北师大版五年级上册第三单元倍数与因数（知识点梳理+能力百分练）一（含解析）

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北师大五年级上册第三单元倍数与因数（知识点梳理+能力百分练）一
知识点梳理
1、倍数和因数是相互依存的，不能单独说一个数是倍数或是因数。
2、0是任何一个非0自然数的倍数，任何非0自然数都是0的因数。
3、像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，叫奇数。像2，4，6，8，…这样的数是2的倍数，叫偶数。
4、同时是2，3，5的倍数的数﹐个位一定是0，且各个数字之和是3的倍数。
5、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。求一个数的倍数时，依次用这个数乘自然数即可。
6、只有1和它本身两个因数的数叫质数，除了1和它本身以外还有别的因数的数叫合数。1既不是质数也不是合数。
能力百分练
一、选择题（共16分）
1．小华行李箱上密码锁的密码是1□44，这个数是3的倍数，她忘记了密码中的一个数字，这个密码一共有（ ）种可能。
A．2 B．4 C．3 D．5
2．下列各数中，（ ）是4的倍数。
A．2 B．6 C．30 D．52
3．下列说法不正确的是（ ）。
A．奇数与偶数的积是偶数 B．91是7的倍数，7是91的因数
C．个位上是0、3、6、9的数都是3的倍数 D．偶数与偶数的和还是偶数
4．（ ）既不是质数也不是合数。
A．0 B．1 C．2 D．3
5．中所有质数的和是（ ）。
A．15 B．17 C．24 D．25
6．小华行李箱上密码锁的密码是1□44，这个数是3的倍数，她忘记了密码中的一个数字，这个密码一共有（ ）种可能。
A．2 B．4 C．3 D．5
7．一个长方形的周长是14，它的长和宽都是整米数，且都是质数，这个长方形的面积是（ ）平方米。
A．6 B．8 C．10 D．12
8．我们发现一些数有一个有趣的特点，一个数所有因数（除了它本身）的和等于它本身。比如6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的数叫做完全数（也叫完美数）。那么下面的数中也有这样的特点是（ ）。
A．12 B．28 C．32 D．15
二、填空题（共16分）
9．两个质数的和是15，这两个质数分别是( )和( )。
10．把24个球装在盒子里（所有的球不能同时装在1个盒子里），每个盒子装得同样多，有( )种装法，最少需要( )个盒子。
11．已知21□5能被3整除，□里最小填( )。
12．n是一个自然数，它满足以下所有条件：n＞6，n＜21，n是4的倍数，n能被3整除。n是( )。
13．按要求写数：一个两位数是5的倍数，个位和十位上的数字相同，这个两位数是( )；既有因数2，又有因数3，同时是5的倍数的最大两位数是( )。
14．杨老师家电话号码是一个七位数，已知信息如下：
第一位：10以内最大的质数 第二位：最小的合数
第三位：既不是质数，也不是合数 第四位：5的最小倍数
第五位：全部因数是1、3、9的数 第六位：最小的自然数
第七位：最小的质数
杨老师家的电话号码是：( ) 。
15．哥德巴赫猜想提出，所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。比如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，…请你仿照填写：20＝( )。
16．在1－9中，质数有( )个，既是合数又是奇数的数是( )。
三、判断题（共8分）
17．12的所有因数中，有3个质数。( )
18．在1－10中，合数有4、6、8、9、10，其余的数为质数。( )
19．个位上是3的数，一定不是5的倍数。( )
20．一个偶数减去一个奇数，所得的差一定是奇数。( )
四、计算题（共6分）
21．把下面各数写成质数相乘的形式。
81 48 121 91
五、解答题（共54分）
22．一个六位数，个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，万位上的数既是质数又是偶数，十万位上的数是一位数中最大的自然数，其余数位上的数是0，这个六位数是多少？
23．五（1）班50多名学生参加跳绳比赛，进行分组，按每组7人，恰好分完，五（1）班参加跳绳比赛的学生分了多少组？
24．有114个苹果，如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？
25．五（1）班有32名同学参加广播操比赛，要使每行人数都相等，可以排几行？共有几种排法？（每行或每列不少于2人）
26．五位数2□35□，既是3的倍数，又是2倍数，同时又有因数5，在所有可能性中，最小的数是多少？最大的数是多少？
