学期望为：．
题型十四、检验问题
例14-1、 某市疾控中心流感监测结果显示,自2019年1月起,该市流感活动一度出现上升趋势,尤其是2月以来,呈现快速增长态势,截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平,为了预防感冒快速扩散,某校医务室采取积极方式,对感染者进行短暂隔离直到康复假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染,需要通过化验血液来确定感染的同学,血液化验结果呈阳性即为感染,呈阴性即未被感染下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验,直到能确定感染同学为止；
方案乙：先任取3个同学,将它们的血液混在一起化验,若结果呈阳性则表明感染同学为这3位中的1位,后再逐个化验,直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外3位同学中逐个检测；
求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；
表示依方案甲所需化验次数,表示依方案乙所需化验次数,假设每次化验的费用都相同,请从经济角度考虑那种化验方案最佳．
【解析】设2,3,4,分别表示依方案甲需化验为第i次,
表示依方案乙需化验为第j次,
,,
,
,
A表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数．
．
的可能取值为1,2,3,4,的可能取值为2,3．
,,
次,,,
次
故方案乙更佳．
例14-2、新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则雷检验次．二是混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时份血液检验的次数总共为次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为．
（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；
（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）该混合样本阴性的概率是，
根据对立事件原理，阳性的概率为．
（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4，
方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检测次数为1，概率为，
若阳性，则检测次数为3，概率为，
设方案二的检验次数记为，则的可能取值为2，4，6，
其分布列为：
2 4 6
，
方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为，的可能取值为1，5，
其分布列为：
1 5
，
，故选择方案三最“优”．
例14-3、已知10件不同的产品中共有3件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有3件次品为止．
（1）求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率；
（2）记恰好在第次测试时3件次品全部被测出的概率为，求的最大值和最小值．
【解析】解：（1）若恰好在第5次测试时3件次品全部被测出，则第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；
则有种情况，从10件产品中顺序取出5件，有种情况，
则第5次测试时3件次品全部被测出的概率，
（2）根据题意，分析可得的范围是，
当时，若恰好在第次测试时3件次品全部被测出，则第次取出第3件次品，前次中有2次是次品，次是正品；而从10件产品中顺序取出件，有种情况，则，
则（3），（4），（5），（6）；
当时，即恰好在第7次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第7次取出第3件次品，前6次中有2次是次品，4次是正品；二是前7次没有取出次品，此时也可以测出三件次品，
则；
当时，即恰好在第8次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第8次取出第3件次品，前7次中有2次是次品，5次是正品；二是前7次恰有一次次品，第8次取出为合格品，
则；
当时，即恰好在第9次测试时3件次品全部被测出，
此时（9）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
故，．
题型十五、概率与数列的综合问题
例15-1、如图，四棱锥的所有棱长均为1米，一只小虫从点出发沿四棱锥爬行，若在每顶点处选择不同的棱都是等可能的．设小虫爬行米后恰回到点的概率为．
（1）求，的值；
（2）求证：；
（3）求证：．
【解析】（1）表示从点到（或、、，然后再回到点的概率，所以；
因为从点沿一棱爬行，不妨设为沿着棱再经过或，然后再回到点的概率为，
所以．
（2）证明：设小虫爬行米后恰回到点的概率为，
那么表示爬行米后恰好没回到点的概率，
则此时小虫必在（或、、点，所以，即．
（3）证明：由，得，
从而．
所以
．
例15-2、有人玩掷硬币走跳棋的游戏。已知硬币岀现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、、第100站。一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从到）；若掷出反面，祺子向前跳二站（从到），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束。设棋子跳到第站的概率为.
（1）求的值
（2）写出的递推关系，其中，且；
（3）求玩该游戏获胜的概率.
【解析】（1）棋子开始在第0站为必然事件，所以.
第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，所以.
棋子跳到第2站有下列两种情况：
情形一 前二次掷硬币均出现正面，其概率为;
情形二 第一次掷硬币出现反面，其概率为.
所以；
（2）棋子跳到第站有下列两种情况：
情形一 棋子先跳到第站，又掷出反面，其概率为；
情形二 棋子先跳到第站，又掷出正面，其概率为.
所以，从而；
（3）由（1）与（2）知，，则，即，
所以数列是首相为，公比为的等比数列，
所以.
