第七章平行线的证明导学案

白湾子镇学校八年级数学导学案 主备人：范永旺 审核人：邢凤霄 张林 时间：2014.12 班级： 姓名：
7.1为什么要证明
学习目标 ： 通过本节课的学习让学生明白由观察，实验，归纳和类比得到的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题，需要通过推理的方法加以证实。
学习过程：
一、预习检测
1、 下列命题是人们利用观察，实验，归纳和类比得到的。判断是否是真命题
（1）两点之间，线段最短。（ ）（2）n边形有条对角线.( )
（3）对顶角相等。( )
2、阅读课本P162做一做之前内容，思考 ：观察，实验，归纳和类比是我们发现规律，获取结论的重要方法，用这些方法得到的结论一定正确吗？答：（ ）
3、小亮通过计算发现，当n=1,2,3,4,5时，代数式n+3n+1的值是质数，于是得出结论，当n为正整数时，n+3n+1的值一定是质数，试举例证明，这个结论是正确的。
二、新知探究：
1、某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n， n2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．
提示：可列表归纳
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
n2-n+11
是否为质数
2、先观察再比较线段AB与线段CD的长短。
3、图中AB是直线还是折线？4、用直尺验证线段d与 在一条直线上。
B
三、 当堂测试
1.下列结论，你能肯定的是（ ）
A.今天天晴，明天必然还是晴天。
B.三个连续整数的积一定能被6整除。
C.小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛中他必然能获一等奖。
D.两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的。
2.判断：
①∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小也差不多。 （ ）
②因为对顶角相等，所以相等的角也必是对顶角。 （ ）
③如果a>b>c，则a>c。 （ ）
④有一条线段AB长3cm，另一条线段BC长2cm，那么AC长5cm。（ ）
⑤一个角的补角一定比这个角大。 （ ）
3、 如图，甲沿着ACB由A到B，乙沿着ADEFB由A到B， 同时出发，速度相等则（ ）
A、 甲先到， B、乙先到，C、甲乙同时到， D、不确定、
4、某公园计划砌一个如图甲的喷水池，有人改为图乙的形状，若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿（ ）
A、甲需要的材料多B、乙需要的材料多
C、一样多D、不确定
5．你骑自行车的速度是每小时15千米，骑摩托车的速度每小时40千米，则下列结
肯定的是（ ）
A. 从A地到B地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达
A. 从A地到B地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达
A. 从A地到B地，骑自行车和骑摩托车的不可能同时到达
A. 从A地到B地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达
6.下列推理正确的是（ ）
A. 弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为弟弟的明年比今年长大了1岁
A. 如果a>b，b>c，则a>c
A. ∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小也差不多
A. 因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶
7.如图，从点0作出四条射线OA,OB,OC,OD,已知OA⊥OC,OB⊥OD.
﹙1﹚若∠BOC＝32 ,求∠AOB与∠COD的度数;
﹙2﹚若∠BOC=34 , ∠AOB与∠COD又分别为多少度？
(3)由(1) (2)你发现了什么？
(4)你能肯定上述的发现吗？
7.2定义与命题（一）
学习目标：
1、了解定义、命题的含义，了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论
2、体会实际生活中定义、命题的作用与必要性，了解本教材所采用的公理。
学习过程：
1、 自主学习
1. 写出一个你所熟悉的定义：
2. 叫做命题。
3. 写出一个你所熟悉的命题：
4、命题有 命题和 命题。
二、探究新知：
环节一 定义的含义
自学课本P165做一做以前的部分，并回答下列问题。
1、对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，这就是给出它们的____________。
例如：（1）“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的_________。
(2)“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是________________的定义
（3）_________________________________________是“平行四边形”的定义。
(4)相似三角形的定义是_________________________________________。
（5）你能列举出一些定义吗？（至少写出两个）
环节二 命题的含义
如果B处水流受到污染，那么____处水流便受到污染;
如果C处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；
如果D处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；
自编自练：如果____处水流受到污染，那么____处水流便受到污染．
对现实生活中各种事物进行定义后，我们可以用语言对他们进行描述并做出判断。
上面“如果-------------那么-----------”都是对事情进行判断的句子。判断一件事情的句子，叫做命题。反之，没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题.
1 、你能举出一些命题吗 （至少写出两个）
2 、举出一些不是命题的语句. （至少写出两个）
3 、下列句子哪些是命题？哪些不是命题？
（1）、动物都需要水. （ ）
（2）、猴子是动物的一种. （ ）
（3）、玫瑰花是动物. （ ）
（4）、美丽的天空. （ ）
（5）、三个角对应相等的两个三角形一定全等. （ ）
（6）、负数都小于零. （ ）
（7）、你的作业做完了吗 （ ）
（8）、所有的质数都是奇数. （ ）
（9）、过直线a外一点作a的平行线. （ ）
（10）、如果a＞b,b＞c,那么a=c； （ ）
4、 下列句子哪些是命题？哪些不是命题？
（1）、在三角形内任取一点再作最短边的平行线； （ ）
（2）、四边形都是菱形； （ ）
（3）、有限小数是有理数； （ ）
（4）、最大的负数不存在； （ ）
（5）、相反数等于它本身的实数只有零； （ ）
（6）、有三个角是直角的四边形是长方形。 （ ）
（7）、2010年世博会在上海举办。 （ ）
(8)、今天天气真好啊！ （ ）
环节三 真命题与假命题
1、什么是真命题？
2、什么是假命题？
3、什么叫反例？
4.下列命题是假命题的是( )
A.如果a∥b,b∥c,那么a∥c;
B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°
C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等;
D.矩形的对角线相等且互相平分
5、举出反例说明“如果AB=BC,那么点C是AB的中点”是个假命题.