27．把24个球装在盒子里，每个盒子装的同样多，（至少装两个盒子），每盒装几个？需要几个盒子？用表格记录你所有装法。
每盒装的个数
需要的盒子数
28．洋洋到蛋糕店买面包，甜甜圈2元一个，奶油面包3元一个，三明治10元一个，她买了一些甜甜圈和三明治，付给营业员50元，找回了11元，你能不计算，很快帮洋洋判断找回的钱数对吗，为什么？
29．学校买来68盆鲜花，要摆成如图三种图案中的一种，选择哪种图案，鲜花能正好摆完，没有剩余？为什么？
30．小明到爷爷办的养牛场去玩。小明问：“爷爷，这里有多少头奶牛呢？"爷爷说：“这群奶牛，4头4头地数，多3头；6头6头地数，多5头；15头15头地数，多14头。而且这群奶牛的数量在150~200 头之间。你计算一下，这群奶牛有多少头？”
参考答案
1．B
【分析】根据3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；由此找出□内可能的数字。
【详解】□内如果是0；1＋0＋4＋4＝9；9能被3整数，是3的倍数，□内可能是0；
□内如果是1；1＋1＋4＋4＝10；10不能被3整除，不是3的倍数，□内不是1；
□内如果是2；1＋2＋4＋4＝11；11不能被3整除，不是3的倍数，□内不是2；
□内如果是3；1＋3＋4＋4＝12；12能被3整除，是3的倍数，□内可能是3；
□内如果是4；1＋4＋4＋4＝13；13不能被3整除，不是3的倍数，□内不是4；
□内如果是5；1＋5＋4＋4＝14；14不能被3整除，不是3的倍数，□内不是5；
□内如果是6；1＋6＋4＋4＝15；15能被3整除，是3的倍数，□内可能是6；
□内如果是7；1＋7＋4＋4＝16；16不能被3整除，不是3的倍数，□内不是7
□内如果是8；1＋8＋4＋4＝17；17不能被3整除，不是3的倍数，□内不是8；
□内如果是9；1＋9＋4＋4＝18；18能被3整除，是3 倍数，□内可能是9。
□内可能是0，3，6，9一共四种可能。
小华行李箱上密码锁的密码是1□44，这个数是3的倍数，她忘记了密码中的一个数字，这个密码一共有4种可能。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握3的倍数特征是解答本题的关键。
2．D
【分析】能被4整除的数就是4的倍数，据此解答。
【详解】A．2÷4＝0.5，2不能被4整除，2不是4的倍数，不符合题意；
B．6÷4＝1.5，6不能被4整除，6不是4的倍数，不符合题意；
C．30÷4＝7.5，30不能被4整除，30不是4的倍数，不符合题意；
D．52÷4＝13，52能被4整除，52是4的倍数，符合题意。
下列各数中52是4的倍数。
故答案为：D
【点睛】熟练掌握求一个数的倍数方法是解答本题的关键。
3．C
【分析】根据奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数；奇数×偶数＝偶数，A选项据此判断；
根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整数（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数，B选项据此解答。
根据3的倍数特征进行判断，C选项据此解答；
根据奇数＋偶数＝奇数；奇数＋奇数＝偶数；偶数＋偶数＝偶数，D选项据此解答。
【详解】A．奇数×偶数＝偶数，奇数与偶数的积是偶数，原题干说法正确；不符合题意；
B．91是7的倍数，7是91的因数，原题干说法正确，不符合题意；
C．各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数，原题干说法错误；符合题意；
D．偶数＋偶数＝偶数，偶数与偶数的和还是偶数，原题干说法正确，不符合题意。
下列说法不正确的是个位上是0、3、6、9的数都是3的倍数。
故答案为：C
【点睛】熟练掌握运算性质（奇数和偶数）、3的倍数特征、因数与倍数的关系进行解答。
4．B
【分析】根据质数与合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；由此解答。
【详解】根据质数与合数的意义，1的因数只有1，所以1既不是质数也不是合数。
故答案为：A
【点睛】此题考查的目的是理解质数与合数的意义．明确：质数只有1和它本身两个因数，合数至少有3个因数。
5．B
【分析】找出1－10中所有质数，再把它们相加即可。据此解答。
【详解】中所有质数有：2、3、5、7。
2＋3＋5＋7＝17
故答案为：B
【点睛】掌握质数的概念，找出1－10中所有的质数再相加是解答的关键。
6．B
【分析】根据3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；由此找出□内可能的数字。