于是
，
于是.
所以玩游戏获胜的概率为.
课后作业
1、已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42
1、【答案】C
【解析】随机变量服从正态分布，且，
由对称性可知，，又，，
故选：C．
2、如图，在一个圆上取，，，，，个点，将圆六等分，现从这6个点中随机取3个点，则所取的3个点构成的三角形不是锐角三角形的概率为
A． B． C． D．
2、【解析】从，，，，，个点中随机选取3个点，共有种可能，
若这3个点构成锐角三角形，则这3个点不相邻，共有2种可能，
则构成的三角形是锐角三角形的概率为，
所取的3个点构成的三角形不是锐角三角形的概率为．
故选：．
3、现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
3、【答案】C
【解析】记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B，
则黄色杯子和绿色杯子相邻，有种；黄色杯子和绿色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有种；所以，故选：C.
4、若随机变量，，则（ ）
A． B． C． D．
4、【答案】D
因为，，则，解得，所以.故选：D.
5、设随机变量，若二项式，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6、C
【解析】二项式展开式的通项公式为，
又，∴，，
即 ，解得：，此时，，经检验可得，，
∴，，故选：C
6、有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁．现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为
A． B． C． D．
6、【解答】有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁．现准备通过一一试开将其区分出来，
每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，
恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：
①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，
③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，
恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为：
．
故选：．
7、如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点处，若移了次后，棋子落在上底面顶点的概率记为．则
A． B． C． D．
7、【解答】解：由题意可知，，，
移了次后棋子落在上底面顶点的概率记为，
故落在下底面顶点的概率为，
于是移了次后棋子落在上底面顶点的概率为，，
是等比数列，首项为，公比为，则，．
故选：．
8、某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制场单打3胜制，即先胜3场者获胜，比赛结束）．现有两支球队进行比赛，前3场依次分别由甲、乙、丙和、、出场比赛．若经过3场比赛未分出胜负，则第4场由甲和进行比赛；若经过4场比赛仍未分出胜负，则第5场由乙和进行比赛，假设甲与或比赛，甲每场获胜的概率均为0.6；乙与或比赛，乙每场获胜的概率均为0.5；丙与比赛，丙每场获胜的概率均为0.5；各场比赛的结果互不影响，那么，恰好经过4场比赛分出胜负的概率为
A．0.24 B．0.25 C．0.38 D．0.5
8、【解答】解：记“恰好经过4场比赛分出胜负”、“恰好经过4场比赛甲所在球队获胜”、“恰好经过4场比赛所在球队获胜”的事件分别为、、，
由，互斥，且（D）（E），
若事件发生，则第四场比赛甲获胜，且前3场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利，
由于甲对，比赛每场获胜的概率均为0.6，
乙与或比赛，乙每场获胜的概率均为0.5，
丙与比赛，丙每场获胜的概率均为0.5，各场比赛的结果互不影响，
甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率为：
（E），
若事件发生，则第四场比赛获胜，且前3场比赛所在球队恰有一场比赛失利，
由于甲对，比赛每场获胜的概率均为0.6，
乙与或比赛，乙每场获胜的概率均为0.5，
丙与比赛，丙每场获胜的概率均为0.5，各场比赛的结果互不影响，
所在球队恰好经过4场比赛获利胜利的概率为：
，
恰好经过4场比赛分出胜负的概率为：（D）（E）．
故选：．
9、(多选题)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
9、【解析】
A.恰有一个白球的概率，故A正确；
B.每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为，故B正确；
C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C错误；
D．每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D正确．
故选：ABD.
