广东省雷州市重点中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（含答案）

雷州市重点中学2023-2024学年高二上学期开学考试
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题7分，共56分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知分别为的边上的中线，设，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，边长，则边长（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．平行六面体
6．如图，在三棱锥中，平面，则图中直角三角形的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别为（ ）
A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6
7．100辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有（ ）
A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆
8．甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，破译出的概率分别为，，则此密码能被破译出的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题7分，共28分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得7分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．下列四个命题中，是真命题的是（ ）
A．若事件是互斥事件，则是对立事件
B．若事件是对立事件，则是互斥事件
C．若事件是必然事件，则
D．若事件是互斥事件，则
10．若，i为虚数单位，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．下图是某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法正确的是（ ）
A．该市14天空气质量指数的平均值大于100
B．该市14天空气质量指数的中位数为78.5
C．该市14天空气质量指数的30百分位数为55
D．计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大
12．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．两条异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于
C．点到面的距离为 D．三棱柱外接球半径为
三、填空题：本题共4小题，每小题7分，共28分。
13．某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为72，120，160，为了解该医院医生的出诊情况，按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人数为20，则抽取老年医生的人数为________．
14以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分）78，70，72，85，88，79，80，81，94，81，56，98，83，90，91．则这15人成绩的第80百分位数是________．
15．若平面，直线，直线，则点与的位置关系为________．
16．如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进2千米后到达处，又测得山顶的仰角为，则山的高度为________千米．
四、解答题：本题共3小题，共38分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知平面向量，
（1）求的值；
（2）若向量与夹角为，求实数的值．
18．（本小题满分12分）
某数学兴趣小组共有5名学生，其中有3名男生名女生，现从中随机抽取2名学生参加比赛．
（1）问共有多少个基本事件（列举说明）；
（2）求抽取的学生恰有一男生一女生的概率．
19．（本小题满分14分）
如图，该几何体是由圆柱和三棱锥组合而成的，四边形为轴截面，是圆的直径，平面．
（1）求证：垂直所确定的平面．
（2）求该几何体的表面积．
雷州市重点中学2023-2024学年高二上学期开学考试
数学试卷答案
一、单项选择题：1．B 2．B 3．C 4．B 5．A 6．D 7．B 8．C
二、多项选择题：9．BC 10．AD 11．BCD 12．BCD
三、填空题：13．9 14．90.5或 15． 16．2
四、解答题：
17．（1）因为，
所以，
所以；
（2）解：，
所以，
又向量与夹角为，
所以，
即，
即，解得或．
18．解析：（1）由题意得，
，共10个．
（2）记事件“抽取的学生恰有一男生一女生”为，
则包含基本事件，，共6个，因此．
19．解析：（1）四边形为轴截面，垂直上底面圆，即平面，
又平面，由过一点作平面的垂线有且只有一条，得三点共线．平面．
为圆的直径，，又平面，又平面．
（2）由（1）知，又，
该几何体的表面积．