1.2 集合的基本关系 综合测试（含解析）

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1.2 集合的基本关系同步练测
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．如果 A {x R | x 1}，那么（ ）
A．0 A B． 0 A C． A D． 0 A
2．集合 A x N 5 2x 1 5 的子集个数为（ ）．
A．4 B．7 C．8 D．16
3．已知集合 A 1,a2 ，B 1,9, a ，若 A B ，则实数 a 组成的集合为（ ）
A． 3, 1,0,3 B． 3,3 C． 1,0,3 D． 3,0,3
4．设集合 A= x 1A． a a 2 B． a a 1 C． a a 1 D． a a 2
5．已知集合M (x, y) | x2 y2 2, x Z, y Z ，则集合M 的真子集的个数为（ ）
A． 29 1 B． 28 1 C． 25 D． 24 1
6．若集合A 满足 A B ， A C ，B {0,1,2,3}，C {0,2,4,8}，则满足上述条件的集
合A 的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
7 ．集合 1,a,
b 2
a
0,a ,a b ，则 a2016 b2015的值为（ ）

A．0 B．1 C．－1 D．±1
8．若集合 A x | a x 2a 1 ，B x |1 x 3 ，且 A B ，则 a 的取值范围是
（ ）
A． a 1 B． a 2 C．1 a 2 D． a 2
二、多选题：本大题共 4 小题，每个小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，只有
一项或者多项是符合题目要求的.
9．下列表述正确的是（ ）
A．0 0,1,2 B． 0,1,2 2,1,0 C． 0,1,2 D． 0
10 2．已知集合 A x∣ax 2x a 0,a R ，若集合 A 有且仅有 2 个子集，则 a 的取值
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有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
11．若集合M {x | x2 x 6 0}， N {x | ax 1 0}，且 N M ，则实数 a的值为
（ ）
1
A． B 1． 0 C． 2 D．13
1 n 1 n
12 ．集合M x | x ,n Z ， N x | x ,n Z ，则下列关系错误的是
3 6
6 3
（ ）
A．M N B．M = N C． N M D．M N
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知集合 A x | x 4或 x 5 ，B x | a 1 x a 3 ，若B A，则实数 a的
取值范围_________．
12
14．设集合 A x N | y N ，则集合A 的子集个数为________
x 3
15．若集合 A x | x a2 1, a N ，B y | y b2 4b 5,b N ，则集合 A 与 B 的关
系是______．
16．已知M x x2 2x 3 0 N x x2， ax 1 0,a R ，且 N M ，则 a 的取值
范围为_________．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．已知集合 A {a,b,2}，B {2,b2 ,2a}，若 A B ，求实数 a，b 的值.
18．设集合 A {x | 1 x 6}，B {x | m 1 x 2m 1}，且B A．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)当 x N时，求集合 A 的子集的个数．
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19 2．已知集合 A x x 2x a 0 ．
（1）若 是A 的真子集，求 a的范围；
2 B x x2（ ）若 x 0 ，且A 是 B 的子集，求实数 a的取值范围．
20．已知 A x∣x2 4x 0 , B x∣x2 2 a 1 x a2 1 0 .
(1)若A 是 B 的子集，求实数 a的值；
(2)若 B 是A 的子集，求实数 a的取值范围.
21．设集合 A x | 2 x 5 ，B x | m 1 x 2m 1 .
（1）若B A，求实数m 的取值范围；
（2）当 x Z 时，求A 的非空真子集个数；
（3）当 x R 时，不存在元素 x 使 x A与 x B 同时成立，求实数m 的取值范围.
22．已知集合 A 2,6 .
(1)若集合B a+1，a2 23 ，且 A B ，求 a的值；
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(2)若集合C x ax2 x 6 0 ，且A 与C 有包含关系，求 a的取值范围.
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参考答案
1．D
【解析】对于 A： 0 是元素，所以故 0 与集合A 的关系是0 A，故 A 错误；
对于 B：{0}是集合，所以{0}与集合A 的关系是 0 A，故 B 错误，D 正确，
对于 C： 是集合，所以 A，故 C 错误，
故选：D．
2．C
【解析】因为 A x N | 5 2x 1 5 x N| 2 x 3 0,1,2 ，
所以该集合的子集的个数为 23 8，故选：C．
3．D
a2 9 a2 a
【解析】∵ A B

