苏教版六年级上册第一单元长方体和正方体 高频综合易错汇编三（含解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版六年级上册第一单元长方体和正方体 高频综合易错汇编三（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 465.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-22 06:24:35 | ||
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文档简介
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苏教版六年级上册第一单元长方体和正方体（知识点梳理+能力百分练）三
知识点梳理
1、在长方体或正方体中，围成长方体或正方体的平面图形，叫作长方体或正方体的面；面和面相交的线段，叫作棱；棱和棱相交的点，叫作顶点。
2、①相同点:都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
②不同点:长方体的6个面都是长方形（也可能有2个相对的面是正方形）;一般情况下，棱有3组，每组4条棱长度相等。正方体的6个面是完全相同的正方形;每条棱的长度都相等。
3、物体所占空间的大小，是物体的体积。容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。
4、常见的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，分别记作厘米3、分米3和米3 。
5、常见的容积单位：毫升和升，分别用字母mL和L表示。
1升=1分米3(1 L=1 dm3)
1毫升=1厘米3(1 ml=1 cm3)
1升= 1000毫升(1 L= 1000 mL)
6、长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4。已知长方体的棱长总和及长、宽、高三项中的两项，求另外一项，用“棱长总和+4-已知的两项”。
7、正方体的棱长总和=棱长×12。已知正方体的棱长总和，求棱长，用“棱长总和÷12”。
8、正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的组合图形，并且相对的面完全隔开。长方体的展开图是由6个长方形(特殊情况下有2个正方形)组成的组合图形，相对的面完全相同且完全隔开。
9、由长方体或正方体的展开图判断哪两个面是一组相对的面，可以根据长方体或正方体展开图的特点去判断，也可以用实物折--折，直观地找一找。
10、长方体6个面的面积之和就是长方体的表面积。
11、长方体表面积的计算方法：
长方体的表面积=长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=(长×宽+长×高+宽×高)×2
12、正方体的表面积=棱长×棱长×6
13、在解决有关长方体或正方体表面积的实际问题时，要根据实际情况确定需要计算的面的数量，有时不需要计算6个面的面积和。
14、长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。正方体的体积=棱长×棱长×
棱长，用字母表示为V=a3。长方体(正方体)的体积还可以用底面积×高来计算，如果体积用V表示，底面积用S表示，高用h表示，那么长方体(正方体)通用的体积计算公式用字母表示为V=Sh。
15、已知长方体的底面积、高、体积三个量中的任意两个量，可以求得第三个量。V= Sh；S=；h=
16、相邻体积单位或容积单位之间的进率是1000。体积单位、容积单位之间的换算，把高级单位化成低级单位要乘进率，把低级单位化成高级单位要除以进率。
17、在测量不规则物体的体积时，升高的那部分水的体积(或水满杯时溢出的水的体积)就相当于不规则物体的体积。
能力百分练
一、选择题（共16分）
1．把一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体，切成两个相等的长方体，它们的表面积之和比原来最多增加（ ）平方厘米。
A．480 B．160 C．96 D．80
2．下面这个立体图形的平面展开图可能是（ ）。
A． B． C． D．
3．小冬做测量“不规则物体体积”的实验，他先将一个石块放入棱长10厘米的正方体容器中，然后在容器中注满水，石块完全浸没，接着将石块取出，他发现容器里的水面下降了1.5厘米。这个石块的体积大约是（ ）立方厘米。
A．150 B．3 C．23 D．无法计算
4．一个长10米，宽8米，高5米的水池，里面水深2米。现在再往水池里注水80立方米，此时水位线离池口（ ）米。
A．1 B．2 C．3 D．4
5．把棱长2分米的正方体纸盒放在一个长8分米、宽5分米、高6分米的长方体箱内，最多可以放（ ）个。
A．30 B．24 C．15 D．12
6．一个长方体照下图沿虚线切三刀，切成若干个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来大长方体的表面积增加了90平方厘米。原来长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．30 B．90 C．180 D．270
7．把两个长、宽、高分别是5厘米、3厘米、4厘米的小长方体拼成一个大长方体，拼成的大长方体表面积最小是（ ）平方厘米。
A．98 B．148 C．164
8．下图，一个无水观赏鱼缸中放有一块高为4分米，体积为6立方分米的假石山，如果以每分钟5升的速度向缸内注水，那么至少需要（ ）分钟才能将石山完全淹没。
A．13.2 B．14.4 C．16.8 D．18
二、填空题（共16分）
9．在括号里填上合适的单位。
一个粉笔盒的体积约是800( )；汽车的油箱大约能盛汽油50( )。
10．在长6米，宽5米，高2米的长方体水池中，放入48立方米的水，这时水深( )米。
11．下图是一个长方体礼品盒，把长方体礼品盒沿虚线捆扎，至少需要( )厘米长的彩带。
12．将6个棱长为1厘米的小正方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是( )平方厘米，表面积最小是( )平方厘米。
