8.6.2 直线与平面垂直的判定 (课件 共48张ppt)

(共48张PPT)
8.6.2 直线、平面垂直的判定及其性质
8.6.2 直线与平面垂直的判定
复习回顾：
空间直线和平面有几种位置关系？
A
生活中有很多直线与平面垂直的实例
实例引入
桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
旗杆与地面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
大漠孤烟直
思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.
A
B
α
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
C
C1
B1
A
B
α
内过点B的直线
AB所在直线
内不过点B的直线
α
α
AB所在直线
内任意一条直线
α
AB所在直线
⊥
⊥
⊥
一、直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.

A
平面的垂线
直线的垂面
垂足

L
P
直线和平面垂直的画法:
通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。
深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确：
1.如果一条直线与平面内一条直线垂直，那么它与平面垂直. （ ）
2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直. （ )
b
a
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？
不一定
如图：
B
C
B
C
l
①“任何”表示所有.
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.
③ 等价于对任意的直线 ，都有
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
但是，直接考察直线与平面内所有直线都垂直是不可能的，这就有必要去寻找比定义法更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!
探索新知：
做一做
想一想
A
B
C
D
1.折痕AD与桌面垂直吗？
2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）
2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
探索新知：
当折痕AD⊥BC且翻折后BD与DC不在一条直线上时,折痕AD与桌面所在平面垂直.
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
B
D
C
A
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,直线AD所在的直线与桌面垂直
m
n
P
探索新知：
由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的判定需要哪几个条件？
你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂
直判定定理吗
(1) 平面有两条直线
(2) 这两条直线要相交
(3) 平面外的直线要与这两条直线都垂直
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.
符号语言
图形语言
文字语言
O
n
m
l
α
二、直线与平面垂直的判定定理：
“线线垂直，则线面垂直”
“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直 线面垂直
定理补充
判断下列命题是否正确？
(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直( )
(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直( )
√
√
P
P
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
直线m，n．
证明：在平面 内作两条相交
分析：在平面内作两条相交直线.
因为直线
根据直线与平面垂直的定义知
又因为
所以
又因为
是两条相交直线，
所以
结论：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面.
例2. 如图，三棱锥中OA、OB、OC两两垂直
（1）求证：OA⊥平面OBC
（2）求证：OA⊥BC
B
C
A
例题示范,巩固新知
　线面垂直的判定定理
线线垂直
线面垂直
线面垂直的定义
0
图中有几个直角三角形 　　
例3、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
（1）求证：AC ⊥平面VKB （2）求证：VB ⊥AC
A
B
C
V
K
(1)连接VK,KB，由VA=VC,K为AC中点，由三线合一可知VK ⊥AC,
同理可得KB ⊥AC，且VK∩KB=K
所以AC ⊥平面VKB (判定定理)
(2)由(1)可知，AC ⊥平面VKB
又因为VB 平面VKB
所以VB ⊥ AC (定义)
变式：
1、在例3中若E、F分别为AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系．
A
V
B
C
E
F
K
例3、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
（1）求证：AC ⊥平面VKB （2）求证：VB ⊥AC
2、在1的条件下，有人说“VB⊥AC，VB⊥EF， VB⊥平面ABC”，对吗？
练习1、在正方体AC1中，求证：
(2)D1B⊥平面ACB1
(1)AC⊥平面D1DB
C1
B
D1
A
C
A1
D
B1
C1
B
D1
A
C
A1
D
B1
练习1、在正方体AC1中，求证：
(2)D1B⊥平面ACB1
由异成直线所成的角知
D1B⊥平面ACB1
B
C
Ｐ
D
A
F
E
1．直线与平面垂直的定义
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
归纳小结
2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直