北师大版五年级上册第三单元倍数与因数（知识点梳理+能力百分练）三（含解析）

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北师大五年级上册第三单元倍数与因数（知识点梳理+能力百分练）三
知识点梳理
1、倍数和因数是相互依存的，不能单独说一个数是倍数或是因数。
2、0是任何一个非0自然数的倍数，任何非0自然数都是0的因数。
3、像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，叫奇数。像2，4，6，8，…这样的数是2的倍数，叫偶数。
4、同时是2，3，5的倍数的数﹐个位一定是0，且各个数字之和是3的倍数。
5、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。求一个数的倍数时，依次用这个数乘自然数即可。
6、只有1和它本身两个因数的数叫质数，除了1和它本身以外还有别的因数的数叫合数。1既不是质数也不是合数。
能力百分练
一、选择题（共16分）
1．一个质数（ ）。
A．没有因数 B．只有一个因数
C．只有2个因数 D．有3个因数
2．小华行李箱上密码锁的密码是1□44，这个数是3的倍数，她忘记了密码中的一个数字，这个密码一共有（ ）种可能。
A．2 B．4 C．3 D．5
3．有48个橘子，按要求平均分成若干堆（48堆和1堆除外），共有（ ）分法。
A．8种 B．16种 C．6种 D．12种
4．a×b＝M（三个数均为非零自然数）下面说法正确的是（ ）。
A．M一定是合数 B．M不是质数就是合数 C．M是a和b的倍数 D．a和b是因数
5．一个长方形的长和宽都是质数并且周长是28米，这个长方形（不是正方形）的面积是（ ）平方米。
A．24 B．27 C．33 D．39
6．著名的“哥德巴赫清想”中说：“任何不小于4的偶数都可以表示成两个质数相加的形式。”下面的算式符合这个猜想的是（ ）。
A．4＝1＋3 B．5＝2＋3 C．8＝2＋6 D．10＝3＋7
7．五（2）班有48名同学排队，要求每行的人数相同（不需有1人一行或者1人一列），有（ ）种排法。
A．4 B．5 C．8 D．10
8．下面说法错误的是（ ）。
A．2既是偶数又是质数
B．6的倍数一定有因数2和3
C．根据非零自然数是否是2的倍数，可以分为奇数、偶数两类
D．根据非0自然数的因数个数，可以分为质数、合数两类
二、填空题（共16分）
9．五年级有48名同学报名参加植树活动，老师让他们自己分成人数相等的若干个小组，要求组数大于3，小于10，共有( )种分法。
10．用36个小正方形摆长方形，有( )种摆法。
11．乐乐家的门牌号既是3的倍数又是5的倍数，而且是与403相邻的奇数，乐乐家的门牌号是( )，至少加上( )可使它的因数有2。
12．把15表示成两个质数的和，可以是( )＋( )。
13．一个数既是7的倍数又是28的因数，这样的数有( )。
14．同时是2、3和5的倍数的最小两位自然数是( )。
15．一个数的最大因数是57，那么这个数的倍数中，最大的三位数是( )，最小的两位数是( )。
16．36÷1＝36，36÷2＝18，36÷3＝12，36÷4＝9，36÷6＝6，……36的全部因数：( )
三、判断题（共8分）
17．357至少减去2就是5的倍数。( )
18．找因数可以通过加减法进行寻找。( )
19．一个三位数24，它既是2的倍数又是3的倍数，里可以有2种填法。( )。
20．两个连续奇数的和是偶数，两个连续奇数的积一定是合数。( )
四、连线题（共6分）
21．（6分）连一连。
五、作图题（共6分）
22．（6分）请在下面的方格纸上画出面积是20cm2的长方形(图中每个小方格的面积是1cm2)，你有几种不同的画法？
六、解答题（共48分）
23．（6分）2021年9月和10月初，因遭遇连续降雨天气，致使兴平市秋收秋播难度加大，争分夺秒抢收抢种的形势严峻、任务繁重。国庆期间趁着天气晴朗，兴平市组织万名机关干部深入田间地头，帮助群众抢收抢种。某部门有36名干部去帮助群众抢收抢种，现在要把他们分成人数相等的若干小组，已知组数大于3但小于10，每组可能有多少人？
24．（6分）2021年是红军长征胜利85周年，学校举行了以“缅怀革命先烈，传承红色基因”为主题的文艺演出。李老师为文艺演出编排舞蹈队形，同学们每5人一组，还余3人。舞蹈队的人数在40－50之间，舞蹈队可能有多少人？
25．（6分）有48名同学参加植树活动，现在要把他们平均分成若干组，每组至少3人，最多不超过20人，可以怎样分？有多少种分法？
26．（6分）五（1）班有48名同学分成若干个学习小组，要求每组人数相同且至少有2人，有几种不同的分法？
27．（6分）幼儿园有一堆玩具，玩具的数量大于55个，小于70个。如果用小箱每箱装2个，正好装完；如果用大箱每箱装5个，也正好装完。这堆玩具有多少个？
28．（6分）一个三位数，百位上是最小的合数，十位上是最小的合数与最小的质数的商，个位上是最小的质数，写出这个三位数。