10、(多选题)甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是
A．（B） B．
C．事件与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件
10、【解答】解：由题意可得，，，
，故选项正确，
（B），故，选项错误，
由题意可得，，，是两两互斥的事件，故选项正确．
故选：．
11、(多选题)随着高三毕业日期的逐渐临近，有个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则
A．当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为
B．当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为
C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为
D．记个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为，则
11、【解答】解：考虑个同学时的情况，
若个同学都拿到其他同学的卡片，则第个同学可以与其中任何一个交换卡片，
若个同学只有一个拿到自己的卡片，则第个同学必须与该同学交换卡片，
，故正确；
，，，，，
代入数据可得，
当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为，故正确；
当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为，故错误；
甲和乙恰好互换了卡片的概率为，故正确．
故选：．
12、(多选题)连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则
A．甲选择的三个点构成正三角形的概率为
B．甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为
C．乙选择的三个点构成正三角形的概率为
D．甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为
12、【解答】解：甲随机选择的情况有种，乙随机选择的情况有种，
对于，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有种，
故甲选择的三个点构成正三角形的概率为，故选项正确；
对于，甲选择的三个点构成等腰直角三角形，有三种情况：
①上下两点都选，中间四个点中选一个，共有种；
②上下两点钟选一个，中间四个点中选相对的两个点，共有种；
③中间四个点中选三个点，共有种，
故共有种，
所以甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为，故选项正确；
对于，乙选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，共有种，
所以乙选择的三个点构成正三角形的概率为，故选项错误；
对于，选择的三个点构成等腰直角三角形同上所求，共有种，概率为，
甲乙相似，则甲乙均为正三角形或均为等腰直角三角形，
所以甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为，故正确．
故选：．
13、已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且（A），（C），则 ．
13、【解答】解：随机事件，，中，与互斥，与对立，且（A），（C），
（B）（C），
（A）（B）．
故答案为：0.7．
14、一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色，经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为 ．
14、【解析】解：由题设知：从10个球中任取4个球，共有种取法，
满足三种颜色的球均取到的取法有种，
三种颜色的球均取到的概率为，
故答案为：．
15．已知8份血液样本中有一份病毒检验呈阳性，现先取其中4份混合检测，如果呈阳性，再逐份检测这4份，直到检测出阳性样本；如果呈阴性，则再对另外4份逐份检测，直到检测出阳性样本．则混合样本呈阳性的概率为 ，恰好3次检测出阳性样本的概率为 ．
15、【解答】解：根据题意，对于第一空：从8份血液样本中任取其中4份混合，有种取法，
混合样本呈阳性，即病毒检验呈阳性的样本在选出的4份之中，有种情况，
则混合样本呈阳性的概率，
对于第二空：若恰好3次检测出阳性样本，
第一次检测确定了病毒检验呈阳性的样本是否在混合样本中，
第二次检验没有抽到病毒检验呈阳性的样本，其概率，
第三次检验抽到了病毒检验呈阳性的样本，其概率，
则恰好3次检测出阳性样本的概率，
故答案为：，
16、经过长期调研，某火车站每日的客流量（单位：千人）服从正态分布，该车站每日可供出售的有座车票数为2.2万张，且仅在有座车票已经售罄后，才开始出售无座车票．若需要出售无座车票的概率为，则有座车票每日剩余没能售出的车票数超过4千张的概率为 ．
16、【解答】解：每日的客流量服从正态分布，
，
有座车票每日剩余没能售出的车票数超过4千张的概率为．
故答案为：．
17、某甲篮球队的12名队员（含2名外援）中有5名主力队员（含一名外援），主教练要从12名队员中选5人首发上场，则主力队员不少于4人，且有一名外援上场的概率是 ．
17、【解答】解：由题意可得：主教练要从12名队员中选5人首发上场不同的选法有：种．
因为主力队员不少于4人，所以5名队员中有主力队员4人或者5人，
当从12名队员中选5人首发上场其中主力队员为4人并且有一名外援上场时，不同的选法共有种；
当从12名队员中选5人首发上场其中主力队员为5人并且有一名外援上场时，不同的选法共有1种，
所以主力队员不少于4人，且有一名外援上场的选法共有26种，
所以主力队员不少于4人，且有一名外援上场的概率为：．
故答案为：．
18．乒乓球比赛的11分制赛则规定：每局比赛先得11分的参赛者为胜方，若出现10平比分，则以先多得2分者为胜方；在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局出现10平比分后，若甲先发球，则甲以获胜的概率为 ，甲以获胜的概率为 ．
18、【解答】解：依题意，当甲以获胜时，所求事件的概率为；
当甲以获胜时，还需进行四场比赛，发球方分别是甲、乙、甲、乙，
获胜的可能情况有①第一场甲输，第二场甲赢，第三场甲赢，第四场甲赢；
②第一场甲赢，第二场甲输，第三场甲赢，第四场甲赢，此时，所求事件的概率为．
故答案为：；．
19、某商家推出一款简单电子游戏,弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点与中心共七个点中的三个位置上(如图),用S表示这三个球为顶点的三角形的面积.规定:当三球共线时,S=0;当S最大时,中一等奖,当S最小时,中二等奖,其余情况不中奖,一次游戏只能弹射一次.