13．工厂需要加工3个横截面是正方形的通风管（如图所示），则一共需要( )平方米的铁皮。
14．用铁丝焊接成一个长12厘米、宽10厘米、高5厘米的长方体的框架，至少需要铁丝( )厘米。如果将这根铁丝改围成正方体框架，这个正方体的表面积是( )平方厘米。
15．一个长方体，体积是200立方分米，若将它沿横截面方向截5段，表面积增加160平方分米，这个长方体的长是( )分米。
16．下图阴影部分是一个长方体的表面展开图，如果每个小正方形的边长1厘米，则这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
三、判断题（共8分）
17．将一个长方体分割成两个小的长方体，其体积不变。( )
18．把长方体的高增长到原来的两倍，长缩短为原来的一半，长方体体积不变。( )
19．两个表面积都是18平方厘米的小正方体，拼成一个长方体，长方体的表面积是36平方厘米。( )
20．长方体的长扩大到原来的5倍，宽缩小到原来的五分之一，高不变，体积变小。( )
四、计算体（共6分）
21．（6分）计算图形的表面积和体积。
五、作图题（共6分）
22．（6分）下面是一个长方体展开图的3个面，请画出它其余的3个面，并标明上面、后面和右面。
六、解答题（共48分）
23．（6分）把一张正方形铁皮沿虚线折（如图），围成一个无盖长方体水箱的侧面。这个水箱共需铁皮多少平方分米？做成的水箱能存多少升水？
24．（6分）有一个长方体玻璃缸，长3分米，宽2分米。完全浸入一块不规则的石头后水深1.5分米，捞出这块石头后，水面下降了0.5分米。这块石头的体积是多少？
25．（6分）一个正方体，锯成两个完全一样的长方体后，表面积增加了32平方米，原来正方体的表面积是多少平方厘米？
26．（6分）用丝带捆扎一个长、宽、高的长方体礼品盒（如图），礼品盒的体积是多少？
27．（6分）有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆一道，竖着捆两道（如图），打结处共用2分米。一共要用绳子多少分米？
28．（6分）如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的表面积和体积分别是多少？
29．（6分）在一个长40厘米、宽20厘米、高25厘米、水深18厘米的长方体水槽内浸没着一个马铃薯，将马铃薯取出后，水深17.2厘米。这个马铃薯的体积是多少立方厘米？水槽内水与水槽接触的面积减少了多少平方厘米？
30．（6分）一个密封的长方体容器如图，长4分米、宽1分米、高2分米，里面水深16厘米。如果以这个容器的左侧面为底放在桌上。
（1）这时水深多少分米？
（2）此时，水与容器接触的面积是多少平方分米？
参考答案
1．B
【分析】将长方体切成两个，如果切面的长和宽是最大值，那么表面积增加的是最多的，由此可知，长10cm，宽8cm，增加的是2个面的面积，用10×8×2即可解答。
【详解】10×8×2
＝80×2
＝160（平方厘米）
故答案为：B
【点睛】此题主要考查学生对长方体表面积的理解与认识。
2．C
【分析】由图即可看出有涂色的两个面相邻。根据正方体展开图的11种特征，四个选项都属于正方体展开图，折成正方体后，选项A、B、D涂色面相对，不合题意；选项C其中有涂色的两面相邻，符合题意。
【详解】如图，根据正方体展开图的特征，折成正方体后，选项A、B、D涂色面相对，不合题意；选项C其中涂色的两个面相邻，符合题意。
故答案选：C
【点睛】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题。
3．A
【分析】下降了1.5厘米的水的体积就是石块的体积。用10×10＝100平方厘米，得到底面积，再用100×1.5即是石块的体积。据此解答。
【详解】10×10×1.5
＝100×1.5
＝150（立方厘米）
故答案为：A
【点睛】理解石块的体积就是下降1.5厘米的水的体积，再用议长方体体积公式进行计算是解答本题的关键。
4．B
【分析】根据长方体体积公式＝长×宽×高，则高＝体积÷长÷宽，求出将80立方米水注入长10米，宽8米的水池时的水深，用水池的高度减再次注入水后的高度，即为此时水位线离池口得到高度。
【详解】5－（80÷10÷8＋2）
＝5－3
＝2（米）
故答案为：B
【点睛】解答本题的关键是求出注水80立方米水时水池的水深。
5．B
【分析】以长8分米为边，最多可以放：8÷2＝4个；以宽5分米为边，最多可以放5÷2＝2（个）……1（分米）；以高6分米为边最多可以放6÷2＝3个，由此再利用长方体的体积公式即可计算最多可以放的总个数。
【详解】8÷2＝4（个）
5÷2＝2（个）……1（分米）
6÷2＝3（个）
4×2×3
＝8×3
＝24（个）
故答案为：B。
【点睛】解答此题关键是先分别求出长方体箱子的长宽高处最多能放几个小正方体，再利用长方体的体积公式求出小正方体的总个数。
6．B
【分析】根据题意可知，长方体沿虚线切三刀之后，增加了6个面，包括上、下、左、右、前、后面各一个，正好是原来大长方体的表面积，所以增加的面积就是原来大长方体的表面积，据此选择。
【详解】因为表面积增加了90平方厘米，所以原来长方体的表面积是90平方厘米。
故选择：B
【点睛】此题考查了立体图形的切拼，明确切开后表面积增加的包含哪些面是解题关键。
7．B
【分析】将最大的两个面拼起来，得到的大长方体表面积最小，据此求出两个小长方体表面积和，减去最大的一个面的面积×2即可。
【详解】（5×3＋5×4＋3×4）×2×2－5×4×2
＝（15＋20＋12）×4－40
＝47×4－40
＝188－40
＝148（平方米）
故答案为：B
【点睛】关键是掌握长方体表面积公式，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
8．A
【分析】当注入的水的体积与假山石的体积之和等于鱼缸4分米高所容纳物体的体积时，刚好把假山石完全淹没；鱼缸4分米高所容纳物体的体积－假山石体积＝注入水的体积；注入水的体积÷每分钟5升的流水量＝需要的时间。
【详解】（6×3×4－6）÷5
＝（72－6）÷5
＝66÷5
＝13.2（分）
故答案为：A
【点睛】鱼缸4分米高所容纳物体的体积－假山石体积＝注入水的体积，据此计算出需要注入水的体积是解答本题的关键。
9． 立方厘米 升
