3.2.2双曲线的简单几何性质 同步练习（含解析）

3.2.2 双曲线的简单几何性质
一、单选题
1．设是双曲线C：的右支上的两点，轴，且经过双曲线的焦点，若弦的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则（ ）
A． B． C． D．
4．人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应（简称双耳效应）．根据双耳的时差，可以确定声源必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源对于测听者的方向偏角，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为，声源的声波传及甲的左、右两耳的时间差为，声速为，则声源对于甲的方向偏角的正弦值约为（ ）
A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05
5．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽.若水面下降，则水面宽是（ ）(结果精确到)(参考数值：，，)
A． B． C． D．
6．双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
7．已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；②若 为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
8．双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则的值为
A． B． C． D．
二、多选题
9.设双曲线的两个焦点分别是，，以线段为直径的圆交双曲线于A，B，C，D四点，若A，B，C，D，，恰为正六边形的六个顶点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．四边形ABCD的面积为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为
10．已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
11．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线，（ ）
A．
B．若的顶点坐标为，则
C．的焦点坐标为
D．若，则的渐近线方程为
12．（2022·全国·高二专题练习）设、分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．当时，C的离心率是2
C．到渐近线的距离随着n的增大而减小 D．当时，C的实轴长是虚轴长的两倍
三、填空题
13．（2021·全国·高二课时练习）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则________．
14．（2022·全国·高二专题练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为___________.
15．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为_________.
16．（2022·广东深圳·高二期末）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点M是双曲线右支上一点，，则双曲线的渐近线方程为___________.
四、解答题
17．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的离心率为2，求该双曲线的渐近线方程．
18．（2022·全国·高二课时练习）一种冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图．现要求制造一个最小半径为8m，下口半径为15m，下口到最小半径圆面的距离为24m，高为27m的双曲线冷却塔，试计算上口的半径（精确到0.001m）．
19．（2022·江苏·高二课时练习）一种冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图）．现要求制造一个最小半径为8m，下口半径为15m，下口到最小半径圆面的距离为24m，高为27m的双曲线冷却塔，试计算上口的半径（精确到0.01m）．
20．（2021·江苏·高二专题练习）由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向处，丙舰在乙舰北偏西方向，相距处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
21．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6km；C在B的北偏西30°方向，相距4km；P为航天员的着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4s后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1km/s，求在A处发现P的方位角．
22．为捍卫钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权，中国派出舰船“唐山号”、“石家庄号”和“邯郸号”在钓鱼岛领海巡航.某日，正巡逻在A处的“唐山号”突然发现来自P处的疑似敌舰的某信号，发现信号时“石家庄号”和“邯郸号”正分别位于如图所示的B、C两处，其中A在B的正东方向相距6海里处，C在B的北偏西30°方向相距4海里处.由于B、C比A距P更远，因此，4秒后B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1海里），试确定疑似敌舰相对于A点“唐山号”的位置.
3.2.2 双曲线的简单几何性质（答案）
一、单选题
1．【答案】B
【分析】由题意可知弦是双曲线的通径，由双曲线的性质并结合题意可知，由此即可求出，进而求出结果.
【详解】因为轴，且经过双曲线的焦点，
所以弦是双曲线的通径，故，
又弦的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，所以，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
2．
【答案】A
【分析】根据离心率可求出两条渐近线的倾斜角，从而解出．
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，而，所以，
故两条渐近线中一条的倾斜角为，一条的倾斜角为，它们所成的锐角为．
故选：A．
3．
【答案】C
【解析】求出、，根据可求得的值.
【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，则，，
因为双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则，即，解得.
故选：C.
4．
【答案】D
【解析】由已知求出、焦距，利用可得可得答案.
【详解】设两耳所在双曲线的实轴长为，焦距为，虚轴长为，
则，，由题意，
所以，所以．
故选：D．
5．
【答案】B
【解析】设出双曲线方程，写出点，代入双曲线方程即可求解.
【详解】如图：建系，
因为拱桥是等轴双曲线，
则设双曲线方程，，
又因为，，则，
将代入双曲线方程，可得，
解得，即，
当水面下降，纵坐标，
代入双曲线方程可得，
.
故选：B
6．
【答案】A
【分析】以的中点О为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，设，，代入双曲线的方程，求得，得到，进而求得双曲线的离心率.
【详解】以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设双曲线的方程为，则，
可设，，
又由，在双曲线上，所以，解得，，
即，所以该双曲线的离心率为.
故选：A.
7．
【答案】A
【分析】化简曲线方程，画出图像判断①，利用函数单调减判断②
【详解】曲线,
当当 当画出图像如图，易知①正确；易知函数为减函数，则人任意两点斜率，②正确
故选：A
8．
【答案】D
【解析】将双曲线的方程化为标准方程，求得、，根据可求得实数的值.
【详解】双曲线的标准方程为，则，，
由于该双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则，即，解得.
故选：D.
二、多选题
9．【答案】ABC
【分析】本题主要考查双曲线的基本性质．利用边长之间的关系证明出，利用对称性可知四边形ABCD为矩形求出其面积，利用双曲线定义求出离心率和渐近线方程．
【详解】不妨设点为左焦点，如图所示，因为，，所以，又，所以，A正确；根据对称性，可知四边形ABCD为矩形，又，，所以四边形ABCD的面积为，B正确；由双曲线的定义可得，即，则离心率，C正确；因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，D错误．故选ABC．
一题多解
对于A选项还可以如下求解：为圆的直径，点B在圆上，则，故A正确．
【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质，考查基本运算，属于一般题．
10.【答案】BCD
【分析】根据双曲线，椭圆的特征一一计算可得；
【详解】解：对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误；
对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则，
所以，则，解得，故C正确；
对于D：椭圆的焦点为，
若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）；
若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确；
故选：BCD
11．
【答案】BD
【分析】本题首先可根据双曲线的解析式得出，通过计算即可判断出A错误，然后根据双曲线的顶点的相关性质即可判断出B正确，再然后分为、两种情况，依次求出，即可判断出C错误，最后根据双曲线的渐近线方程的求法即可得出结果.
