(共27张PPT)
1.1.2 空间向量的数量积
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
学习目标
1.掌握空间向量的数量积，空间向量的夹角
2.掌握空间向量数量积的性质及运算律
3.能利用空间向量的数量积判断两个向量的垂直及平行
复习回顾
与 反向
O
A
B
与 同向
O
A
B
记作
与 垂直，
O
A
B
注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的
1.平面向量的夹角：
A
O
B
B
复习回顾
(2)平面向量的数量积的定义：
已知两个非零向量, ，则|| ||
，叫做向量, 的数量积，记作
即 || ||
并规定0
空间向量的夹角
探究：空间任意两个向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，思考平面中的两个向量a，b，它们的夹角是如何定义的？范围如何？
提示：将a，b移到共同的起点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角，记作θ＝∠AOB，范围是[0, π]．
A
O
B
空间向量的夹角
(1)空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则 叫做向量，的夹角，记作 ．
(2)范围：〈，〉∈ .
特别地，当〈，〉＝ 时，两向量，同向共线；
当〈，〉＝π时，两向量， ，
所以若∥，则〈，〉＝0或π；
当〈，〉＝时，两向量，互相 ，记作 .
∠AOB
[0，π]
0
反向共线
垂直
O
A
B
O
A
B
O
A
B
〈〉
⊥
空间向量的数量积
注意：两个向量的数量积是数量,而不是向量
空间中的两个非零向量，，定义||||cos θ为，的数量积·.
即 ||||
（1）空间向量数量积的定义
空间向量的数量积
思考1：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？
答：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘积．
思考2：对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？
答：不能，若a，b，c是非零向量，则a·b＝a·c得到a·(b－c)＝0，即可能有a⊥(b－c)成立．
空间向量的数量积
思考3：对于向量a，b，若a·b＝k，能不能写成a＝？
答：不能，向量没有除法，无意义．
思考4：为什么(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立？
答：(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，
而a与c不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
向量的数量积运算与实数运算是有一定区别的
空间向量的数量积
①(λ)·＝ ；
②交换律：·＝ ；
③分配律：·(＋)＝ .
λ(·)
·
·＋·
(2)运算律
注意：向量的数量积不满足结合律
空间向量的数量积
（3）性质
①⊥ ·＝0;
②·＝||||cos〈，〉＝||2＝2;
③ 零向量与任意向量的数量积为0，即·＝0;
④ |·|≤||·||.
⑤cos〈，〉=
证明两个向量垂直
求模长
夹角公式
空间向量的数量积
1.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___.
解析 由a⊥b，得a·b＝0，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.
6
空间向量的数量积
3.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)·；(2)；(3) ·.
(1)·＝·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos 60°＝，
所以＝.
(2)＝＝×1×1×cos 0°＝，所以＝ .
(3) ·＝ ·＝×1×1×cos 120°＝－，所以＝－.
空间向量的数量积
在几何体中求空间向量的数量积：首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可．
注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角．
方法总结
空间向量的数量积
4.已知正四面体OABC的棱长为1.求：
(1)·；(2)(＋)·(＋)．
(1)·＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)(＋)·(＋)＝(＋)·(-＋－)＝()·(－2)
＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.
投影向量
思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。类似地，向量 a 在向量 b上的投影有什么意义？向量 a向向量b的投影呢？向量b向向量a的投影呢？
投影向量
数量积求夹角
1.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．
求cos〈，〉的值．
解 因为＝－＝＋－， ＝＋，
所以||2＝()2＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6，||＝，
||2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，||＝，
＝()·()＝2－2＝22－12＝3，
所以cos〈，〉＝＝＝
数量积求夹角
求两个非零向量夹角的两种途径
(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解．
(2)利用数量积求夹角的余弦值：cos〈，〉=
方法总结
数量积求夹角
A
B
A1
C1
B1
C
2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1 中,若AB= BB1,则AB1与BC1所成角的大小为( )
A. B. C. D.
B
数量积求夹角
数量积求长度
4.已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, AB=4, AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°, 求对角线AC'的长。
D'
C'
B'
D
A
B
C
A'
数量积求长度
求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用||＝，通过计算求出||，即得所求距离．
方法总结
数量积求夹角
D'
C'
B'
D
A
B
C
A'
5.