29．（6分）下面是五年级图书角收藏的图书数量。
图书 工具书 科技书 漫画书 童话书
本数 47 48 49 13
哪几种书可以平均分成本数相同的若干份（份数、本数均大于1）？哪几种书不可以？
30．（6分）一个长方形的面积是18cm，它的长和宽都是整数。这个长方形的周长最大是多少厘米？
参考答案
1．C
【分析】一个自然数，只有1和它本身的两个因数的数是质数，据此判断即可。
【详解】根据分析可知，一个质数，只有2个因数。
故答案为：C
【点睛】本题考查质数的意义，根据质数的意义进行解答。
2．B
【分析】根据3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；由此找出□内可能的数字。
【详解】□内如果是0；1＋0＋4＋4＝9；9能被3整数，是3的倍数，□内可能是0；
□内如果是1；1＋1＋4＋4＝10；10不能被3整除，不是3的倍数，□内不是1；
□内如果是2；1＋2＋4＋4＝11；11不能被3整除，不是3的倍数，□内不是2；
□内如果是3；1＋3＋4＋4＝12；12能被3整除，是3的倍数，□内可能是3；
□内如果是4；1＋4＋4＋4＝13；13不能被3整除，不是3的倍数，□内不是4；
□内如果是5；1＋5＋4＋4＝14；14不能被3整除，不是3的倍数，□内不是5；
□内如果是6；1＋6＋4＋4＝15；15能被3整除，是3的倍数，□内可能是6；
□内如果是7；1＋7＋4＋4＝16；16不能被3整除，不是3的倍数，□内不是7
□内如果是8；1＋8＋4＋4＝17；17不能被3整除，不是3的倍数，□内不是8；
□内如果是9；1＋9＋4＋4＝18；18能被3整除，是3 倍数，□内可能是9。
□内可能是0，3，6，9一共四种可能。
小华行李箱上密码锁的密码是1□44，这个数是3的倍数，她忘记了密码中的一个数字，这个密码一共有4种可能。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握3的倍数特征是解答本题的关键。
3．A
【分析】根据题意，要把48个橘子平均分成若干堆，平均分成的堆数应是48的因数（48和1除外），据此解答。
运用列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
【详解】48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，则48个橘子可以平均分成2堆、3堆、4堆、6堆、8堆、12堆、16堆或24堆，共有8种分法。
故答案为：A
【点睛】本题考查因数的应用。明确“平均分成的堆数是48的因数”并找出48的因数是解题的关键。
4．C
【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；一个大于1的自然数，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；根据因数和倍数的意义：当a÷b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说a是b的倍数，b是a的因数，因数和倍数的概念互相依存，不能单独存在，据此对每个选项进行分析即可。
【详解】A．a×b＝M，若a＝1，b＝2，则a×b＝2，2不是合数，是质数，则M不一定是合数，所以该说法不正确。
B．a×b＝M（三个数均为非零自然数），只说三个数均为非零，却没有要求三个数必须不相等，若a＝1，b＝1，则a×b＝1，1既不是质数也不是合数，所以说法不正确。
C．a×b＝M可以转化成M÷a＝b，也可以转换成M÷b＝a，所以M是a和b的倍数；
D．a×b＝M可以转化成M÷a＝b，也可以转换成M÷b＝a，所以a和b是M的因数，不能只说a和b是因数，所以说法不正确。
故答案为：C
【点睛】本题考查了合数、质数、因数和倍数的概念，根据它们的意义进行解答即可。
5．C
【分析】根据长方形周长公式：C＝（a＋b）×2，变式为a＋b＝C÷2，求出长方形一条长和一条宽的和，在自然数中，质数是除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数，通过对长与宽和的分析，找出都是质数的情况，再根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，代入数据求出长方形的面积即可。
【详解】由分析可得：
一条长和一条宽的和：28÷2＝14（米）
14＝1＋13＝2＋12＝3＋11＝4＋10＝5＋9＝6＋8＝7＋7，
其中，质数组合有3＋11和7＋7，由于不是正方形，所以长和宽不能都是7米，则7＋7这种情况排除，
所以该长方形长为11米，宽为3米，
面积为：11×3＝33（平方米）
故答案为：C
【点睛】本题主要考查了长方形的周长和面积公式，以及质数的定义和数字分合情况的讨论，需要学生熟练掌握。
6．D