【详解】A项：因为方程表示双曲线，
所以，解得或，A错误；
B项：因为的顶点坐标为，
所以，解得，B正确；
C项：当时，，
当时，，C错误；
D项：当时，双曲线的标准方程为，
则渐近线方程为，D正确，
故选：BD.
12．
【答案】AC
【分析】由已知条件值，根据，，，可计算的值，进而可判断选项A；直接计算可判断选项B；计算到渐近线的距离用表示，即可判断选项C；当时求出得值，可得的关系可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：由双曲线的方程可得，，
所以，
因为，所以，
所以，可得：，故选项A正确；
对于选项B：当时，双曲线，此时，，
所以离心率，故选项B不正确；
对于选项C：中，由选项A知：，，，的渐近线方程为，
不妨取焦点，则到渐近线的距离，
所以到渐近线的距离随着n的增大而减小，故选项C正确；
对于选项D：当时，，，
所以实轴长为，虚轴长为，不满足C的实轴长是虚轴长的两倍，故选项D不正确；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出，，再利用双曲线的性质可求，关键点是准确记忆双曲线中的概念，焦点到渐近线的距离等于.
三、填空题
13．
【答案】
【分析】根据虚轴长是实轴长的2倍列方程，由此求得的值.
【详解】双曲线可化为，.
虚轴长是实轴长的倍，所以.
故答案为：
14．
【答案】
【分析】利用已知条件求解双曲线的离心率，列出不等式，求解，然后求解虚轴长的范围即可．
【详解】因为，所以，
所以，所以，解得，
则，故虚轴长.
故答案为：.
15．
【答案】
【解析】根据题中条件，得出，求出，即可得出双曲线方程.
【详解】由题意可得：，，则实轴长为：，虚轴长为；
因为虚轴长是实轴长的2倍，所以，解得：，
代入可得双曲线方程为.
故答案为：.
16．
【答案】
【分析】首先根据已知条件得到，再结合双曲线的几何性质求解即可.
【详解】如图所示：
，，所以，即.
设，则，.
即，，，，
所以，渐近线方程为.
故答案为：
四、解答题
17．
【答案】
【分析】根据双曲线离心率计算公式和之间的关系、结合双曲线渐近线方程相关知识进行计算即可.
【详解】因为双曲线的离心率为2，
所以，所以，
所以该双曲线的渐近线方程为．
18．
【答案】8.156m
【分析】建立直角坐标系，由顶点及双曲线过点，求出双曲线的方程，再令，即可求得上口的半径.
【详解】
以最小半径所在圆的圆心为原点，互相垂直的两条直径所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，
由最小半径为8m可知双曲线的顶点为，设方程为，易得双曲线经过点，可求得．
又上口到最小半径圆面的距离为3m，当时，解得．故上口的半径为．
19．
【答案】8.16m
【分析】建立直角坐标系，求出双曲线方程，进而求出上口半径.
【详解】以双曲线的中心为原点，实轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设所求双曲线方程为，由题意得：，点在双曲线上，将其代入得：，解得：，则双曲线方程为，令得：
，，因此上口半径约为8.16m.
20．
【答案】甲舰行进的方向角为北偏东
【分析】建立平面直角坐标系，表示每个点的坐标，根据条件中的数量关系得到点在线段的垂直平分线上和以焦点的双曲线的右支上，求出方程并联立方程组求解即可得到结果.
【详解】设分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线为 轴，线段的垂直平分线为 轴建立直角坐标系，则
点在线段的垂直平分线上，
又易知，线段的中点，
∴直线的方程为 ①
又，
∴点在以焦点的双曲线的右支上，
∴双曲线方程为 ②
联立①②，得点坐标为，
，因此甲舰行进的方向角为北偏东.
【点睛】本题考查平面直角坐标系的应用，考查直线方程和双曲线方程在实际中的应用，根据实际问题建立合适的坐标系并求得满足条件的方程是本题的关键.
21.【答案】P在A的北偏东30°方向
【分析】结合双曲线的定义求得点的轨迹方程，求得点的坐标，进而求得在处发现的方位角.
【详解】因为B，C同时接收到信号，
所以PC＝PB，则P在BC的中垂线上．
因为B，C比A处晚4s收到信号，
所以有PB－PA＝4×1<6＝AB，
从而P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
所以2a＝4，c＝3，从而b2＝c2－a2＝5.
以线段AB的中点为坐标原点，AB的中垂线为y轴，正东方向为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
则A(3，0)，B(－3，0)，，
所以双曲线的方程为，
BC的中垂线的方程为.
联立，解得或(舍去)，
即，从而，
所以PA的倾斜角为60°，则P在A的北偏东30°方向．
22．
【答案】在A的北偏东30°方向，相距10海里处.
【分析】以直线AB为x轴，线段AB的中点O为原点建立坐标系，求出点P所在的轨迹方程即可计算作答.
【详解】取A、B所在直线为x轴，线段AB的中点O为原点建立直角坐标系，如图，，
依题意，，则点P在以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，方程为，
又B、C同时测得同一信号，即有，则点P又在线段BC的中垂线上，
而线段BC的中点，直线BC的斜率为，
线段BC的中垂线方程为，即，
由方程组，解得，即，直线的斜率，
即直线AP的倾斜角为，，
所以P在A的北偏东30°方向，相距10海里处.