数量积证垂直
6.已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.
数量积求夹角
证明：因为
同理，
7.
课堂小结(共18张PPT)
1.2 空间向量基本定理
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
学习目标
1.了解空间向量基本定理及其意义；
2.掌握空间向量的正交分解；
3.能够用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。
复习回顾
（1） 向量共线
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
（2） 向量共面
三个向量共面的充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.
思考：这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？
情景导入
空间向量基本定理
观察右图并回答以下问题，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4，在AB，AD，AD1上分别取单位向量e1，e2，e3.
问题1：e1，e2，e3共面吗？
不共面
问题2：试用e1，e2，e3表示
问题3：若，M为A1B1的中点试用e1，e2，e3表示
空间向量基本定理
因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ 。
如图，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量设为在所确定的平面上的投影向量，则=+,又向量，共线，因此存在唯一实数z，使得，从而=+ ，
而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得=xi+ .从而，=+ = xi+ .
我们称 xi, 分别为向量p在上的分向量。
空间向量基本定理
如果三个向量,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=x +yb+zc.
空间向量基本定理
基底
我们把定理中的叫做空间的一个基底, ,b,c都叫做基向量.
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
空间向量基本定理
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,
使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
单位正交基底
空间向量基本定理
思考1：基底中能否有零向量？
不能，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面.
思考2：空间向量的基底唯一吗？
不唯一，只要三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底。
思考3：基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示吗？不同基底下，同一个向量的表达式都相同吗？
基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示，不一定相同，不同基底下，同一个向量的表达式也有可能不同.
空间向量基本定理
思考4：基底与基向量的概念有什么不同？
一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.
二者是相关联的不同概念 .
平移向量a，b，c，p使它们共起点，如图所示，以p为体对角线，
在a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，
因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的．
思考5：为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？
基底的辨析
1.已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a B．b C．a＋2b D．a＋2c
解析：能与p，q构成基底，则与p，q不共面．∵a＝，b＝，a＋2b＝，∴A、B、C都不合题意，由于{a，b，c}构成基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．
答案：D
基底的辨析
2.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3＝－3e1＋e2＋2e3，
＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底
基底的辨析
判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
方法总结
4.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
基底的辨析
用基底表示向量
1.如图， 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若 ＝a，＝b，＝c，则 ＝________.
解析：＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.
－a＋b－c
用基底表示向量
用基底表示向量
课堂小结(共18张PPT)
1.3.1 空间直角坐标系
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
学习目标
1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示，
2.掌握空间向量运算的坐标表示；
3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用，
4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题。
情景导入
学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算．所以，基底概念的引人为几何问题代数化奠定了基础.
在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与工轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底,建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.
平面向量
类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢
空间向量
情景导入
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.
空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.
空间直角坐标系定义
画法
画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy =135°(或45°)，∠yOz=90°
空间直角坐标系
右手坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.
空间直角坐标系
问题1：在空间直角坐标系中，坐标平面上的点和坐标轴上的点的坐标有何特征？
1．坐标平面上的点的坐标特征：
xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0)．
yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z)．
xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z)．
空间直角坐标系
2．坐标轴上的点的坐标特征：
x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)．
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)．
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．
问题1：在空间直角坐标系中，坐标平面上的点和坐标轴上的点的坐标有何特征？
空间点、向量的坐标
探究：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢
空间点、向量的坐标
如图，在空间直角坐标系Oxyz中，,,为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(,,)，使=+＋.
在单位正交基底{,,}下与向量对应的有序实数组(,,)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(,,)．其中叫做横坐标，叫做纵坐标，叫做竖坐标.
z
空间点、向量的坐标
1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标．
解：如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz．所以D(0,0,0)．
因为长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，
可得A(3，0,0)，C(0,5,0)，D1(0,0,4)，B (3,5,0)，A1(3,0,4)，
C1(0,5,4)，B(3,5,0)，D1(0,0,4)，B1 (3,5,4)．
空间点、向量的坐标
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
(1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标;
(2)求点N的坐标.
