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高中数学重难点突破
专题十一 正态分布
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
知识归纳
1．正态曲线
若φμ，σ(x)＝φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2．正态分布
如果对于任何实数a，b(a正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
3．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．3σ原则
(1)若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，P(μ－a(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率：
P(μ－σ(3)通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
典例分析
【例1】某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是( )
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
【例1】A [由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A.]
【变式1】设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
【变式1】A [根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.]
【例2】(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
【例2】(1)C [∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.]
(2)[解] 由题意得μ＝1，σ＝2，
所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 7.
又因为正态曲线关于x＝1对称，
所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝P(－1＜X＜3)≈0.341 4.
【变式2】设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；(2)求P(－4【变式2】[解] (1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X所以c＝2.
(2)P(－4【例3】在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
【例3】[解] 因为ξ～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 5，而该正态分布中， μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率为0.954 5.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 7，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率就是0.682 7.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 7≈1 365(人)．
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．如图是正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)(σ1，σ2，σ3>0)对应的曲线，则σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1>σ2>σ3
B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2
D．σ2>σ1>σ3
1、A [由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.]
2．若随机变量X～N(1,22)，则D等于( )
A．4 B．2 C. D．1
2、D [因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D＝D(X)＝1.]
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.447 B．0.628
C．0.954 D．0.977
3、C [∵随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，
∴正态曲线关于直线x＝0对称，又P(ξ>2)＝0.023，
∴P(ξ<－2)＝0.023.
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.]
4．随机变量ξ～N(2,10)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)的概率相等，则k等于( )
A．1 B．10
C．2 D．
4、C [∵区间(－∞，k)和(k，＋∞)关于x＝k对称，
所以x＝k为正态曲线的对称轴，
∴k＝2，故选C.]
课后作业（常考题型与解题技巧）
5．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%.)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
5、B [由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 7，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 5，
故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135 9＝13.59%.]
6．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
6、 [由于随机变量X～N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线x＝μ对称，故P(X≤μ)＝.]
7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为________．
7、0．8 [∵X～N(1，σ2)，且P(0＜X≤1)＝0.4，∴P(0＜X≤2)＝2P(0＜X≤1)＝0.8.]
8．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有_________个．
8、3 [因为P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3，所以不属于区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的零点个数约为1 000×(1－0.997 3)＝2.7≈3个．]
9．在一次测试中，测试结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：
(1)X在(0,4)内取值的概率；
(2)P(X>4)．
9、[解] (1)由X～N(2，σ2)，
对称轴x＝2，画出示意图，
因为P(0所以P(0(2)P(X>4)＝[1－P(010．生产工艺工程中产品的尺寸误差(单位：mm)X～N(0,1.52)，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品，求：
(1)X的密度函数；
(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率．
10、[解] (1)根据题意，知X～N(0,1.52)，即μ＝0，σ＝1.5，所以密度函数φ(x)＝eeq \s\up8(－).
(2)设Y表示5件产品中的合格品数，每件产品是合格品的概率为P(|X|≤1.5)＝P(－1.5≤X≤1.5)＝0.682 7，
而Y～B(5,0.682 7)，合格率不小于80%，即Y≥5×0.8＝4，
所以P(Y≥4)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝C×0.682 74×(1－0.682 7)＋0.682 75≈0.492 9.
提高训练题（思维与综合能力提升）
11．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
A．2 387 B．2 718
C．3 414 D．4 777
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σP(μ－2σ11、C [由P(－112．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间( )
A．(90,110]内 B．(95,125]内
C．(100,120]内 D．(105,115]内
12、C [＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．]
13．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
13、1 [由题意知区间(－3，－1)与(3,5)关于直线x＝μ对称，
因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.]
14．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝·eeq \s\up8()，x∈R的图象．给出以下四个命题：
①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；
②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；
④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
14、①②④ [如果随机变量X～N(108,100)，所以μ＝108，σ2＝100，即σ＝10，故③错，
故①正确，由正态分布密度函数性质以及概率的计算知②④正确，故填①②④.]
15．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ15、[解] (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7，依题意知X～B(100，0.682 7)，所以E(X)＝100×0.682 7＝68.27.
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专题十一 正态分布
知识归纳
1．正态曲线
若φμ，σ(x)＝φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2．正态分布
如果对于任何实数a，b(a正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
3．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．3σ原则
(1)若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，P(μ－a(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率：
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ(3)通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
典例分析
【例1】某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是( )
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
【变式1】设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
【例2】(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
【变式2】设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；(2)求P(－4【例3】在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．如图是正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)(σ1，σ2，σ3>0)对应的曲线，则σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1>σ2>σ3
B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2
D．σ2>σ1>σ3
2．若随机变量X～N(1,22)，则D等于( )
A．4 B．2 C. D．1
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.447 B．0.628
C．0.954 D．0.977
4．随机变量ξ～N(2,10)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)的概率相等，则k等于( )
A．1 B．10
C．2 D．
课后作业（常考题型与解题技巧）
5．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%.)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
6．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为________．
8．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有_________个．
9．在一次测试中，测试结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：
(1)X在(0,4)内取值的概率； (2)P(X>4)．
10．生产工艺工程中产品的尺寸误差(单位：mm)X～N(0,1.52)，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品，求：
(1)X的密度函数； (2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率．
提高训练题（思维与综合能力提升）
11．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
A．2 387 B．2 718
C．3 414 D．4 777
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σP(μ－2σ12．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间( )
A．(90,110]内 B．(95,125]内
C．(100,120]内 D．(105,115]内
13．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
14．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝·eeq \s\up8()，x∈R的图象．给出以下四个命题：
①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；
②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；
④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
15．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
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