【详解】□内如果是0；1＋0＋4＋4＝9；9能被3整数，是3的倍数，□内可能是0；
□内如果是1；1＋1＋4＋4＝10；10不能被3整除，不是3的倍数，□内不是1；
□内如果是2；1＋2＋4＋4＝11；11不能被3整除，不是3的倍数，□内不是2；
□内如果是3；1＋3＋4＋4＝12；12能被3整除，是3的倍数，□内可能是3；
□内如果是4；1＋4＋4＋4＝13；13不能被3整除，不是3的倍数，□内不是4；
□内如果是5；1＋5＋4＋4＝14；14不能被3整除，不是3的倍数，□内不是5；
□内如果是6；1＋6＋4＋4＝15；15能被3整除，是3的倍数，□内可能是6；
□内如果是7；1＋7＋4＋4＝16；16不能被3整除，不是3的倍数，□内不是7
□内如果是8；1＋8＋4＋4＝17；17不能被3整除，不是3的倍数，□内不是8；
□内如果是9；1＋9＋4＋4＝18；18能被3整除，是3 倍数，□内可能是9。
□内可能是0，3，6，9一共四种可能。
小华行李箱上密码锁的密码是1□44，这个数是3的倍数，她忘记了密码中的一个数字，这个密码一共有4种可能。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握3的倍数特征是解答本题的关键。
7．C
【分析】因长和宽均是质数，所以先求出一条长与宽的和是多少，再根据两个数的和来确定长和宽是多少，然后根据“长方形面积＝长×宽”进行计算即可。
【详解】14÷2＝7（米）
因为5＋2＝7，并且满足长和宽的米数是两个质数，所以它的长和宽分别是5和3。
5×2＝10（平方米）
所以这个长方形的面积是10平方米。
故答案为：C
【点睛】本题的重点是求出这个长方形的长和宽是多少，再根据长方形的面积公式进行解答。
8．B
【分析】由题意可知，分别找出各选项的所有因数，除了这个数本身，其它所有因数之和等于这个数本身，那么这样的数就是完全数，据此判断。
【详解】A．12的因数：1、2、3、4、6、12，1＋2＋3＋4＋6＝16，错误
B．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，正确；
C．32的因数：1、2、4、8、16、32，1＋2＋4＋8＋16＝31，错误；
D．15的因数：1、3、5、15，1＋3＋5＝9，错误。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查学生对完全数的理解，掌握完全数的意义是解答题目的关键。
9． 2 13
【分析】自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数为质数，由此写出两个和是15的质数。
【详解】15＝2＋13
两个质数的和是15，这两个质数分别是2和13。
【点睛】熟练掌握质数的意义是解答本题的关键。
10． 7 2
【分析】先找出24的所有因数，根据哪两个因数相乘是24，再根据这两个因数来确定每盒装几个，装几盒，注意所有的球不能同时装在1个盒子里。
【详解】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；装法有：
24＝1×24，一盒24个，装1盒（排除）；或每盒装1个，装24盒；
24＝2×12，一盒装12个，装2盒；或每盒装2个，装12盒；
24＝3×8，一盒装8个，装3盒；或每盒装3个，装8盒；
24＝4×6，一盒装6个，装4盒；或每盒装4个，装6盒
所以有7种装法，最少需要2个盒子。
【点睛】此题主要考查求一个数的因数的方法，关键根据题意找出符合条件的数。
11．1
【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就能被3整除，据此解答。
【详解】□填0；2＋1＋0＋5＝8；8不能被3整除，□内最小不能填0；
□内填1；2＋1＋1＋5＝9；9能被3整除，□内最小填1。
已知21□5能被3整除，□里最小填1。
【点睛】熟练掌握3的倍数特征是解答本题的关键。
12．12
【分析】根据题意可知，n同时是3和4的倍数，并且6＜n＜21；据此列出21以内是3、4的倍数的数，并找出符合要求的数即可。
【详解】21以内3的倍数有：3、6、9、12、15、18、21；
21以内4的倍数有：4、8、12、16、20；
又：6＜n＜21；
所以，n是一个自然数，它满足以下所有条件：n＞6，n＜21，n是4的倍数，n能被3整除，n是12。
【点睛】熟练掌握3、4的倍数特征，是解答此题的关键。
13． 55 990
【分析】根据5的倍数的特征，个位上是0或5的数都是5的倍数。个位和十位上的数字相同，这个两位数是55；最大的三位数是999，能同时被2.3.5整除的数个位上一定是0，又要符合能被3整除的特征，所以是990；据此解答。