（1）求甲一次游戏中能中奖的概率;
（2）设这个正六边形的面积是6,求一次游戏中随机变量S的分布列及期望值.
19、【解析】（1）甲中奖的概率为
（2）S的可能值为:0,1,2,3,其分布列为
S 0 1 2 3
P
20、某企业计划招聘新员工，现对应聘者关于工作的首要考虑因素进行调查﹐所得统计结果如下表所示：
男性 女性
以月薪作为主要考虑因素
以发展前景作为主要考虑因素
（1）是否有的把握认为应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关；
（2）若招聘考核共设置个环节，应聘者需要参加全部环节的考核，每个环节设置两个项目，若应聘者每通过一个项目积分，未通过积分.已知甲第环节每个项目通过的概率均为，第环节每个项目通过的概率均为，各环节 各项目间相互独立.求甲经过两个环节的考核后所得积分之和的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
20、【解析】（1）补充列联表如下表：
男性 女性 总计
以月薪作为主要考虑因素
以发展前景作为主要考虑因素
总计
，
有的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”.
（2）的所有可能的取值为.
’
的分布列为
（分）
21、某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：
门店1 门店2 门店3 门店4 门店5 门店6 门店7 门店8
线下日营业额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5
线上日营业额 11.5 9 12 17 19 23 21.5 15
若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．
若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．
（各门店的营业额之间互不影响）
（Ⅰ）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；
（Ⅱ）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明）
21、【解答】解：（Ⅰ）设“抽取的3个门店的线下日营业额均达标”为事件，
由题意知，8个样本门店中线下日营业额达标的有3家，所以．
所以抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率为．
（Ⅱ）由题意，8个样本门店中线下日营业总额达标的有4家，
所以从该地区众多门店中任选1个门店，日营业总额达标的概率为．
依题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，；
；；．
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
其数学期望．
（Ⅲ）．
22、某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有、两个等级、三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示．
表一
工序 第一工序 第二工序 第三工序
概率 0.5 0.75 0.8
表二
等级 一等品 二等品 三等品
利润 23 8 5
（1）用表示一件产品的利润，求的分布列和数学期望；
（2）因第一工序加工结果为级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加万元（即每件产品利润相应减少万元）时，第一工序加工结果为级的概率增加．问该改良方案对一件产品利润的期望是否会产生影响？并说明理由．
22、【解答】解：（1）依题意，一等品的概率为，
二等品的概率为，
三等品的概率为，
所以的分布列如下：
23 8 5
0.3 0.5 0.2
的数学期望（万元）；
（2）由题意，改良过程中，每件产品检测成本增加，
第一工序加工结果为级的概率增加，
一等品概率为，
二等品概率为
，
三等品概率为，
而一件一等品利润变为万元，二等品利润变为万元，三等品利润变为万元，
所以
，
因为，所以（万元），
所以改良方案对一件产品利润的期望会产生影响，降低了利润期望．
23、高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．
（Ⅰ）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
（Ⅱ）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中．小明改进了高尔顿板（如图，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．
23、【解答】解：（Ⅰ）设这个小球掉入5号球槽为事件．掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，
所以（A）．所以这个小球掉入5号球槽的概率为．
（Ⅱ）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，，
，
，
．
0 4 8 12
一次游戏付出的奖金，则小红的收益为．
小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9．
，，
，．
的分布列为：
0 1 4 9
一次游戏付出的奖金，则小明的收益为．
，小明的盈利多．
24、为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：
减排器等级及利润率如表，其中．
综合得分的范围 减排器等级 减排器利润率
一级品
二级品
三级品
（1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；
（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；
②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？
24、【解答】解：（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为，二级品的概率为0.4，
则用分层抽样的方法抽取的10件甲型号减排器中有6件一级品，4件二级品，
从这10件产品中随机抽取4件，至少有2件一级品的概率．
（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，
二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号减排器随机抽取3件，
则二级品数所有可能的取值为0，1，2，3，且，
所以，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望（或．
②由题意知，甲型号减排器的利润的平均值，
乙型号减排器的利润的平均值，
，又，
所以，即，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大．
25、当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．成都2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：
每分钟跳绳个数 [155,165) [165,175) [175,185) [185，＋∞)
得分 17 18 19 20
(1)现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；
(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ，σ2 )，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差s2≈169(各组数据用中点值代替)．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
①预计全年级恰有2 000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数；(结果四舍五入到整数)
②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195以上的人数为ξ，求随机变量的分布列和期望．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2 )，则P(μ－σ25、[解](1)设“两人得分之和不大于35分”为事件A，则事件A包括两种情况：①两人得分均为17分；②两人中1人得17分，1人得18分．
由古典概型概率公式可得P(A)＝＝＝，
所以两人得分之和不大于35分的概率为.