空间点、向量的坐标
解:(1)显然A(0,0,0),由于点B在x轴的正半轴上,且|OB|=4,所以B(4,0,0).同理,可得D(0,3,0),A1(0,0,5).
由于点C在坐标平面xOy内,BC⊥AB,CD⊥AD,则点C(4,3,0).
同理,可得B1(4,0,5),D1(0,3,5),与点C的坐标相比,点C1的坐标中只有竖坐标与点C不同,CC1=AA1=5,则点C1(4,3,5).
(2)由(1)知,C(4,3,0),C1(4,3,5),则C1C的中点为,即N.
空间点、向量的坐标
在平面直角坐标系中，点P(x，y)的几种特殊的对称点的坐标如下：
(1)关于原点的对称点是P′(－x，－y)；
(2)关于x轴的对称点是P″(x，－y)；
(3)关于y轴的对称点是P′″ (－x，y)，
那么，在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标：
(1)关于原点的对称点是P1______________；
(－x，－y，－z)
空间点、向量的坐标
(2)关于横轴(x轴)的对称点是P2_____________________；
(3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3_____________________；
(4)关于竖轴(z轴)的对称点是P4_____________________；
(5)关于xOy坐标平面的对称点是P5__________________；
(6)关于yOz坐标平面的对称点是P6__________________；
(7)关于zOx坐标平面的对称点是P7____________________.
【点拨】 利用数形结合求点的坐标．
(x，－y，－z)
(－x，y，－z)
(－x，－y，z)
(x，y，－z)
(－x，y，z)
(x，－y，z)
空间点、向量的坐标
1.点P(4,0,1)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．yOz平面上
C
【解析】 由于点P的纵坐标为0，横坐标与竖坐标都不为0，故该点在xOz平面上．
空间点、向量的坐标
2.在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4)对称的点P′的坐标是( )
A．(0,0,0) B．(2，－1，－4)
C．(6，－3，－12) D．(－2,3,12)
【解析】 根据题意知M为线段PP′的中点，设P′(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P′(6，－3，－12)．
C
课堂小结(共14张PPT)
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
学习目标
1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．
3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.
空间向量的坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
a+b=（a1+b1,a2+b2,a3+b3）
a—b=（a1—b1,a2—b2,a3—b3）
λa=（λa1,λa2,λa3）,λ∈R
ab=a1b1+a2b2+a3b3
空间向量的坐标运算
下面我们来证明空间向量的数量积运算的坐标表示：
设{i, j, k}为空间向量的正交基底，则
a=a1i+a2 j+a3k,b=b1i+b2 j+b3k
∴ab=（a1i+a2 j+a3k）（b1i+b2 j+b3k）
∵ii=j j=k k=1 ij=j k=k i=0
∴ab=a1b1+a2b2+a3b3
其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们自己完成。
空间向量的坐标运算
由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示是完全一致；
如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
空间向量的坐标运算
类似平面坐标运算的坐标表示，我们还可以得到：
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
空间向量的坐标运算
空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
空间向量的坐标运算
1．已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,|a|,8a,a·b
空间向量的坐标运算
2.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3 ＝，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．若PQ⊥AE，求点Q的坐标．
由题可知：A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3 ＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，所以点P的坐标为 .
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
因为PQ⊥AE，所以 · ＝0，所以 ·＝0，
即－－＝0，解得b＝，所以点Q的坐标为.
空间向量的坐标运算
3.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点．
(1)求FH的长；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
解：如图所示，以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(0,0，)，F(，，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，，0)．
(1)∵H是C1G的中点，∴H . 又F (，，0)，∴FH＝||＝＝.
(2)∵ ＝，则| |＝. 又||＝，且 ·＝，
∴cos〈，〉＝＝， 即EF与C1G所成角的余弦值为 .
空间向量的坐标运算
3
空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算
课堂小结(共26张PPT)
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
第一课时 空间中点、直线和平面的向量表示
学习目标
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.
4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
复习回顾
我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决几何问题的关键.