【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数；一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；据此判断即可。
【详解】由分析得：
A．1不是质数，不合题意；
B．5不是偶数，不合题意；
C．6不是质数，不合题意；
D．10是偶数，3和7是质数，符合题意。
故答案为：D
【点睛】主题考查了质数、偶数的意义，结合题意分析解答即可。
7．C
【分析】把48名同学平均分成若干行，那么行数和每行的人数相乘的积是48，根据找因数的方法，可以一对一的找，有多少个因数就有多少种排法，再结合题目进行分析即可。
【详解】由分析可得：
48＝1×48，即每行1人，排48行，不符合题意；或者每行48人，排1行，不符合题意。
48＝2×24，即每行2人，排24行；或每行24人，排2行；
48＝3×16，即每行3人，排16行；或每行16人，排3行；
48＝4×12，即每行4人，排12行；或每行12人，排4行；
48＝6×8，即每行6人，排8行；或每排8人，排6行。
所以共8种排法。
故答案为：C
【点睛】本题考查了找一个数因数的方法，解答此题的关键是把48分解因数，再对分解出来的因数结合题目进行分析，看是否需要排除。
8．D
【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；
一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；
在非零自然数中，根据是否是2的倍数可以分为奇数和偶数；根据因数的个数可以分为1、质数和合数；据此解答。
【详解】由分析得：
A．2是偶数又是质数，原题说法正确；
B．6＝2×3，2和3是6的因数，所以6的倍数一定有因数2和3，原题说法正确；
C．根据非零自然数是否是2的倍数，可以分为奇数、偶数两类，原题说法正确；
D．根据非0自然数的因数个数，可以分为1、质数、合数三类，原题说法错误。
故答案为：D
【点睛】此题主要考查质数、合数、奇数、偶数的定义，要熟练掌握。
9．3/三
【分析】分析题目，分成人数相等的若干小组（组数大于3，小于10），需要找出48的因数中大于3小于10的因数，据此解答。
【详解】48大于3小于10的因数有：4、6、8，所以可以成分4组，每组12人；可以分成6组，每组8人；可以分成8组，每组6人；一共有3种分法。
【点睛】掌握找一个数的因数的方法是解答本题的关键。
10．5
【分析】根据36的因数，可知36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6；用36个相同的小正方形拼成不同的长方形，它的长和宽应该是（36，1）、（18，2）、（12，3）、（9，4）（6，6）一共有5种不同的长方形，据此解答。
【详解】根据分析可知，用36个小正方形摆长方形，有5种摆法。
【点睛】本题考查利用因数的分解解决实际问题的灵活运用。
11． 405 1
【分析】个位是1、3、5、7、9的数都是奇数，与403相邻的奇数有两个，分别是401和405，即是3的倍数又是5的倍数，数的末尾是0或5，并且各数位数字相加之和是3的倍数。2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数。
【详解】（1）4＋0＋5＝9
9÷3＝3
乐乐家的门牌号是405；
（2）405＋1＝406
至少加上1可使它的因数有2。
【点睛】此题主要考查学生对2、3、5的倍数特征的理解与实际灵活应用。
12． 2 13
【分析】自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数为质数，由此写出两个和是15的质数。
【详解】2＋13＝15
把15表示成两个质数的和，可以是2＋13。
【点睛】熟练掌握质数的意义是解答本题的关键。
13．7、14、28
【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；据此求出28以内7的倍数的数；求出28的因数，即可解答。
【详解】28以内7的有7，14，21，28；
28的因数有：1，2，4，7，14，28
一个数既是7的倍数又是28的因数，这样的数有7，14，28。
【点睛】熟练掌握求一个是因数和求一个数倍数的方法是解答本题的关键。
14．30
【分析】2的倍数特点：个位上是0、2、4、6、8，5的倍数特点：个位上是0或5，3的倍数特点：各个数位上数字之和是3的倍数，根据2、3、5的倍数特征可知，同时是2、3、5的倍数，个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数，据此解答即可。
【详解】同时是2、3和5的倍数的最小两位自然数是30。
【点睛】本题主要考查2、3、5的倍数特征，注意个位是0的数同时是2和5的倍数，3的倍数特征是：各个数位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
15． 969 57