(2)由频率分布直方图可得样本数据的平均数为
＝160×0.06＋170×0.12＋180×0.34＋190×0.30＋200×0.1＋210×0.08＝185(个)，
又由s2≈169，得s≈13，
所以正式测试时μ＝195，σ＝13，∴μ－σ＝182.
①由正态曲线的对称性可得P(ξ>182)＝1－＝0.841 35，
∴0.841 35×2 000＝1 682.7≈1 683(人)，
所以可预计全年级恰有2 000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数为1 683人.
②由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，
所以ξ～B(3,0.5)，
∴P(ξ＝0)＝C·(1－0.5)3＝0.125，P(ξ＝1)＝C·0.5·(1－0.5)2＝0.375，P(ξ＝2)＝C·0.52·(1－0.5)＝0.375，
P(ξ＝3)＝C·0.53＝0.125.
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 0.125 0.375 0.375 0.125
∴E(X)＝3×0.5＝1.5.
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高中数学重难点突破
专题十三 概率题型总结
典例分析
题型一、随机事件的概率
例1-1、如图是一个正方体纸盒的展开图，把1，1，2，2，3，3分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方中体相对面上的两个数都相等的概率是
A． B． C． D．
例1-2、六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为
A． B． C． D．
例1-3、如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为，则从到这部分电源能通电的概率为
A． B． C． D．
例1-4、高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为
A． B． C． D．
例1-5、甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛，比赛采取三局二胜制，甲队每局取胜的概率为．甲队有一名核心球员，如果核心球员在比赛中受伤，将不能参加后续比赛，甲队每局取胜的概率降为．若核心球员在每局比赛受伤的概率为，则甲队获得冠军的概率为 .
例1-6、在平面直角坐标系中，点集，，0，，在中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为 ．
例1-7、数学多选题有，，，四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分．已知某道数学多选题正确答案为，，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为 ．
例1-8、(多选题)在庆祝教师节联欢活动中部分教职员工参加了学校工会组织的趣味游戏比赛，其中定点投篮游戏的比赛规则如下：①每人可投篮七次，每成功一次记1分；②若连续两次投篮成功加0.5分，连续三次投篮成功加1分，连续四次投篮成功加1.5分，以此类推，连续七次投篮成功加3分．假设某教师每次投篮成功的概率为，且各次投篮之间相互独立，则下列说法中正确的有
A．该教师恰好三次投篮成功且连续的概率为
B．该教师恰好三次投篮成功的概率为
C．该教师在比赛中恰好得4分的概率为
D．该教师在比赛中恰好得5分的概率为
例1-9、(多选题)根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分处（为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ）
A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是
B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是
C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1
D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是
例1-10、(多选题)如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网，处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到达，处为止，则下列说法正确的有
A．甲从到达处的方法有120种
B．甲从必须经过到达处的方法有9种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
题型二、随机事件的均值与方差
例2-1、某次招聘考试共有50个人参加，假设每个人获得通过的概率都为0.4，且各人通过与否相互独立．设这50人中获得通过的人数为，则
A．12 B．20 C．108 D．2058
例2-2、有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的次品数的数学期望值是
A． B． C． D．
例2-3、某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若某随机事件的概率分布列满足，则______；若，则______.