我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量向量表示空间中的点、直线和平面.
点的位置向量
思考1：如何用向量表示空间中的一个点P ？
P
o
在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量.
直线的方向向量
思考2：如何用向量表示空间中的直线 l ？
几何表示
定点A＋一个方向
确定一条直线l
向量表示
定点A＋方向向量
如图所示，a是直线l的方向向量，在直线l上取= a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线可知：
点P在直线l上
存在实数t，使得= t a，即= t
充要条件
P
a
A
B
取定空间中任一点O，有
即 ①
②
a
l
P
B
A
O
上式都称为空间直线的向量表示式.
空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量a唯一确定.
∴点A和向量a不仅能确定直线 l 的位置，还可以表示出直线 l 上的任意一点.
直线的方向向量
思考：如何理解直线的方向向量？
直线的方向向量
(1)在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与直线l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
(3)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．
平面的向量表示式
思考3：如何用向量表示空间中的平面
我们知道，平面可以由内两条相交直线确定.如图，设两条相交直线交于点，它们的方向向量分别为和为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，
使得
点O与向量a，b不仅可以确定平面，还可以具体表示出 内的任意一点.
进一步地，如图，取定空间任意一点 O ，可以得到，空间一点 P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，
使 .
我们把上式称为空间平面 ABC 的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
平面的向量表示式
平面的法向量
我们知道，给定空间一点和一条直线则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的.由此可以利用点和直线的方向向量来确定平面.
如图，直线 .取直线的方向向量，我们称向量 为平面的法向量.给定一个点和一个向量那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 .
平面的法向量
平面法向量的性质
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．
注意： 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量
平面的法向量
新知应用
1.下列说法中正确的是( )
A.直线的方向向量是唯一的
B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
C.直线的方向向量有两个
D.平面的法向量是唯一的
B
题型一：求直线的方向向量
2.若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是( )
D
3. 在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________．
新知应用
题型一：求直线的方向向量
(0，0，1)
(0，1，1)
新知应用
√
题型一：求直线的方向向量
新知应用
理解直线方向向量的概念：
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
(2)直线的方向向量不唯一．
方法总结
题型一：求直线的方向向量
新知应用
题型二：求平面的法向量
A.(-1,2,-1) B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)
令x=-1,则y=2,z=-1.
即平面ABC的一个法向量为n=(-1,2,-1).
A
新知应用
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的 中点,求平面EDB的一个法向量.
思路分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.
题型二：求平面的法向量
新知应用
解:如图所示建立空间直角坐标系.
依题意可得D(0,0,0),P(0,0,1),
题型二：求平面的法向量
新知应用
3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，建立空间直角坐标系，求平面EFG的一个法向量．
题型二：求平面的法向量
新知应用
题型三：综合应用
例1 在长方体 中, AB=4，BC=3, =2, M是AB的中点.以D为原点, DA, DC, 所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求直线CD 的方向向量；
（2）求平面 的法向量；
新知应用
D(0, 0, 0), C(0, 4, 0),
所以直线CD的方向向量是
解：（1）依题意可知,
追问：直线CD还有其他的方向向量吗？
共线向量
新知应用
（2）求平面 的法向量；
解：
因为 面 .
所以平面 的一个法向量是
新知应用
（2）求平面 的法向量；
解：
共线向量
追问：平面 还有其他的法向量吗？
向量名称 图 示 求 法
直线的方向向量
平面的法向量
直线的方向向量和平面的法向量的求法
① 设的法向量；② 求内的不共线向量；③ 列方程组；④解方程组，得出结论.
① 找到；
② l 的方向向量即为平面的法向量.
① 取两点；② 定向量.
新知应用
课堂小结(共19张PPT)
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
第二课时 空间中直线、平面的平行
学习目标
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.
4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
空间中直线与直线的平行
思考：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系
如图，设分别是直线的方向向量.由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.