【分析】根据体积单位和数据大小的认识，以及生活经验，进行解答。
【详解】一个粉笔盒的体积约是800立方厘米
汽车的油箱大约能盛汽油50升
【点睛】本题考查选择合适的计量单位，要结合实际进行解答。
10．1.6
【分析】根据长方体的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，把数据代入公式解答。
【详解】48÷（6×5）
＝48÷30
＝1.6（米）
【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活应用，关键是牢记公式。
11．38
【分析】根据长方体的特征，它的12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等，根据题意，长方体的长是6厘米，宽是5厘米，高是4厘米，彩带的长度就是长×2＋宽×2＋高×4，代入数据，即可解答。
【详解】6×2＋5×2＋4×4
＝12＋10＋16
＝22＋16
＝38（厘米）
【点睛】根据考查长方体棱长的应用，根据长方体特征进行解答。
12． 26 22
【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，第一种将六个正方体并排放，此时长为6厘米，宽为1厘米，高为1厘米，根据公式列式为：（6×1＋6×1＋1×1）×2解答；第二种将六个正方体的三个放上面，三个放下面，此时长为3厘米，宽为1厘米，高为2厘米，根据公式列式为：（3×1＋3×2＋1×2）×2解答即可。
【详解】（1）将六个正方体并排放，此时长方体长为6厘米，宽为1厘米，高为1厘米；
（6×1＋6×1＋1×1）×2
＝13×2
＝26（平方厘米）
（2）将六个正方体的三个放上面，三个放下面，此时长方体长为3厘米，宽为1厘米，高为2厘米；
（3×1＋3×2＋1×2）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
26＞22
第一种表面积最大，第二种表面积最小。
【点睛】解答此题的关键是掌握长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
13．12
【分析】通风管的横截面的边长是5dm的正方形，即这个通风管的宽和高都是5dm，通风管只有四个面，根据题意，四个面都相等，根据长方形面积公式：长×宽，求出一个面的面积再乘4，求出这个通风管的表面积，要加工3个，再乘3，就是一共需要多少平方米的铁皮。
【详解】5dm＝0.5m
0.5×2×4×3
＝1×4×3
＝4×3
＝12（平方米）
【点睛】本题考查长方体的表面积的应用，关键明确通风管就是长方体的侧面积；注意单位名数的统一。
14． 108 486
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，把数据代入公式即可求出这根铁丝的长度，再根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等，因此，用这根铁丝的长度除以12求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，把数据代入公式解答。
【详解】（12＋10＋5）×4
＝27×4
＝108（厘米）
108÷12＝9（厘米）
9×9×6
＝81×6
＝486（平方厘米）
【点睛】本题主要考查长方体正方体的棱长总和公式以及正方体的表面积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
15．10
【分析】根据题意可知，截5段，表面积增加了（5－1）×2个底面，用160除以增加的底面个数即可求出底面的大小，用体积除以底面积即可求出长方体的长。
【详解】160÷[（5－1）×2]
＝160÷8
＝20（平方分米）；
200÷20＝10（分米）
【点睛】明确截完之后表面积增加了几个底面是解答本题的关键，进而求出底面的大小，再进一步解答。
16． 22 6
【分析】观察图形可知，这个长方体的长是3cm，宽是2cm，高是1cm，根据长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；长方体体积公式：长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】长是3cm；宽是2cm，高是1cm。
表面积：（3×2＋3×1＋2×1）×2
＝（6＋3＋2）×2
＝（9＋2）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
体积：3×2×1
＝6×1
＝6（立方厘米）
【点睛】本题考查长方体展开图的特征，根据展开图确定长方形的长、宽和高；长方体表面积公式、体积公式的应用。
17．√
【分析】将一个长方体分成两个小长方体后，这个长方体的体积＝小长方体体积之和；所以长方体的体积没有发生改变；据此解答。
【详解】将一个长方体分成两个小长方体后，这个长方体的体积＝两个小长方体体积之和；体积是不变的；所以原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查了图形的切拼，关键是要理解立体图形经过切割后体积不变，表面积变大了。
18．×
【分析】由长方体的体积公式V＝abh可知：长方体的体积由长方体的长、宽、高三个要素决定其大小。长和高的数据变化知道了，但高的数据变化不知道，也就不能判断体积的变化。据此解答。
【详解】把长方体的高增长到原来的两倍，长缩短为原来的一半，新的长方体的长乘高等于原长方体的长乘高，但宽的数据变化不知道，故体积的大小不能确定。
故原题说法错误。
【点睛】掌握长方体的体积计算公式是解答本题的关键。
19．×
【分析】两个正方体拼成一个长方体，有两个面挨在一起了，长方体的表面积需要减去小正方形体的两个挨在一起表面的面积，即可解答。
【详解】18×2－（18÷6）×2
＝36－3×2
＝36－6
＝30（平方厘米）
两个表面积都是18平方厘米的小正方体，拼成一个长方体，长方体表面积是30平方厘米，拼成长方体的表面积是36平方厘米是错的。
故答案为：×
【点睛】本题考查小正方体拼成长方体后的表面积的变化，关键是拼成长方体后的表面积减少了。
20．×
【分析】分别表示出长方体原来的体积和变化后的体积，比较即可。