例2-4、某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．
题型三、 条件概率
例3-1、(多选题)已知，分别为随机事件，的对立事件，（A），（B），则下列说法正确的是
A． B．
C．若，独立，则（A） D．若，互斥，则
例3-2、小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“4个人去的景点不完全相同”，事件为“小赵独自去一个景点”，则
A． B． C． D．
例3-3、为适应人民币流通使用的发展变化，提升人民币整体仿伪能力，保持人民币系列化，中国人民银行发行了2019年版第五套人民币元、元、元、元纸币和元、角、角硬币，同时升级了原有的验钞机现从混有张假钞的张元钞票中任取两张，在其中一张是假钞的条件下，两张都是假钞的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型四、古典概型
例4-1、袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为. 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.
（1）求随机变量的概率分布列和数学期望；
（2）求甲取到白棋的概率.
例4-2、从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.
(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.
(ⅰ)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；
(ⅱ)求抽到红球次数的数学期望及方差.
(Ⅱ)若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数的分布列.
题型五、 两点分布
例5-1、绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．
（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？
（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？
题型六、 超几何分布
例6-1、某学校要在6名男生和3名女生中选出5名学生进行关于爱国主义教育相关知识的初赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分．已知6名男生中有2人不会答所有的题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名女生每人得2分的概率均为．现选择2名男生和3名女生，每人答一题，则所选队员得分之和为6分的概率为
A． B． C． D．
例6-2、在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有个，其余的球为红球．
(1)若，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
(2)从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；
(3)在(2)的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望．
题型七、二项分布
例7-1、作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计如下：
红灯 1 2 3 4 5
等待时间（秒 60 60 90 30 90
（1）设学校规定后（含到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；
（2）设表示该学生上学途中遇到的红灯数，求的值；
（3）设表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量的分布列和数学期望．
例7-2、设甲、乙两位同学在高中三年级上学期间，甲同学每天之前到校的概率均，乙同学每天之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）设为事件“上学期间的五天中，甲同学在之前到校的天数为3天”， 为事件“上学期间的五天中，甲同学有且只有一次连续两天在之前到校”，求在事件发生的条件下，事件发生的概率；
（2）在上学期间的五天中，随机变量表示甲、乙同学同时在之前到校的天数，求的分布列与数学期望；
（3）甲、乙同学组成了学习互助小组后，若某天至少有一位同学在之后到校，则之后的一天甲、乙同学必然同时在之前到校，在上学期间的五天中，随机变量表示甲、乙同学同时在之前到校的天数，求的分布列与数学期望．
题型八、正态分布
例8-1、“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：服从正态分布，且．现从该地区高中男生中随机抽取3人，记不在的人数为，则
A． B．
C． D．
例8-2、(多选题)设，，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中错误的是
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
例8-3、2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；
（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若令，则，且．利用直方图得到的正态分布，求．
(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到0．0001)以及的数学期望．
参考数据：．若，则．
题型九、决策问题
例9-1、某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，出现故障时需1名工人进行维修，且每台机器是否出现故障是相互独立的，每台机器出现故障的概率为．
(1)若出现故障的机器台数为，求的分布列；
(2)该厂到多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于？
(3)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的数学期望．
例9-2、某单位准备购买三台设备，型号分别为，，已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元．为了决策在购买设备时应同时购买的易耗品的件数．该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如表所示．
每台设备一个月中使用的易耗品的件数 6 7 8
型号 30 30 0
频数 型号 20 30 10
型号 0 45 15
将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立．
（1）求该单位一个月中，，三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；
（2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？
题型十、保险问题
例10-1、某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12 000,6 000,2 000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)：
工种类别 A B C
赔付频率
已知A，B，C三类工种的职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．
(1)求保险公司在该业务所获利润的期望值；
(2)现有如下两个方案供企业选择：
方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；
方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支．
请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．
题型十一、考试问题
例11-1、某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①、②、③、④、⑤．
（1）某教练将所带6名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3项的概率．
科目学员 ① ② ③ ④ ⑤
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
注“”表示合格，空白表示不合格
（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行第一轮测试（按①、②、③、④、⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第一轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若选择补考，则需另外缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．（注：每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序全部重考，学员在同一轮补测中5个项目均合格，则可通过“科二”考试）．每人最多只能补考1次．学员甲每轮测试或补测通过①、②、③、④、⑤各项测试的概率依次为1、1、1、、，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．求：
（ⅰ）学员甲能通过“科二”考试的概率；
（ⅱ）学员甲缴纳的考试费用的数学期望．
题型十二、比赛问题
例12-1、某学校要在6名男生和3名女生中选出5名学生进行关于爱国主义教育相关知识的初赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分．已知6名男生中有2人不会答所有的题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名女生每人得2分的概率均为．现选择2名男生和3名女生，每人答一题，则所选队员得分之和为6分的概率为
A． B． C． D．
例12-2、甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
(1)求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
(2)记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.