所以，使得
类似地，如图，设是直线的方向向量，是平面的法向量，则
空间中直线与平面的平行
如图，设分别是平面的法向量，则
使得
空间中平面与平面的平行
要点1 直线和直线平行
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 _______ λ∈R，使得u1＝______．
要点2 直线和平面平行
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u____n ________．
要点3 平面和平面平行
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β _______ λ∈R，使得________．
u1∥u2
λu2
⊥
u·n＝0
n1∥n2
n1＝λn2
空间中直线、平面的平行
新知应用
1.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=( )
A.2 B.-5 C.4 D.-2
解析:因为α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.
B
答案:平行
解析:因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.
2.若平面β外的一条直线l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量为n=(4,-1,-2),则l与β的位置关系是 .
新知应用
题型一：利用方向向量、法向量判断位置关系
新知应用
题型一：利用方向向量、法向量判断位置关系
新知应用
题型二：直线与直线平行
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1.
证明:以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方 体的棱长为1,
新知应用
题型三：直线与平面平行
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
证明：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
如图.设正方体的棱长为1,则可求得
新知应用
方法总结
题型三：直线与平面平行
新知应用
题型三：直线与平面平行
题型三：直线与平面平行
新知应用
题型三：直线与平面平行
新知应用
新知应用
题型三：直线与平面平行
新知应用
题型四：平面与平面平行
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO
解:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.设正方体的棱长为1,
新知应用
故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
题型四：平面与平面平行
课堂小结(共18张PPT)
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
第三课时 空间中直线、平面的垂直
学习目标
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.
4.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.
复习回顾
1.空间中点、直线和平面的向量表示
(1)点→点+位置向量
(2)线→点+方向向量
(3)平面→点+法向量
2.空间中直线、平面的平行
复习回顾
类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
空间中直线与直线的垂直
思考1：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间什么关系
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；如图，设直线
的方向向量分别为，则
空间中直线与平面的垂直
思考2：如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面垂直关系？
设直线的方向向量为，平面的法向量为，则
使得.
空间中平面与平面的垂直
设平面的法向量分别为， ,则
=0.
思考3：由平面与平面的垂直关系，可以得到平面的法向量有什么关系？
1.已知向量 ，分别为直线 方向向量和平面 的法向量，若，则实数 x 的值为（ ）
A．- B． C．1 D．2
新知应用
C
2.若平面α，β的法向量分别为m＝(－1,2,4)，n＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为( )
A．10 B．－10 C. D．－
B
新知应用
题型一：直线与直线垂直
新知应用
题型一：直线与直线垂直
新知应用
题型一：直线与直线垂直
新知应用
题型一：直线与直线垂直
D1
新知应用
题型一：直线与直线垂直
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.
求证:(1)BD1⊥AC (2)BD1⊥EB1.
【解析】证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立
如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E (,B1(1,1,1).
(1)∵ =(-1,-1,1), =(-1,1,0),∴ =(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0.
∴,∴BD1⊥AC.
(2)∵=(-1,-1,1), =(,1) ,∴ =(-1)×+(-1)×+1×1=0,
∴ ,∴BD1⊥EB1.
题型二：直线与平面垂直
新知应用
3. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点．
求证：EF⊥平面B1AC.
证明：设正方体的棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．
法一（线面垂直的判定）：
∴ ＝(－1，－1,1)，＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)．
∴ ·＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0. ·＝2－2＋0＝0，
∴ ⊥， ⊥，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A， ∴EF⊥平面B1AC.
题型二：直线与平面垂直
新知应用
法二：（法向量）
∴ ＝(－1，－1,1)，＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)．．
设平面B1AC的法向量＝(x，y，z)，则 ·＝0，·＝0，
即 取x＝1，则y＝1，z＝－1，
∴＝(1,1，－1)，∵ ＝－，
∴ ∥，∴EF⊥平面B1AC.
证明：设正方体的棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．
新知应用
题型三：平面与平面垂直
如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,
证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
思路分析：要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n1,n2,证明n1·n2=0.
新知应用
题型三：平面与平面垂直
解:由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0),A1(2,0,1),
课堂小结(共17张PPT)
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
第一课时 研究距离问题
学习目标
1.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．
2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题．
3.能描述用向量方法解决距离问题的程序，体会向量方法在研究距离问题中的作用.