【详解】根据长方体的体积V1＝abh，如果长扩大到原来的5倍，宽缩小到原来的五分之一，高不变，那么长方体的体积V2＝5a× bh＝abh，由此可知长方体的体积不变。原题说法错误。
故答案为：×。
【点睛】此题主要考查了长方体体积的变化。掌握长方体的体积公式是解题关键。
21．长方体表面积：52平方厘米；长方体体积为：24立方厘米；正方体表面积为：54平方分米；正方体体积为：27立方分米
【分析】长方体表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方体体积＝长×宽×高；正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求解。
【详解】长方体表面积：
（4×2＋4×3＋3×2）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）
长方体体积：
4×3×2
＝12×2
＝24（立方厘米）
正方体表面积：
3×3×6
＝9×6
＝54（平方分米）
正方体体积：
3×3×3
＝9×3
＝27（立方分米）
【点睛】掌握长方体的体积和表面积公式以及正方体的体积和表面积公式是解决本题的关键。
22．见详解
【分析】长方体有六个面，相对的两个面形状相同面积相等，根据长方体“1—4—1”型的展开图“中间4个一连串，两边各一随便放”画出其它3个面，先画出同一行的长方形，中间隔一个长方形的是相对面，在下面的右边画出右面，右面的右边画出上面，最后在下面的上边画出后面，据此作图。
【详解】（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查长方体的展开图，掌握长方体的特征和常见的长方体展开图类型是解答题目的关键。
23．17平方分米；4升
【分析】根据题干分析可得：围成的长方体水箱的底面是一个边长为1分米的正方形，所以底面的面积是1×1＝1平方分米，再加上正方形铁皮的面积就是需要铁皮的面积；底面积乘水箱的高4分米，即可得出水箱的容积；据此解答。
【详解】4×4＋（4÷4）×（4÷4）
＝16＋1
＝17（平方分米）
（4÷4）×（4÷4）×4
＝1×1×4
＝4（立方分米）
4立方分米＝4升
答：这个水箱共需铁皮17平方分米，做成的水箱能存4升水。
【点睛】明确长方体水箱的下底面是边长为（4÷4）分米的正方形是解答本题的关键。
24．3立方分米
【分析】不规则石头的体积即下降的水的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，即可列式解答。
【详解】3×2×0.5
＝6×0.5
＝3（立方分米）
答：这块石头的体积是3立方分米。
【点睛】解答本题的关键是理解石头的体积即下降水的体积。
25．96平方厘米
【分析】正方体锯成两个长方体，表面积多了两个正方形的面积。用除法求出一个正方形的面积，再根据“正方体表面积＝正方形面积×6”计算即可。
【详解】32÷2×6
＝16×6
＝96（平方厘米）
答：原来正方体的表面积是96平方厘米。
【点睛】本题考查的是正方形表面积的计算，明确：正方体锯成两个长方体，表面积多了两个正方形的面积，是解答此题的关键。
26．4000立方厘米
【分析】已知一个长方体礼盒的长25厘米、宽20厘米、高8厘米，要求这个礼盒的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据进行解答即可。
【详解】25×20×8
＝500×8
＝4000（立方厘米）
答：礼品盒的体积是4000立方厘米。
【点睛】本题主要是利用长方体的体积公式进行解答，熟记长方体的体积公式是解答此题的关键。
27．42分米
【分析】通过观察图形可知，捆扎这个纸箱需要绳子的长度等于这个长方体的2条长＋4条宽＋6条高＋打结用的2分米。据此解答。
【详解】5×2＋3×4＋3×6＋2
＝10＋12＋18＋2
＝42（分米）
答：一共要用绳子42分米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式及应用。
28．表面积：101平方厘米；体积：90立方厘米
【分析】根据长方体的展开图的特点，可以得出：这个长方体容器的长为13－2×2＝9（厘米），宽为9－2×2＝5（厘米），高为2厘米，再根据长方体5个面的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入公式即可求解。
【详解】这个容器的长：13－2×2
＝13－4
＝9（厘米）
容器的宽：9－2×2
＝9－4
＝5（厘米）
表面积：9×5＋（9×2＋5×2）×2
＝45＋（18＋10）×2
＝45＋28×2
＝45＋56
＝101（平方厘米）
体积：9×5×2
＝45×2
＝90（立方厘米）
答：这个容器的表面积是101平方厘米，体积是90立方厘米。
【点睛】根据长方体的展开图的特点，得出这个容器的长、宽、高是解决本题的关键。
29．640立方厘米；96平方厘米
【分析】马铃薯的体积＝水槽的底面积×水面下降的高度；减少的接触面积＝（长×水面下降高度＋宽×水面下降高度）×2，据此代入数据解答即可。
【详解】18－17.2＝0.8（厘米）
40×20×0.8
＝800×0.8
＝640（立方厘米）
（40×0.8＋20×0.8）×2
＝（32＋16）×2
＝48×2
＝96（平方厘米）
答：这个马铃薯的体积是640立方厘米，水槽内水与水槽接触的面积减少了96平方厘米。
【点睛】此题考查了不规则物体的体积计算以及长方体表面积的综合应用，明确减少的面积包括哪些面是解题关键。
30．（1）3.2分米
（2）21.2平方分米
【分析】（1）根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体容器内水的体积，由于容器内水的体积不变，把容器的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高度；
（2）水与容器的接触面的面积就是长2分米，宽1分米，高为此时水深的长方体5个面的面积，缺少上面，根据长方体的表面积解答即可。
【详解】16厘米＝1.6分米
（1）4×1×1.6＝6.4（立方分米）
6.4÷（2×1）
＝6.4÷2
＝3.2（分米）
答：这时水深3.2分米。
（2）2×1＋2×3.2×2＋1×3.2×2