例12-3、“钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“模式”．在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“”模式，“”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局．24分钟计时后开始的所有小局均采用“”模式．某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束．现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求4局比赛决出胜负的概率；
（Ⅱ）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望．
例12-4、甲、乙、丙、丁四只球队进行单循环小组赛（每两个队比赛一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，打平两队各记1分．三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线．假设四只球队水平相当，即每场比赛双方获胜、负、平的概率都为．
（Ⅰ）三轮比赛结束后甲的积分记为，求；
（Ⅱ）若前二轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四个球队积分分别为3、3、0、6，问甲能小组出线的概率．
题型十三、游戏问题
例13-1、(多选题)骰子通常作为桌上游戏的小道具．最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则
A．直接挑战第2关并过关的概率为
B．连续挑战前两关并过关的概率为
C．若直接挑战第3关，设 “三个点数之和等于15”， “至少出现一个5点”，则
D．若直接挑战第4关，则过关的概率是
例13-2、如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．
（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
题型十四、检验问题
例14-1、 某市疾控中心流感监测结果显示,自2019年1月起,该市流感活动一度出现上升趋势,尤其是2月以来,呈现快速增长态势,截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平,为了预防感冒快速扩散,某校医务室采取积极方式,对感染者进行短暂隔离直到康复假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染,需要通过化验血液来确定感染的同学,血液化验结果呈阳性即为感染,呈阴性即未被感染下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验,直到能确定感染同学为止；
方案乙：先任取3个同学,将它们的血液混在一起化验,若结果呈阳性则表明感染同学为这3位中的1位,后再逐个化验,直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外3位同学中逐个检测；
求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；
表示依方案甲所需化验次数,表示依方案乙所需化验次数,假设每次化验的费用都相同,请从经济角度考虑那种化验方案最佳．
例14-2、新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则雷检验次．二是混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时份血液检验的次数总共为次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为．
（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；
（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．
例14-3、已知10件不同的产品中共有3件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有3件次品为止．
（1）求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率；
（2）记恰好在第次测试时3件次品全部被测出的概率为，求的最大值和最小值．
题型十五、概率与数列的综合问题
例15-1、如图，四棱锥的所有棱长均为1米，一只小虫从点出发沿四棱锥爬行，若在每顶点处选择不同的棱都是等可能的．设小虫爬行米后恰回到点的概率为．
（1）求，的值；
（2）求证：；
（3）求证：．
例15-2、有人玩掷硬币走跳棋的游戏。已知硬币岀现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、、第100站。一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从到）；若掷出反面，祺子向前跳二站（从到），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束。设棋子跳到第站的概率为.
（1）求的值
（2）写出的递推关系，其中，且；
（3）求玩该游戏获胜的概率.