情境导入
如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？
这个问题就需要我们来研究空间中的距离。
情境导入
常见的空间中的距离有：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离;
常用的求解距离的方法有：传统方法和向量法.
思考：空间中包括哪些距离 求解空间距离常用的方法有哪些
空间中点到直线的距离
探究1：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？
如图，向量在直线上的投影向量为，则是直角三角形.因为都是定点，所以，与的夹角都是确定的.于是可求.再利用勾股定理,可以求出点到直线的距离.
空间中点到直线的距离
设,则向量在直线上的投影向量.
在中，由勾股定理，得
思考1：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
∴ 两条平行直线之间的距离点到直线的距离
空间中点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度.因此
探究2：如何求平面α外一点点到平面α的距离？
空间中点到平面的距离
平行于平面的直线l到平面α的距离
如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
思考2：类似地，如何求平行于平面的直线l到平面α的距离？两个平行平面之间的距离呢？
两个平行平面之间的距离
如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
线面、面面距离平面外一点到平面的距离
l
新知应用
题型一：点到直线的距离（平行线的距离）
1.在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是线段DC1的中点，求点M到直线AD1的距离．
解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)，M(0，，).
＝(－a,0，a)，＝(0，－，)，
直线AD1的一个单位方向向量 ＝(－，0，)，
||2＝a2，· ＝ a.
所以点M到直线AD1的距离d＝＝＝a.
新知应用
题型一：点到直线的距离（平行线的距离）
新知应用
题型一：点到平面的距离
3.如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求：
(1)顶点B到平面DA1C1的距离；
(2)直线B1C到平面DA1C1的距离．
解：以点D为原点，分别以 、与 为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则D(0,0,0)，
A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1),则=(，
设平面DA1C1的法向量为，所以,因为，由，得，
不妨取y=1，则 .
(1)向量，所以B到平面DA1C1的距离 ；
新知应用
题型二：点到平面的距离
3.如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求：
(1)顶点B到平面DA1C1的距离；
(2)直线B1C到平面DA1C1的距离．
解：以点D为原点，分别以 、与 为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则D(0,0,0)，
A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1),则=(，
设平面DA1C1的法向量为，所以,因为，由，得，
不妨取y=1，则 .
(2)直线B1C到平面DA1C1的距离等于B1到平面DA1C1的距离．因为=(1,0,0)，所以B1到平面DA1C1的距离==．
新知应用
题型二：点到平面的距离
新知应用
题型三：平面与平面的距离
新知应用
题型三：平面与平面的距离
题型三：平面与平面的距离
新知应用
课堂小结(共20张PPT)
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
第二课时 研究夹角问题
学习目标
1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角.
2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成.
3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小。
.
情境导入
1、点到线的距离
2、点到面的距离
PQ=
PQ= =
l
A
u
Q
P
n
P
A
Q
情境导入
地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、双子座等等,这便是星座的由来.
思考：空间角包括哪些角 求解空间角常用的方法有哪些
空间角包括：线线角、线面角、二面角;
常用的求解方法有： 几何法和向量法.
空间中直线与直线的夹角
根据前面数量积的学习，我们已经知道向量法求两条异面直线a，b的夹角的方法，思考：异面直线a，b的夹角为θ，方向向量分别为a，b，那么夹角θ与方向向量的夹角〈a，b〉之间有怎样的关系式？
异面直线所成的角的向量表示式：若异面直线 ，所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.
空间中直线与直线的夹角
思考1：两直线夹角的公式为什么不是cosθ＝？
∵由于两直线夹角的范围为[0，]，两向量夹角的范围为[0，π]，因此，两直线夹角的公式为cosθ＝||，而不能直接用向量夹角公式求两直线的夹角．
空间中直线与直线的夹角
相等或互补．两条直线的方向向量的夹角为锐角(直角)时相等，夹角为钝角时互补．
思考2：两条直线的方向向量的夹角与两异面直线所成角关系是什么？
空间中直线与平面的夹角
探究：如图，设直线AB的方向向量为 ，AC⊥平面α，垂足为C，平面α的法向量为，思考：直线AB与平面α所成的角是哪个角？这个角与向量的夹角〈 ，〉之间满足什么关系式？
直线AB与平面α所成的角是∠ABC＝θ ， ，sin θ＝|cos〈 ，〉|.