【分析】因为一个数最大的因数就是它本身，所以这个数是57，找倍数的方法：用乘法，先估算57乘20接近最大的三位数，然后再调整，57×20＝1140，57×19＝1083，57×18＝1026，57×17＝969，那么这个数的倍数中，最大的三位数是969，一个数最小的倍数就是它本身，所以57最小的倍数就是57，满足题意。
【详解】由分析可知：
一个数的最大因数是57，那么这个数的倍数中，最大的三位数是969，最小的两位数是57。
【点睛】本题考查找倍数的方法，用乘法，注意：一个数最大的因数和最小的倍数都是它本身。
16．1，2、3，4，6，9，12，18，36。
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；由此解答即可。
【详解】36÷1＝36；1和36是36的因数；
36÷2＝18；2和18是36的因数；
36÷3＝12；3和12是36的因数；
36÷4＝9；4和9是36的因数；
36÷6＝6；6是36的因数。
36的因数有：1，2、3，4，6，9，12，18，36。
36÷1＝36，36÷2＝18，36÷3＝12，36÷4＝9，36÷6＝6，……36的全部因数：1，2、3，4，6，9，12，18，36。
【点睛】解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可。
17．√
【分析】个位是0或5的数是5的倍数，据此解答。
【详解】357至少减去2就是5的倍数。
故答案为：√
【点睛】掌握5的倍数的特征是解答本题的关键。
18．×
【分析】找一个因数的方法：把一个因数写出两个整数相乘的形式，这两个整数就是这个数的因数，根据此方法即可找出这个数的所有因数。
【详解】由分析可知：
找因数是通过乘法进行寻找，原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查找因数的方法，学会找因数的方法并灵活运用。
19．√
【分析】根据2的倍数特征：末尾的0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数，由于这个数既是2的倍数又是3的倍数，当□里填0时，2＋4＋0＝6，符合题意；当□里填2时，2＋4＋2＝8；不是3的倍数；当□里填4时，2＋4＋4＝10，不是3的倍数；当□里填6时，2＋4＋6＝12，是2和3的倍数；当□里填8时，2＋4＋8＝14，不是3的倍数，由此即可判断。
【详解】由分析可知：
一个三位数24，它既是2的倍数又是3的倍数，里可以填0或6，所以有2种填法；原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查2和3的倍数特征，熟练掌握它们的特征并灵活运用。
20．×
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1和3是连续奇数，但1×3＝3，3是质数，据此判断即可。
【详解】如：1和3是连续奇数
1＋3＝4
1×3＝3
3是质数
因此两个数的和是偶数，两个连续奇数的积一定是合数的说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题考查的目的是理解掌握奇数、偶数、合数的意义．
21．见详解
【分析】5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数；找8的倍数可以用这些数除以8，能整除则是8的倍数；据此解答。
【详解】连线如下：
【点睛】本题主要考查倍数的特征，数量较少时可以逐个验证。
22．
【解析】略
23．9人、6人、4人
【分析】根据题意可知，分成人数相等的若干小组，（组数大于3但小于10），只要求出36的因数中大于3小于10的因数，即可解答。
【详解】36的因数大于3，小于10的有：4、6、9。
可以分成4组、6组、9组
分4组：36÷4＝9（人）
分6组：36÷6＝6（人）
分9组：36÷9＝4（人）
每组的人数可能有9人、6人、4人。
答：每组可能有9人、6人、4人。
【点睛】本题考查求一个数因数的方法的解决实际问题的灵活应用。
24．43或48人。
【分析】求舞蹈队可能有多少人，也就是求40－50之间比5的倍数多3的数，先求出40－50之间5的倍数，加上3即可，根据5的倍数特征：个位上的数字是0和5的数是5的倍数，据此判断。
【详解】由分析可得：
40－50之间个位上的数字是0和5的数有：40、45和50。
40＋3＝43（人）
45＋3＝48（人）
50＋3＝53（人），53不在40－50之间，所以排除。
答：舞蹈队可能有43或48人。
【点睛】本题考查了5的倍数特征，明确要求的问题即40－50之间的比5的倍数多3的数，是解答此题的关键。
25．见详解。6种分法。
【分析】因为是平均分成若干组，故每组人数相同，所以48能被每组人数整除，也就是找48的因数，即1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，舍去小于3，大于20的部分，即可解答。