【详解】一个两位数是5的倍数，个位和十位上的数字相同，这个两位数是55；既有因数2，又有因数3，同时是5的倍数的最大两位数是990。
【点睛】此题考查的目的是掌握2、3、5的倍数的特征。
14．7415902
【分析】一个自然数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；若整数能够被b整除，叫做b的倍数，b就叫做的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【详解】第一位：10以内最大的质数是7；
第二位：最小的合数是4；
第三位：既不是质数，也不是合数是1；
第四位：5的最小倍数是5；
第五位：全部因数是1，3，9的数是9；
第六位：最小的自然数是0；
第七位：最小的质数是2；
所以杨老师家的电话号码是：7415902。
【点睛】本题考查了质数、合数、倍数、自然数、因数等数的知识，结合题意分析解答即可。
15．3＋17
【分析】在自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其它的因数，这样的数叫做合数；能被2整除的数是偶数；不能被2整除的数是奇数；据此解答。
【详解】由分析得：
20＝3＋17（答案不唯一）
【点睛】掌握质数和偶数的意义是解答本题的关键。
16． 4 9
【分析】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数；自然数中，不能被2整除的数为奇数；据此分析解答。
【详解】在1－9中，质数有：2、3、5、7，共4个；
合数有：4、6、8、9，奇数有：1、3、5、7、9，其中既是合数又是奇数的数是9；
所以：在1－9中，质数有4个，既是合数又是奇数的数是9。
【点睛】此题主要考查对质数、合数、奇数概念的掌握情况。
17．×
【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。根据求一个数的因数的方法求出12的因数；再根据质数的意义，一个自然数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。据此解答即可。
【详解】12的因数有1、2、3、4、6、12。
在这些因数中质数有2和3两个。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×
【点睛】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法及应用，质数的意义及应用。
18．×
【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数就是质数；一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数就是合数，1既不是质数也不是合数，据此解答。
【详解】在1－10中，合数有：4、6、8、9、10；质数有：2、3、5、7；1既不是质数也不是合数。
故答案为：×。
【点睛】本题考查质数和合数的意义，需要明确：1既不是质数也不是合数。
19．√
【分析】根据5的倍数特征：个位上的数字是0或者5的数，是5的倍数，据此判断。
【详解】根据分析可知，个位上是3的数，一定不是5的倍数。
原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查5的倍数特征，根据5的倍数特征进行解答。
20．√
【分析】根据偶数与奇数的性质可知：偶数－奇数＝奇数；由此即可判断。
【详解】由分析可知：一个偶数减去一个奇数，所得的差一定是奇数；
故答案为：√
【点睛】此题主要根据偶数与奇数的性质解决问题，偶数与偶数的和或差是偶数，偶数与奇数的和或差是奇数，奇数与奇数的和或差是偶数。
21．见详解
【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，一般先从较小的质数试着分解。
【详解】81＝3×3×3×3；
48＝2×2×2×2×3；
121＝11×11；
91＝13×7
22．这个六位数是920042
【分析】根据题意，逐一判断出每个数位上的数字各是多少，然后求出这个六位数是多少即可。
【详解】因为个位上是最小的质数
所以个位上是2
因为十位上是最小的合数
所以十位上是4
因为万位上的数既是质数又是偶数
所以万位上是2
因为十万位上的数是一位数中最大的自然数
所以十万位上是9
所以这个六位数是920042。
答：这个六位数是920042。
【点睛】（1）此题主要考查了整数的读法和写法，要熟练掌握，解答此题的关键是逐一判断出每个数位上的数字各是多少；
（2）此题还考查了奇数、偶数的特征，以及质数和合数的特征，要熟练掌握。
23．8组
【分析】根据题意，50多一些且是7的倍数，根据求一个数的倍数的方法，求出50多一些7的倍数的数，即可解答。