小结： 命题是几何学习中最基础的概念.
定义是反映事物本质意义的描述性语句.
三、当堂检测
1 、下列命题属于定义的是（ ）
A、两点确定一条直线 B、同角或等角的余角相等
C、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
D、两直线平行 内错角相等
2、判断下列句子是不是命题
A、熊猫没有翅膀。 ( )
B、任何一个三角形一定有直角。 ( )
C、两点确定一条直线。 ( )
D、作线段AB=CD。 ( )
E、无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数。 ( )
F、平行用符号“∥”表示。 ( )
3、下列命题中哪些是假命题，为什么？
A、绝对值相等的两个数一定相等。
B、如果a2=b2，那么a=b。 C、末位数字为0的数必能被5整除。
D、两个锐角之和为钝角。 E、如果a=b，那么a2=b2。
F、三角形的三条中线交于一点。
4.下列命题，其中正确命题的序号有
①对顶角未必相等。
②在同一平面内，如果a∥b，b∥c，那么a∥c
③若a⊥b，b⊥c，那么a⊥c
④如果ac=bc，那么a=b
⑤互补的两个角相等
⑥钝角的补角是锐角
⑦在相同高度，重的物体比轻的物体下落的速度快。
5、 将下列命题改成“如果 ,那么 ”的形式，并指出条件和结论
（1）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）等角的余角相等；
（5）对顶角相等。
7.2 定义与命题（2）
学习目标：1．了解公理、证明、定理的含义；
2．了教科书上八条公理内容，会证明简单的定理。
学习过程：
一、预习检测：
1、一般地命题都可以写成 的形式，其中 引出的部分是条件， 引出的部分是结论，每个命题都有 两部分组成。
2、下列各命题的条件是什么？结论是什么？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
条件： ；结论：
（2）如果a＞b，b＞c，那么a＝c；
条件： ；结论：
3、 是真命题； 是假命题。
二、新知探究：
1、 称为公理。
2、 称为证明。
3、 称为定理。
4、本教材选用的公理有：
（1） 。
（2） 。
（3） 。
（4） 。
（5） 。
（6） 。
（7） 。
（8） 。
此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看做公理。
5、证明对顶角相等。
已知：
。
求证：
6、同角（等角）的补角相等。
已知：
。
求证：
课后反思
三、当堂测试：
1、将下列命题改成“如果……,那么……”的形式，并指出条件和结论
（1）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）等角的余角相等；
（5）对顶角相等。
2、下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出是真命题还是假命题。
(1) 如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)一个角的补角只有一个；
(3) ∠1与∠2是同位角吗？
(4)直线AB与CD相交于点O；
(5)平面内两条相交的直线不可能垂直于同一条直线。
3、动动脑
甲、乙、丙、丁四个小朋友在院中玩球，一不小心击中了李大爷的窗户，李大爷跑出来查看，发现一块窗户的玻璃碎了，李大爷问：“是谁闯的祸？”
甲说：“是乙不小心造成的。”
乙说：“是丙造成的。”
丙说：“乙说的不是实话。”
丁说：“反正不是我闯的祸。”
这四个小朋友里只有一个人说了实话，请你推断一下究竟是谁闯的祸呢？
4、同角（等角）的余角相等。
已知：
。
求证：
7.3 平行线的判定
学习目标：1、熟练证明的基本步骤和书写格式；
2、会根据“同位角相等，两直线平行”（公理）证明“同旁内角互补，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”（定理），并能应用这些结论。
学习过程：
1、预习检测：
1、同位角相等，
2、证明的基本步骤是： 。
3．已知：如图⑿，CE平分∠ACD，∠1=∠B，
求证：AB∥CE
二、新知探究：
例1：平行线判定定理： 内错角相等，两直线平行
已知：
。
求证：
由此得，平行线判定定理1： ；
（2）平行线判定定理： 同旁内角互补，两直线平行
已知：
。
求证：
由此得，平行线判定定理2： .
小结：证明命题的一般步骤：
(1)根据题意画出图形（若已给出图形，则可省略）
(2)根据题设和结论，结合图形，写出已知和求证；
(3)经过分析，找出已知退出求证的途径，写出证明过程；
(4)检查证明过程是否正确完善。
三、当堂测试：
1、在上完成教材P174数学理解2
2、已知：如右图所示，直线a，b被直线c所截，且∠1+∠2=180°
求证：a∥b
3、如图，∠ABC=∠ADC，BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC，∠1=∠2，求证：DE∥F B.