【详解】48＝1×48
48＝2×24
48＝3×16
48＝4×12
48＝6×8
因为每组人数至少3人，最多不超20人，所以可以分成3人的16组，4人的12组，6人的8组，16人的3组，12人的4组，8人的6组，共6种分法。
答：可以分成3人的16组，4人的12组，6人的8组，16人的3组，12人的4组，8人的6组，共6种分法。
【点睛】此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的方法的灵活应用。
26．8种
【分析】先找出48的所有因数，因为要求每组人数相同且至少有2人，所以排除1和48这两个因数。将剩下的因数看作组数，用总数除以组数即可。
【详解】由分析可得：
48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，
要求每组人数相同且至少有2人，排除1和48，剩下的因数为：2、3、4、6、8、12、16、24；
48÷2＝24（人）
48÷3＝16（人）
48÷4＝12（人）
48÷6＝8（人）
48÷8＝6（人）
48÷12＝4（人）
48÷16＝3（人）
48÷24＝2（人）
每个小组的人数有24人、16人、12人、8人、6人、4人、3人、2人，一共有8种不同的分法。
答：有8种不同的分法。
【点睛】本题考查了因数的应用，明确一个数找因数的方法是解题的关键。
27．60个
【分析】根据2的倍数特征：个位上是0、2、4，6，8的数都是2的倍数；5的倍数特征：个位上的数是0或5的数，是5的倍数，既是2的倍数又是5的倍数，个位上的数是0；据此解答。
【详解】如果用小箱每箱装2个，正好装完；如果用大箱每箱装5个，也正好装完，所以玩具的数量既是2的倍数，也是5的倍数；玩具的个数的个位数字是0，又因为玩具的数量大于55个，小于70个，55和70之间满足个位数字是0的只有60，因此这堆玩具有60个。
答：这堆玩具有60个。
【点睛】熟练掌握2、5的倍数特征是解答本题的关键。
28．422
【分析】一个数，除了1和它本身，还有其他因数的数，叫做合数，最小的合数是4；一个数，只要1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2，据此解答。
【详解】最小的合数是4，百位上的数是4；
4÷2＝2；十位上的数是2；
最小的质数是2，个位上的数是2。
这个数是422。
答：这个三位数是422。
【点睛】熟练掌握质数和合数的意义是解答本题的关键。
29．科技书和漫画书可以；工具书和童话书不可以
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除以1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；由此可知，图书的本数是合数，可以平均分成本数相同的若干份；图书的本数是质数，就不可以平均分成本数相同的若干份，据此解答。
【详解】科技书的本数48本和漫画书的本数49本，48和49都是合数；
48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48；
可以平均分成2份，每份24本；
可以平均分成3份，每份16本；
可以平均分成4份，每份12本；
可以平均分成6份，每份8本；
可以平均分成8份，每份6本；
可以平均分成12份，每份4本；
可以平均分成16份，每份3本；
可以平均分成24份；每份2本。
49的因数有1，7，49；可以7份；每份7本。
工具书47本，童话书13本；
47和13是质数，不能平均分成本数相同的若干份。
答：科技书和漫画书可以平均分成本数相同的若干份，工具书和童话书不可以。
【点睛】熟练掌握质数的意义和合数的意义是解答本题的关键。
30．38厘米
【分析】长方形的面积＝长×宽，又因为它的长和宽都是整数，所以用乘法找18的因数，18＝1×18＝2×9＝3×6，所以当长方形的长为18厘米时，宽为1厘米，长为9厘米时，宽为2厘米，长为6厘米时，宽为3厘米，长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此可求出各个长方形的周长，再作比较，取周长最大的即可。
【详解】由分析可知：
18＝1×18＝2×9＝3×6
所以当长方形的长为18厘米时，宽为1厘米，长为9厘米时，宽为2厘米，长为6厘米时，宽为3厘米；
①当长方形的长为18厘米，宽为1厘米时，此时周长为：（18＋1）×2
＝19×2
＝38（厘米）
②当长方形的长为9厘米，宽为2厘米时，此时周长为：（9＋2）×2
＝11×2
＝22（厘米）
③当长方形的长为6厘米，宽为3厘米时，此时周长为：（6＋3）×2
＝9×2
＝18（厘米）
38＞22＞18，所以长方形周长最大为38厘米；
答：长方形周长最大是38厘米。
【点睛】本题考查找因数的应用，学生需熟练掌握找因数的方法。
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