＝2＋12.8＋6.4
＝21.2（平方分米）
答：水与容器的接触面的面积是21.2平方分米。
【点睛】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以长方体容器的底面积（左面那个面的面积），就是水面的高度。
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苏教版六年级上册第一单元长方体和正方体（知识点梳理+能力百分练）三
知识点梳理
1、在长方体或正方体中，围成长方体或正方体的平面图形，叫作长方体或正方体的面；面和面相交的线段，叫作棱；棱和棱相交的点，叫作顶点。
2、①相同点:都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
②不同点:长方体的6个面都是长方形（也可能有2个相对的面是正方形）;一般情况下，棱有3组，每组4条棱长度相等。正方体的6个面是完全相同的正方形;每条棱的长度都相等。
3、物体所占空间的大小，是物体的体积。容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。
4、常见的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，分别记作厘米3、分米3和米3 。
5、常见的容积单位：毫升和升，分别用字母mL和L表示。
1升=1分米3(1 L=1 dm3)
1毫升=1厘米3(1 ml=1 cm3)
1升= 1000毫升(1 L= 1000 mL)
6、长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4。已知长方体的棱长总和及长、宽、高三项中的两项，求另外一项，用“棱长总和+4-已知的两项”。
7、正方体的棱长总和=棱长×12。已知正方体的棱长总和，求棱长，用“棱长总和÷12”。
8、正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的组合图形，并且相对的面完全隔开。长方体的展开图是由6个长方形(特殊情况下有2个正方形)组成的组合图形，相对的面完全相同且完全隔开。
9、由长方体或正方体的展开图判断哪两个面是一组相对的面，可以根据长方体或正方体展开图的特点去判断，也可以用实物折--折，直观地找一找。
10、长方体6个面的面积之和就是长方体的表面积。
11、长方体表面积的计算方法：
长方体的表面积=长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=(长×宽+长×高+宽×高)×2
12、正方体的表面积=棱长×棱长×6
13、在解决有关长方体或正方体表面积的实际问题时，要根据实际情况确定需要计算的面的数量，有时不需要计算6个面的面积和。
14、长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。正方体的体积=棱长×棱长×
棱长，用字母表示为V=a3。长方体(正方体)的体积还可以用底面积×高来计算，如果体积用V表示，底面积用S表示，高用h表示，那么长方体(正方体)通用的体积计算公式用字母表示为V=Sh。
15、已知长方体的底面积、高、体积三个量中的任意两个量，可以求得第三个量。V= Sh；S=；h=
16、相邻体积单位或容积单位之间的进率是1000。体积单位、容积单位之间的换算，把高级单位化成低级单位要乘进率，把低级单位化成高级单位要除以进率。
17、在测量不规则物体的体积时，升高的那部分水的体积(或水满杯时溢出的水的体积)就相当于不规则物体的体积。
能力百分练
一、选择题（共16分）
1．把一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体，切成两个相等的长方体，它们的表面积之和比原来最多增加（ ）平方厘米。
A．480 B．160 C．96 D．80
2．下面这个立体图形的平面展开图可能是（ ）。
A． B． C． D．
3．小冬做测量“不规则物体体积”的实验，他先将一个石块放入棱长10厘米的正方体容器中，然后在容器中注满水，石块完全浸没，接着将石块取出，他发现容器里的水面下降了1.5厘米。这个石块的体积大约是（ ）立方厘米。
A．150 B．3 C．23 D．无法计算
4．一个长10米，宽8米，高5米的水池，里面水深2米。现在再往水池里注水80立方米，此时水位线离池口（ ）米。
A．1 B．2 C．3 D．4
5．把棱长2分米的正方体纸盒放在一个长8分米、宽5分米、高6分米的长方体箱内，最多可以放（ ）个。
A．30 B．24 C．15 D．12
6．一个长方体照下图沿虚线切三刀，切成若干个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来大长方体的表面积增加了90平方厘米。原来长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．30 B．90 C．180 D．270
7．把两个长、宽、高分别是5厘米、3厘米、4厘米的小长方体拼成一个大长方体，拼成的大长方体表面积最小是（ ）平方厘米。
A．98 B．148 C．164
8．下图，一个无水观赏鱼缸中放有一块高为4分米，体积为6立方分米的假石山，如果以每分钟5升的速度向缸内注水，那么至少需要（ ）分钟才能将石山完全淹没。
A．13.2 B．14.4 C．16.8 D．18
二、填空题（共16分）
9．在括号里填上合适的单位。
一个粉笔盒的体积约是800( )；汽车的油箱大约能盛汽油50( )。
10．在长6米，宽5米，高2米的长方体水池中，放入48立方米的水，这时水深( )米。
11．下图是一个长方体礼品盒，把长方体礼品盒沿虚线捆扎，至少需要( )厘米长的彩带。
12．将6个棱长为1厘米的小正方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是( )平方厘米，表面积最小是( )平方厘米。
13．工厂需要加工3个横截面是正方形的通风管（如图所示），则一共需要( )平方米的铁皮。
14．用铁丝焊接成一个长12厘米、宽10厘米、高5厘米的长方体的框架，至少需要铁丝( )厘米。如果将这根铁丝改围成正方体框架，这个正方体的表面积是( )平方厘米。