，则有： a 1

或 a 1 ，解得： a 3或 a 3或 a 0，

a 9

a 9
∴实数 a 组成的集合为 3,0,3 .故选：D.
4．A
【解析】因为 A= x 15．A
M (x, y) | x2 2【解析】集合 y 2, x Z, y Z
( 1,0), ( 1,1), ( 1, 1), (0, 1), (0,0), (0,1), (1, 1), (1,0)，(1,1) ，
所以集合M 中的元素个数为 9，故其真子集的个数为 29 1个，故选: A
6．D
【解析】因为 A B ， A C ，所以A 中最多能含有 0，2 两个元素，
所以 A ，{0， 2}，{0}，{2}共 4 个．故选：D．
7．B

【解析】因为 1,a,
b
a 0,a
2 ,a b ，且 a 0，

b
所以 0，即b 0，所以 a2a 1
， a 1，又因为 a 1，所以 a 1，
所以 a2016 b2015 = 1 2016 02015 1，故选 B.
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8．D
【解析】若 a 2a 1，即 a 1时， A ，满足 A B ，
若 A ，则 a 1，因为 A B ，
a 1
所以 ，解得1 a 2，所以1 a 2，
2a 1 3
综上，a 的取值范围是 a 2 .故选：D.
9．ABC
【解析】0 0,1, 2 ，故 A 正确；
0,1,2 2,1,0 ，故 B 正确；
0,1,2 , 0 ，故 C 正确，D 错误.
故选：ABC.
10．BCD
【解析】因为集合A 仅有 2个子集，所以集合A 中仅有一个元素，
当 a 0时， 2x 0，所以 x 0，所以 A 0 ，满足要求；
当 a 0时，因为集合A 中仅有一个元素，所以 4 4a2 0，所以 a 1，
此时 A 1 或 A 1 ，满足要求，
故选：BCD.
11．ABC
【解析】M {x | x2 x 6 0} {x | (x 2)(x 3) 0} 3,2 ， N {x | ax 1 0}，
当 a 0时， N ， N M ，可取，
当 a 0时， x
1 1 1
，令 3， a ，可取，
a a 3
1
令 2， a
1
，可取，
a 2
a 1 1综上 、 a 0或 a ，故选：ABC.
3 2
12．ABD
n 2 2n 1
【解析】因为M x | x ,n Z ， N x | x ,n Z
6

6
n 2 表示整数， 2n +1表示奇数，
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故 N M ，故选项 A、B、D 错误，选项 C 正确， 故选：ABD.
13． a |a 8或 a 3
【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使B A，只需 a 3 5或 a 1 4，解得 a 8或 a 3．
所以实数 a的取值范围 a |a 8或 a 3 .
14．16
【解析】 A 0,1,3,9 ，故 A 的子集个数为24 16，
15．B A（或 B A）
【解析】因为b2 4b 5 b 1 2 1，
所以B y | y b2 4b 5,b N y | y b 1 2 1,b N ，
因为a 0,1,2,3, ，b 1 1,2,3, ，所以B A .
故答案为：B A（或 B A）.
16．{a | 2 a 2}
2
【解析】由题意，集合M x∣x 2x 3 0 1,3 ，
当 N 时，即 a2 4 0，解得 2 a 2，此时满足 N M ，
当 N 时，要使得 N M ，则 1 N 或3 N ，
当 1 N 时，可得 ( 1)2 a 1 0，即 a 2，此时 N { 1}，满足 N M ；
当3 N 时，可得32 3a 1 0，即 a
10 N {3, 1 ，此时 }，不满足 N
3 3
M ，
综上可知，实数 a的取值范围为{a | 2 a 2} .
a 2a a b2
17．【解析】由已知 A B ，得 b b2 （1）或 .（2） b 2a
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1
a 0 a 0 a 0 a
解（1）得 或 ，解（2
4
b 0 b 1 ）得 b 0或 ，