课后作业
1、已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42
2、如图，在一个圆上取，，，，，个点，将圆六等分，现从这6个点中随机取3个点，则所取的3个点构成的三角形不是锐角三角形的概率为
A． B． C． D．
3、现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
4、若随机变量，，则（ ）
A． B． C． D．
5、设随机变量，若二项式，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6、有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁．现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为
A． B． C． D．
7、如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点处，若移了次后，棋子落在上底面顶点的概率记为．则
A． B． C． D．
8、某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制场单打3胜制，即先胜3场者获胜，比赛结束）．现有两支球队进行比赛，前3场依次分别由甲、乙、丙和、、出场比赛．若经过3场比赛未分出胜负，则第4场由甲和进行比赛；若经过4场比赛仍未分出胜负，则第5场由乙和进行比赛，假设甲与或比赛，甲每场获胜的概率均为0.6；乙与或比赛，乙每场获胜的概率均为0.5；丙与比赛，丙每场获胜的概率均为0.5；各场比赛的结果互不影响，那么，恰好经过4场比赛分出胜负的概率为
A．0.24 B．0.25 C．0.38 D．0.5
9、(多选题)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
10、(多选题)甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是
A．（B） B．
C．事件与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件
11、(多选题)随着高三毕业日期的逐渐临近，有个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则
A．当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为
B．当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为
C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为
D．记个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为，则
12、(多选题)连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则
A．甲选择的三个点构成正三角形的概率为
B．甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为
C．乙选择的三个点构成正三角形的概率为
D．甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为
13、已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且（A），（C），则 ．
14、一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色，经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为 ．
15．已知8份血液样本中有一份病毒检验呈阳性，现先取其中4份混合检测，如果呈阳性，再逐份检测这4份，直到检测出阳性样本；如果呈阴性，则再对另外4份逐份检测，直到检测出阳性样本．则混合样本呈阳性的概率为 ，恰好3次检测出阳性样本的概率为 ．
16、经过长期调研，某火车站每日的客流量（单位：千人）服从正态分布，该车站每日可供出售的有座车票数为2.2万张，且仅在有座车票已经售罄后，才开始出售无座车票．若需要出售无座车票的概率为，则有座车票每日剩余没能售出的车票数超过4千张的概率为 ．
17、某甲篮球队的12名队员（含2名外援）中有5名主力队员（含一名外援），主教练要从12名队员中选5人首发上场，则主力队员不少于4人，且有一名外援上场的概率是 ．
18、乒乓球比赛的11分制赛则规定：每局比赛先得11分的参赛者为胜方，若出现10平比分，则以先多得2分者为胜方；在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局出现10平比分后，若甲先发球，则甲以获胜的概率为 ，甲以获胜的概率为 ．
19、某商家推出一款简单电子游戏,弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点与中心共七个点中的三个位置上(如图),用S表示这三个球为顶点的三角形的面积.规定:当三球共线时,S=0;当S最大时,中一等奖,当S最小时,中二等奖,其余情况不中奖,一次游戏只能弹射一次.
（1）求甲一次游戏中能中奖的概率;
（2）设这个正六边形的面积是6,求一次游戏中随机变量S的分布列及期望值.
20、某企业计划招聘新员工，现对应聘者关于工作的首要考虑因素进行调查﹐所得统计结果如下表所示：
男性 女性
以月薪作为主要考虑因素
以发展前景作为主要考虑因素
（1）是否有的把握认为应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关；
（2）若招聘考核共设置个环节，应聘者需要参加全部环节的考核，每个环节设置两个项目，若应聘者每通过一个项目积分，未通过积分.已知甲第环节每个项目通过的概率均为，第环节每个项目通过的概率均为，各环节 各项目间相互独立.求甲经过两个环节的考核后所得积分之和的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
21、某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：
门店1 门店2 门店3 门店4 门店5 门店6 门店7 门店8
线下日营业额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5
线上日营业额 11.5 9 12 17 19 23 21.5 15
若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．
若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．
（各门店的营业额之间互不影响）
（Ⅰ）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；
（Ⅱ）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明）
22、某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有、两个等级、三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示．
表一
工序 第一工序 第二工序 第三工序
概率 0.5 0.75 0.8
表二
等级 一等品 二等品 三等品
利润 23 8 5
（1）用表示一件产品的利润，求的分布列和数学期望；
（2）因第一工序加工结果为级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加万元（即每件产品利润相应减少万元）时，第一工序加工结果为级的概率增加．问该改良方案对一件产品利润的期望是否会产生影响？并说明理由．
23、高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．
（Ⅰ）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
（Ⅱ）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中．小明改进了高尔顿板（如图，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．
24、为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：
减排器等级及利润率如表，其中．
综合得分的范围 减排器等级 减排器利润率
一级品
二级品
三级品
（1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；
（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；
②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？
25、当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．成都2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：
每分钟跳绳个数 [155,165) [165,175) [175,185) [185，＋∞)
得分 17 18 19 20
(1)现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；
(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ，σ2 )，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差s2≈169(各组数据用中点值代替)．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
①预计全年级恰有2 000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数；(结果四舍五入到整数)
②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195以上的人数为ξ，求随机变量的分布列和期望．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2 )，则P(μ－σ21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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