15．一个长方体，体积是200立方分米，若将它沿横截面方向截5段，表面积增加160平方分米，这个长方体的长是( )分米。
16．下图阴影部分是一个长方体的表面展开图，如果每个小正方形的边长1厘米，则这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
三、判断题（共8分）
17．将一个长方体分割成两个小的长方体，其体积不变。( )
18．把长方体的高增长到原来的两倍，长缩短为原来的一半，长方体体积不变。( )
19．两个表面积都是18平方厘米的小正方体，拼成一个长方体，长方体的表面积是36平方厘米。( )
20．长方体的长扩大到原来的5倍，宽缩小到原来的五分之一，高不变，体积变小。( )
四、计算体（共6分）
21．（6分）计算图形的表面积和体积。
五、作图题（共6分）
22．（6分）下面是一个长方体展开图的3个面，请画出它其余的3个面，并标明上面、后面和右面。
六、解答题（共48分）
23．（6分）把一张正方形铁皮沿虚线折（如图），围成一个无盖长方体水箱的侧面。这个水箱共需铁皮多少平方分米？做成的水箱能存多少升水？
24．（6分）有一个长方体玻璃缸，长3分米，宽2分米。完全浸入一块不规则的石头后水深1.5分米，捞出这块石头后，水面下降了0.5分米。这块石头的体积是多少？
25．（6分）一个正方体，锯成两个完全一样的长方体后，表面积增加了32平方米，原来正方体的表面积是多少平方厘米？
26．（6分）用丝带捆扎一个长、宽、高的长方体礼品盒（如图），礼品盒的体积是多少？
27．（6分）有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆一道，竖着捆两道（如图），打结处共用2分米。一共要用绳子多少分米？
28．（6分）如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的表面积和体积分别是多少？
29．（6分）在一个长40厘米、宽20厘米、高25厘米、水深18厘米的长方体水槽内浸没着一个马铃薯，将马铃薯取出后，水深17.2厘米。这个马铃薯的体积是多少立方厘米？水槽内水与水槽接触的面积减少了多少平方厘米？
30．（6分）一个密封的长方体容器如图，长4分米、宽1分米、高2分米，里面水深16厘米。如果以这个容器的左侧面为底放在桌上。
（1）这时水深多少分米？
（2）此时，水与容器接触的面积是多少平方分米？
参考答案
1．B
【分析】将长方体切成两个，如果切面的长和宽是最大值，那么表面积增加的是最多的，由此可知，长10cm，宽8cm，增加的是2个面的面积，用10×8×2即可解答。
【详解】10×8×2
＝80×2
＝160（平方厘米）
故答案为：B
【点睛】此题主要考查学生对长方体表面积的理解与认识。
2．C
【分析】由图即可看出有涂色的两个面相邻。根据正方体展开图的11种特征，四个选项都属于正方体展开图，折成正方体后，选项A、B、D涂色面相对，不合题意；选项C其中有涂色的两面相邻，符合题意。
【详解】如图，根据正方体展开图的特征，折成正方体后，选项A、B、D涂色面相对，不合题意；选项C其中涂色的两个面相邻，符合题意。
故答案选：C
【点睛】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题。
3．A
【分析】下降了1.5厘米的水的体积就是石块的体积。用10×10＝100平方厘米，得到底面积，再用100×1.5即是石块的体积。据此解答。
【详解】10×10×1.5
＝100×1.5
＝150（立方厘米）
故答案为：A
【点睛】理解石块的体积就是下降1.5厘米的水的体积，再用议长方体体积公式进行计算是解答本题的关键。
4．B
【分析】根据长方体体积公式＝长×宽×高，则高＝体积÷长÷宽，求出将80立方米水注入长10米，宽8米的水池时的水深，用水池的高度减再次注入水后的高度，即为此时水位线离池口得到高度。
【详解】5－（80÷10÷8＋2）
＝5－3
＝2（米）
故答案为：B
【点睛】解答本题的关键是求出注水80立方米水时水池的水深。
5．B
【分析】以长8分米为边，最多可以放：8÷2＝4个；以宽5分米为边，最多可以放5÷2＝2（个）……1（分米）；以高6分米为边最多可以放6÷2＝3个，由此再利用长方体的体积公式即可计算最多可以放的总个数。
【详解】8÷2＝4（个）
5÷2＝2（个）……1（分米）
6÷2＝3（个）
4×2×3
＝8×3
＝24（个）
故答案为：B。
【点睛】解答此题关键是先分别求出长方体箱子的长宽高处最多能放几个小正方体，再利用长方体的体积公式求出小正方体的总个数。
6．B
【分析】根据题意可知，长方体沿虚线切三刀之后，增加了6个面，包括上、下、左、右、前、后面各一个，正好是原来大长方体的表面积，所以增加的面积就是原来大长方体的表面积，据此选择。
【详解】因为表面积增加了90平方厘米，所以原来长方体的表面积是90平方厘米。
故选择：B
【点睛】此题考查了立体图形的切拼，明确切开后表面积增加的包含哪些面是解题关键。
7．B
【分析】将最大的两个面拼起来，得到的大长方体表面积最小，据此求出两个小长方体表面积和，减去最大的一个面的面积×2即可。
【详解】（5×3＋5×4＋3×4）×2×2－5×4×2
＝（15＋20＋12）×4－40
＝47×4－40
＝188－40
＝148（平方米）
故答案为：B
【点睛】关键是掌握长方体表面积公式，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
8．A
【分析】当注入的水的体积与假山石的体积之和等于鱼缸4分米高所容纳物体的体积时，刚好把假山石完全淹没；鱼缸4分米高所容纳物体的体积－假山石体积＝注入水的体积；注入水的体积÷每分钟5升的流水量＝需要的时间。
【详解】（6×3×4－6）÷5
＝（72－6）÷5
＝66÷5
＝13.2（分）
故答案为：A
【点睛】鱼缸4分米高所容纳物体的体积－假山石体积＝注入水的体积，据此计算出需要注入水的体积是解答本题的关键。
9． 立方厘米 升
【分析】根据体积单位和数据大小的认识，以及生活经验，进行解答。
【详解】一个粉笔盒的体积约是800立方厘米
汽车的油箱大约能盛汽油50升
【点睛】本题考查选择合适的计量单位，要结合实际进行解答。
10．1.6
【分析】根据长方体的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，把数据代入公式解答。