4．如图所示：已知：AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D。求证：BE⊥DE。
7.4 平行线的性质
学习目标：
1、了解平行线性质定理和判定定理在条件和结论上的区别，体会互逆的思维过程；
2、能熟练应用平行线的性质公理及定理。
学习过程：
一、预习检测：
1、 平行线的定义：
1、 两条直线平行的条件：
1、 两条直线平行的性质：
4．你能说说证明的一般步骤吗？
二、新知探究：
证明下列定理：
1、两直线平行，内错角相等。
由此得平行线性质定理1：
2、两直线平行，同旁内角互补。
由此得平行线性质定理2：
三、记一记
1、两直线平行的性质公理及两个性质定理；
2、平行线的性质补充结论
(1)垂直于两平行线之一的直线必垂直于另一条直线
(2)夹在两平行线之间的平行线段相等；
(3)两条平行线间的距离处处相等；
(4)经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；
(5)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或者互补
4、你学到了什么？
五、当堂测试：
1、如图1，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，
则∠AED′的度数为 。
2、如图2，直线相交于点，．若，则等于 。
3、如图3，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数等于 。
4、如图4，已知AB∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C等于 。.
5、如图5，，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= 。
6、如图6，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是 。
图4 图5 图6
7、已知：如图，直线a,b,c被直线d所截，且a∥b，c∥b
求证：a∥c
8.如图所示：已知：AD∥EF，∠1＝∠2。求证：AB∥DG。
9、如图，，平分，与相交于,。求证：。
7.5.1 三角形内角和定理的证明
学习目标：1、掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用；
2、体会思维实验和符号化的理性作用
学习过程：
一、预习检测：
1、△ABC中，若∠A＝350,∠B＝650,则∠C＝___；若∠A＝1200,∠B＝2∠C，则∠C＝___
2、三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为_______；
3、在等腰三角形中，已知顶角是500，则底角是_________；
4、在等三角形中，有一个角是70度，则另外两个角是______________________
5、三角形三个内角中, 最多有___个直角,最多有__个钝角,最多有___个锐角,至少有___个锐角；
6、三角形中,若最大角等于最小角的2倍,最大角又比另一个角大20°,则此三角形的最小角的度数是________.
二、新知探究：
1、回忆三角形内角和的探索方式，想一想，根据前面给出的公里 和定理，你能进行论证么？
2、已知：如右图所示，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
思考：延长BC到D,过点C作射线CE∥BA，这样就相
当于把∠A移到了 的位置，把∠B移到 的位置。
注意：这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA，则：
3、你还有其它方式么（可参考课本179页“想一想”小明的想法）
3、当堂测试：
1、已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为 _______.
2、△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=____
3、已知,如图所示，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
求证：∠BOC＝90°＋∠A
四、你学到了什么？
五、课后作业
1、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.钝角或直角三角形
2、下列说法正确的是( )
A.三角形的内角中最多有一个锐角 B.三角形的内角中最多有两个锐角
C.三角形的内角中最多有一个直角 D.三角形的内角都大于60°
3、已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D和点E分别在AB和AC上，且DE∥BC
求证：∠ADE=50°
4、如图，在△ABC中，DE∥BC，∠DBE=30°, ∠EBC=25°,求∠BDE的大小。
5、证明：四边形的内角和等于360°
7.5.2关注三角形的外角
学习目标：1、掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明；
2、体会几何中简单不等关系的证明；
3、从内和外、相等和不相等的不同角度对三角形的角作更全面的思考。
学习过程：
一、预习检测：
1、三角形的内角和是　　　　。直角三角形的两锐角和是　　　　。
2、三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角叫三角形的　　　　。外角的特征：
①顶点在三角形的　　　　　　；②一条边是三角形的　　　　　；③另一条边是三
角形某条边的　　　　。
3．三角形内角和定理的推论：、
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
二、新知探究：
1、如图∠1是三角形的一个外角，它与图中其它角有什么关系？
2、自学教材P181-182，看看你的结论是否正确，并对例2例3进行学习，
仿照证明三角形内角和定理的两个推论：
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
证明：
三、当堂测试：
1、如图，下列哪些说法一定正确
A ∠HEC >∠B
B ∠B+∠ACB=180°—∠A
C ∠B+∠ACB<180°
D ∠B>∠ACD
2、已知：如图，在△ABC中，∠A=45°，外角∠DCA=100°，
求∠B和∠ACB的大小
四、课后作业
1.已知：如图，∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角．
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°．
2.已知：如图，D是AB上一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，
∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：
（1）∠BDC的度数；
（2）∠BFD的度数．
3.如图，已知BE、CE分别是△ABC的内角∠ABC、外角∠ACD的平分线，
∠A=40°，求∠E的度数．
E
D
B
C′
F
C
D′
A
图1
C
A
E
B
F
D
图2
1
3
2
图3
l1
l2
1
2
3
A
B
C
D
C
D
图1
A
B
A
图2
a
b
c
d
图3
A
B
C
D
E
F
甲
乙