【详解】7的倍数有7，14，21，28，35，42，49，56，63，……，
符合条件的是有56，五（1）班有56名学生。
56÷7＝8（组）
答：五（1）班参加跳绳比赛的学生分了8组。
【点睛】熟练掌握求一个是倍数的方法是解答本题的关键。
24．见详解
【分析】能被5整除的数的特征：个位上是0或5的数；能被3整除的数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；再根据能被3、5整除的数的特征进行判断能否正好装完。
【详解】因为114的末尾是4，所以114不是5的倍数，所以如果每5个装一袋不能正好装完；因为1＋1＋4＝6是3的倍数，所以114是3的倍数，所以每3个装一袋能正好装完。
【点睛】此题考查能被3、5整除的数的特征及其运用。
25．2行、4行、8行、16行；4种
【分析】把32名同学平均分成若干行，那么行数和每行的人数相乘的积是32，根据找因数的方法，可以一对一的找，有多少个因数就有多少种排法，再结合题目进行分析即可。
【详解】由分析可得：
32＝1×32，即每行1人，排32行，不符合题意；或者每行32人，排1行，不符合题意。
32＝2×16，即每行2人，排16行；或每行16人，排2行；
32＝4×8，即每行4人，排8行；或每行8人，排4行；
答：可以排2行、4行、8行、16行。共有4种排法。
【点睛】本题考查了找一个数因数的方法，解答此题的关键是把32分解因数，再对分解出来的因数结合题目进行分析，看是否需要排除。
26．22350；28350
【分析】2的倍数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8；5的倍数的特征：个位上的数是0，5；3的倍数的特征：所有数位上的数字之和是3的倍数；据此可知：同时是2，3，5的倍数的数的特征：个位上的数字是0，所有数位上的数字之和是3的倍数。
【详解】根据分析可得：
个位上的□里面的数字是“0”，千位上的数字是2或5或8；
22350＜25350＜28350
答：五位数2□35□，既是3的倍数，又是2倍数，同时又有因数5，在所有可能性中，最小的数是22350，最大的数是28350。
【点睛】本题主要考查2、3、5的倍数特征，注意牢固掌握2、3、5的倍数特征，灵活运用。
27．见详解
【分析】先找出24的所有因数，再根据哪两个因数相乘是24，再根据这两个因数来确定每盒装几个，装几盒，即可解答。
【详解】因为24的因数有：1、2、3、4、6、、12、24，所以符合要求的装法有：
每盒装的个数 2 3 4 12 8 6 1
需要的盒子数 12 8 6 2 3 4 24
【点睛】此题主要考查求一个数的因数的方法，关键根据题意找出符合条件的数。
28．不对；理由见详解
【分析】根据偶数的倍数是偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，进行分析。
【详解】找得不对；理由：偶数的倍数是偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数。因为2和10都是偶数，所以无论买了几个甜甜圈和三明治，所花的钱数都是偶数，所以找回的钱数也是偶数，11是奇数，所以找得不对。
【点睛】关键是掌握奇数和偶数的运算性质。
29．选择第二种图案；见详解
【分析】根据题意，如果把68盆鲜花正好摆完，没有剩余，那么每份的盆数一定是68的因数。
先根据求一个数的因数的方法，写出68所有的因数，三种摆法的盆数是68的因数的，就能正好摆完，没有剩余。
【详解】68的因数有：1，2，4，17，34，68；
第一种图案是3盆，3不是68的因数，这样摆有剩余，不符合题意；
第二种图案是4盆，4是68的因数，这样摆没有剩余，符合题意；
第三种图案是5盆，5不是68的因数，这样摆有剩余，不符合题意。
答：选择第二种图案，因为4是68的因数，这样鲜花能正好摆完，没有剩余。
【点睛】本题考查求一个数的因数的方法解决实际问题。
30．179头
【分析】根据题意可知，奶牛的数量是比15的倍数多14，奶牛的数量在150~200 头之间，据此先找出符合的数；然后判断这些数是否符合比4的倍数多3，且是否符合比6的倍数多5；据此解答。
【详解】比15的倍数多14，且在150~200之间的数有：
15×10＋14
＝150＋14
＝164
15×11＋14
＝165＋14
＝179
15×12＋14
＝180＋14
＝194
164÷4＝41
164不符合题意；
179÷4＝44……3
179÷6＝29……5
179符合题意；
194÷4＝48……2
194不符合题意。
答：这群奶牛有179头。
【点睛】本题可从“比15的倍数多14”推导出符合另外两种情况的数。
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