【详解】48÷（6×5）
＝48÷30
＝1.6（米）
【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活应用，关键是牢记公式。
11．38
【分析】根据长方体的特征，它的12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等，根据题意，长方体的长是6厘米，宽是5厘米，高是4厘米，彩带的长度就是长×2＋宽×2＋高×4，代入数据，即可解答。
【详解】6×2＋5×2＋4×4
＝12＋10＋16
＝22＋16
＝38（厘米）
【点睛】根据考查长方体棱长的应用，根据长方体特征进行解答。
12． 26 22
【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，第一种将六个正方体并排放，此时长为6厘米，宽为1厘米，高为1厘米，根据公式列式为：（6×1＋6×1＋1×1）×2解答；第二种将六个正方体的三个放上面，三个放下面，此时长为3厘米，宽为1厘米，高为2厘米，根据公式列式为：（3×1＋3×2＋1×2）×2解答即可。
【详解】（1）将六个正方体并排放，此时长方体长为6厘米，宽为1厘米，高为1厘米；
（6×1＋6×1＋1×1）×2
＝13×2
＝26（平方厘米）
（2）将六个正方体的三个放上面，三个放下面，此时长方体长为3厘米，宽为1厘米，高为2厘米；
（3×1＋3×2＋1×2）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
26＞22
第一种表面积最大，第二种表面积最小。
【点睛】解答此题的关键是掌握长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
13．12
【分析】通风管的横截面的边长是5dm的正方形，即这个通风管的宽和高都是5dm，通风管只有四个面，根据题意，四个面都相等，根据长方形面积公式：长×宽，求出一个面的面积再乘4，求出这个通风管的表面积，要加工3个，再乘3，就是一共需要多少平方米的铁皮。
【详解】5dm＝0.5m
0.5×2×4×3
＝1×4×3
＝4×3
＝12（平方米）
【点睛】本题考查长方体的表面积的应用，关键明确通风管就是长方体的侧面积；注意单位名数的统一。
14． 108 486
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，把数据代入公式即可求出这根铁丝的长度，再根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等，因此，用这根铁丝的长度除以12求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，把数据代入公式解答。
【详解】（12＋10＋5）×4
＝27×4
＝108（厘米）
108÷12＝9（厘米）
9×9×6
＝81×6
＝486（平方厘米）
【点睛】本题主要考查长方体正方体的棱长总和公式以及正方体的表面积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
15．10
【分析】根据题意可知，截5段，表面积增加了（5－1）×2个底面，用160除以增加的底面个数即可求出底面的大小，用体积除以底面积即可求出长方体的长。
【详解】160÷[（5－1）×2]
＝160÷8
＝20（平方分米）；
200÷20＝10（分米）
【点睛】明确截完之后表面积增加了几个底面是解答本题的关键，进而求出底面的大小，再进一步解答。
16． 22 6
【分析】观察图形可知，这个长方体的长是3cm，宽是2cm，高是1cm，根据长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；长方体体积公式：长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】长是3cm；宽是2cm，高是1cm。
表面积：（3×2＋3×1＋2×1）×2
＝（6＋3＋2）×2
＝（9＋2）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
体积：3×2×1
＝6×1
＝6（立方厘米）
【点睛】本题考查长方体展开图的特征，根据展开图确定长方形的长、宽和高；长方体表面积公式、体积公式的应用。
17．√
【分析】将一个长方体分成两个小长方体后，这个长方体的体积＝小长方体体积之和；所以长方体的体积没有发生改变；据此解答。
【详解】将一个长方体分成两个小长方体后，这个长方体的体积＝两个小长方体体积之和；体积是不变的；所以原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查了图形的切拼，关键是要理解立体图形经过切割后体积不变，表面积变大了。
18．×
【分析】由长方体的体积公式V＝abh可知：长方体的体积由长方体的长、宽、高三个要素决定其大小。长和高的数据变化知道了，但高的数据变化不知道，也就不能判断体积的变化。据此解答。
【详解】把长方体的高增长到原来的两倍，长缩短为原来的一半，新的长方体的长乘高等于原长方体的长乘高，但宽的数据变化不知道，故体积的大小不能确定。
故原题说法错误。
【点睛】掌握长方体的体积计算公式是解答本题的关键。
19．×
【分析】两个正方体拼成一个长方体，有两个面挨在一起了，长方体的表面积需要减去小正方形体的两个挨在一起表面的面积，即可解答。
【详解】18×2－（18÷6）×2
＝36－3×2
＝36－6
＝30（平方厘米）
两个表面积都是18平方厘米的小正方体，拼成一个长方体，长方体表面积是30平方厘米，拼成长方体的表面积是36平方厘米是错的。
故答案为：×
【点睛】本题考查小正方体拼成长方体后的表面积的变化，关键是拼成长方体后的表面积减少了。
20．×
【分析】分别表示出长方体原来的体积和变化后的体积，比较即可。
【详解】根据长方体的体积V1＝abh，如果长扩大到原来的5倍，宽缩小到原来的五分之一，高不变，那么长方体的体积V2＝5a× bh＝abh，由此可知长方体的体积不变。原题说法错误。
故答案为：×。
【点睛】此题主要考查了长方体体积的变化。掌握长方体的体积公式是解题关键。