b 1
2
1
a 0 a 4
又由集合中元素的互异性得 b 1或
.
b 1
2
18．【解析】（1）当m 1 2m 1即m 2时，B ，符合题意；
m 1 2m 1
B
5
当 时，有 m 1 1 ，解得0 m ．
2
2m 1 6
5
综上实数m 的取值范围是{m | m 2 或 0 m }；
2
（2）当 x N时， A {0,1,2,3,4,5,6}，所以集合A 的子集个数为 27 128个．
19 2．【解析】（1）∵若 是A 的真子集，∴ A x x 2x a 0 ，
∴D = 4+ 4a 0，∴ a 1；
（2）B x x2 x 0 0, 1 ，
∵ A B ，∴ A ， 0 ， 1 ， 0, 1 ，
A ，则 4 4a 0，∴ a 1；
A 是单元素集合， 4 4a 0，∴ a 1此时
A 1 ，符合题意；
A 0, 1 ，0 1 1 2不符合.
综上， a 1．
20．【解析】（1）由题得 A 4,0 .
Δ 0
若A 是 B 的子集，则B A 4,0 ，所以 4 0 2(a 1) , a 1.

4 0 a
2 1
（2）若 B 是A 的子集，则B A .
①若 B 为空集，则Δ 4(a 1)2 4 a2 1 8a 8 0，解得 a 1；
②若 B 为单元素集合，则Δ 4(a 1)2 4 a2 1 8a 8 0，解得 a 1 .
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将 a 1代入方程 x2 2 a 1 x a2 1 0，
得 x2 0，即 x 0, B 0 ，符合要求；
③若 B 为双元素集合，B A 4,0 ，则 a 1 .
综上所述， a 1或 a 1 .
21．【解析】（1）当m 1 2m 1，即m 2时，B ，满足B A .
当m 1 2m 1，即m 2时，要使B A成立，
m 1 2,
只需 2 m 3
2m
即 .
1 5,
综上，当B A时，m 的取值范围是 m | m 3 .
（2）当 x Z时， A 2, 1,0,1,2,3,4,5 ，
∴集合A 的非空真子集个数为 28 2 254 .
（3）∵ x R ，且 A x | 2 x 5 ，B x | m 1 x 2m 1 ，
又不存在元素 x 使 x A与 x B 同时成立，
∴当B ，即m 1 2m 1，得m 2时，符合题意；
当B ，即m 1 2m 1，得m 2时，
m 2, m 2,
或 m 4
m 1 5, 2m
解得 .
1 2,
综上，所求m 的取值范围是 m | m 2或m 4 .

a 1 2 a2 23 2
22．【解析】（1）因为 A 2,6 ，且 A B ，所以 a2 23 6或 ， a 1 6
a 1 a 5
解得 或 a 5
a 29 a 5
，故 .

2
（2）因为 A 与 C 有包含关系， A 2,6 ，C x ax x 6 0 至多只有两个元素，
所以C A .
当 a 0时，C 6 ，满足题意；
当 a 0时，
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1
当C 时， 1 4a 6 0，解得 a ，满足题意；
24
当C 2 时， 1 4a 6 0且 22 a 2 6 0，此时无解；
当C 6 时， 1 4a 6 0且62 a 6 6 0，此时无解；
62 a 6 6 0
当C 2,6 时， 1 4a 6 0且 22 ，此时无解； a 2 6 0
1
综上，a 的取值范围为 a a 0或a .
24


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