直线与平面所成的角的向量表示式：直线与平面相交，设直线与平面所成的角为θ，
直线的方向向量为 ，平面的法向量为，则sin θ＝|cos〈 ，n〉|＝.
空间中直线与平面的夹角
(2)当 ，与α，l的关系如右图所示时，l与α所成的角与两向量所成的角的补角互余．此时，sinθ＝-cos〈 ，〉.
思考：设平面α的斜线l的方向向量为 ，平面α的法向量为，l与α所成的角的公式为什么不是cosθ＝？
(1)当 ，与α，l的关系如右图所示时，l与α所成的角与 ，所成的角互余．即sinθ＝cos〈 ，〉
空间中平面与平面的夹角
平面与平面的夹角的定义：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
如图，设平面α，β的法向量分别是和，平面α与平面β所成的夹角为θ，
思考：角θ与向量的夹角〈，〉满足什么关系式？
设平面α，β的法向量分别是和，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝.
新知应用
题型一：异面直线所成角
1.已知四棱锥S－ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？
新知应用
√
题型一：异面直线所成角
新知应用
题型一：异面直线所成角
新知应用
题型二：直线与平面所成角
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PAB为正三角形，且侧面PAB 底面ABCD，M为 PD的中点.
求直线BM 与平面 PAD 所成角的大小；
新知应用
设E是AB的中点，连接PE，∵ABCD是正方形，PAB为正三角形，∴PE AB .
又∵面PAB 面ABCD，交线为AB，∴PE 平面ABCD.
以E为原点，分别以EB，EO，EP 所在直线为x,y,z轴，如图，建立空间直角坐标系，则E(0,0,0)，B(1,0,0)，A(-1,0,0)，P(0,0,)，C(1,2,0)，D(-1,2,0)，M(,1,)，
∴，，
设平面PAD的法向量为，则，
令.则，得( .
设直线BM与平面PAD所成角为，
∴，即直线与平面所成角的正弦值，
故所求角大小为60°.
题型二：直线与平面所成角
新知应用
4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，
A1C=AA1=2AB=2AC=2BC，．.
(1)证明：平面ABC 平面AA1B1B．
(2)设P是棱CC1的中点，求AC与平面PA1B1所成角的正弦值．
解：(1)设AB=2．在四边形AA1B1B中，∵AA1=2AB，，连接A1B，
∴由余弦定理得 A1B2=AA21+AB2-2AA1=12，即A1B=，
∵ A1B2+AB2=AA12，∴A1B AB．
又∵ A1B2+BC2=A1C2，∴ A1B BC ，AB BC=B，∴ A1B 平面ABC，
∵A1B 平面AA1B1B，∴平面ABC 平面AA1B1B．
题型二：直线与平面所成角
新知应用
(2)取AB中点D，连接CD，∵AC=BC，∴CD AB，
由（1）易知CD平面AA1B1B，且 CD=．
如图，以B为原点，分别以射线BA，BA1为x，y轴的正半轴，建立空间
直角坐标系B-xyz，
则A(2,0,0)，A1(0,2,0)，C(1,0,)，B1(-2,2,0)，C1(-1,2,)，P(0,．
，，
设平面PA1B1的法向量为 ，则，得，
令，则取 ，
，=，
所以 AC与平面PA1B1所成角的正弦值为．
题型二：直线与平面所成角
新知应用
5.如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.
(1)求证：平面 ；
(2)若求二面角的正弦值.
(1)证：由已知得，平面，平面，
故.又，，所以平面.
(2)由(1)知.由题设知，
所以，故
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
题型三：平面与平面所成角
新知应用
(2)则，，，，，
，.
设平面的法向量为，则即
所以可取.
设平面的法向量为，则即
所以可取
于是.
所以二面角的正弦值为.
题型三：平面与平面所成角
课堂小结