21．长方体表面积：52平方厘米；长方体体积为：24立方厘米；正方体表面积为：54平方分米；正方体体积为：27立方分米
【分析】长方体表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方体体积＝长×宽×高；正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求解。
【详解】长方体表面积：
（4×2＋4×3＋3×2）×2
＝26×2
＝52（平方厘米）
长方体体积：
4×3×2
＝12×2
＝24（立方厘米）
正方体表面积：
3×3×6
＝9×6
＝54（平方分米）
正方体体积：
3×3×3
＝9×3
＝27（立方分米）
【点睛】掌握长方体的体积和表面积公式以及正方体的体积和表面积公式是解决本题的关键。
22．见详解
【分析】长方体有六个面，相对的两个面形状相同面积相等，根据长方体“1—4—1”型的展开图“中间4个一连串，两边各一随便放”画出其它3个面，先画出同一行的长方形，中间隔一个长方形的是相对面，在下面的右边画出右面，右面的右边画出上面，最后在下面的上边画出后面，据此作图。
【详解】（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查长方体的展开图，掌握长方体的特征和常见的长方体展开图类型是解答题目的关键。
23．17平方分米；4升
【分析】根据题干分析可得：围成的长方体水箱的底面是一个边长为1分米的正方形，所以底面的面积是1×1＝1平方分米，再加上正方形铁皮的面积就是需要铁皮的面积；底面积乘水箱的高4分米，即可得出水箱的容积；据此解答。
【详解】4×4＋（4÷4）×（4÷4）
＝16＋1
＝17（平方分米）
（4÷4）×（4÷4）×4
＝1×1×4
＝4（立方分米）
4立方分米＝4升
答：这个水箱共需铁皮17平方分米，做成的水箱能存4升水。
【点睛】明确长方体水箱的下底面是边长为（4÷4）分米的正方形是解答本题的关键。
24．3立方分米
【分析】不规则石头的体积即下降的水的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，即可列式解答。
【详解】3×2×0.5
＝6×0.5
＝3（立方分米）
答：这块石头的体积是3立方分米。
【点睛】解答本题的关键是理解石头的体积即下降水的体积。
25．96平方厘米
【分析】正方体锯成两个长方体，表面积多了两个正方形的面积。用除法求出一个正方形的面积，再根据“正方体表面积＝正方形面积×6”计算即可。
【详解】32÷2×6
＝16×6
＝96（平方厘米）
答：原来正方体的表面积是96平方厘米。
【点睛】本题考查的是正方形表面积的计算，明确：正方体锯成两个长方体，表面积多了两个正方形的面积，是解答此题的关键。
26．4000立方厘米
【分析】已知一个长方体礼盒的长25厘米、宽20厘米、高8厘米，要求这个礼盒的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据进行解答即可。
【详解】25×20×8
＝500×8
＝4000（立方厘米）
答：礼品盒的体积是4000立方厘米。
【点睛】本题主要是利用长方体的体积公式进行解答，熟记长方体的体积公式是解答此题的关键。
27．42分米
【分析】通过观察图形可知，捆扎这个纸箱需要绳子的长度等于这个长方体的2条长＋4条宽＋6条高＋打结用的2分米。据此解答。
【详解】5×2＋3×4＋3×6＋2
＝10＋12＋18＋2
＝42（分米）
答：一共要用绳子42分米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式及应用。
28．表面积：101平方厘米；体积：90立方厘米
【分析】根据长方体的展开图的特点，可以得出：这个长方体容器的长为13－2×2＝9（厘米），宽为9－2×2＝5（厘米），高为2厘米，再根据长方体5个面的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入公式即可求解。
【详解】这个容器的长：13－2×2
＝13－4
＝9（厘米）
容器的宽：9－2×2
＝9－4
＝5（厘米）
表面积：9×5＋（9×2＋5×2）×2
＝45＋（18＋10）×2
＝45＋28×2
＝45＋56
＝101（平方厘米）
体积：9×5×2
＝45×2
＝90（立方厘米）
答：这个容器的表面积是101平方厘米，体积是90立方厘米。
【点睛】根据长方体的展开图的特点，得出这个容器的长、宽、高是解决本题的关键。
29．640立方厘米；96平方厘米
【分析】马铃薯的体积＝水槽的底面积×水面下降的高度；减少的接触面积＝（长×水面下降高度＋宽×水面下降高度）×2，据此代入数据解答即可。
【详解】18－17.2＝0.8（厘米）
40×20×0.8
＝800×0.8
＝640（立方厘米）
（40×0.8＋20×0.8）×2
＝（32＋16）×2
＝48×2
＝96（平方厘米）
答：这个马铃薯的体积是640立方厘米，水槽内水与水槽接触的面积减少了96平方厘米。
【点睛】此题考查了不规则物体的体积计算以及长方体表面积的综合应用，明确减少的面积包括哪些面是解题关键。
30．（1）3.2分米
（2）21.2平方分米
【分析】（1）根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体容器内水的体积，由于容器内水的体积不变，把容器的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高度；
（2）水与容器的接触面的面积就是长2分米，宽1分米，高为此时水深的长方体5个面的面积，缺少上面，根据长方体的表面积解答即可。
【详解】16厘米＝1.6分米
（1）4×1×1.6＝6.4（立方分米）
6.4÷（2×1）
＝6.4÷2
＝3.2（分米）
答：这时水深3.2分米。
（2）2×1＋2×3.2×2＋1×3.2×2
＝2＋12.8＋6.4
＝21.2（平方分米）
答：水与容器的接触面的面积是21.2平方分米。
【点睛】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以长方体容器的底面积（左面那个面的面积），就是水面的高度。
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