2022-2023学年上海市浦东新区协和双语学校八年级（上）期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年上海市浦东新区协和双语学校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分）
1．（3分）在下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列各式中，一定成立的是（　　）
A．＝a+b B．＝a2+1
C．＝ D．＝
4．（3分）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
5．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，配方后所得的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3
6．（3分）在下列各组的三个条件中，能判定△ABC和△DEF全等的是（　　）
A．AC＝DF，BC＝DE，∠B＝∠D B．∠A＝∠F，∠B＝∠E，∠C＝∠D
C．AB＝DF，∠B＝∠E，∠C＝∠F D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）如果式子有意义，那么x的取值范围是　 　．
8．（3分）写出的一个有理化因式 　 　．
9．（3分）计算：＝　 　．
10．（3分）不等式x﹣2＜x的解集是 　 　．
11．（3分）方程（x+2）2＝9的解是 　 　．
12．（3分）方程x2＝x的根是　 　．
13．（3分）等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个实数根，则m的值是　 　．
14．（3分）命题“对顶角相等”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
15．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD、BE相交于点F，如果BF＝AC，CD＝2，那么AF＝　 　．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，BD平分∠ABC，垂足为E，则AE＝　 　cm．
17．（3分）如图△ABC中，D是AC边的中点，过D作直线交AB于点E，且AE＝CF．若BC＝6，CF＝5　 　．
18．（3分）如图，已知△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转，点B落在点D处，联结BD，那么∠BAC＝　 　度．
三、解答题（本大题共8题，19-25每题8分，26题10分，满分66分）
19．（8分）计算：+6﹣（）．
20．（8分）计算：2×÷3
21．（8分）解方程：（2x﹣1）2＝4x．
22．（8分）已知x＝，求的值．
23．（8分）如图，已知AB＝AC，∠BEF＝∠CFH，M是EH的中点．求证：∠EFM＝∠HFM．
24．（8分）已知，如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥CD于D，且有AC＝AD＝CE，求证：DE＝
25．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，且AD＝AE，点F在BC的延长线上
（1）求证：∠ABD＝∠ACE．
（2）求证：CE∥DF．
26．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在射线AC上（点D不与点A重合）
（1）若点D在边AC时，延长AC至点G，CG＝AD，交BC于点E，过G作HG⊥AG交DE延长线于点H．求证：BD＝DH．
（2）过点A作AF⊥BD，垂足为F，射线AF交BC于点N，且∠QNC＝∠ANB．求证：AQ＝CD．
2022-2023学年上海市浦东新区协和双语学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分）
1．（3分）在下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的意义，逐个进行判断即可．
【解答】解：A.＝，因此，所以选项A不符合题意；
B.＝2不是最简二次根式；
C.是最简二次根式；
D.＝|x|不是最简二次根式；
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确解答的关键．
2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：与是同类二次根式的是，
故选：C．
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
3．（3分）下列各式中，一定成立的是（　　）
A．＝a+b B．＝a2+1
C．＝ D．＝
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质进行化简．
【解答】解：A、＝|a+b|；
B、＝|a2+6|＝a2+1|，故本选项正确；
C、只有a+3≥0，故本选项错误；
D、只有当b＞0时该等式才能力；
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简．解答此题，要弄清以下问题：
①定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a＝0时，＝0；当a＜0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
②性质：＝|a|．
4．（3分）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝8＞0，进而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，
∴Δ＝b7﹣4ac＝24﹣4×1×（﹣4）＝8＞0，
∴一元二次方程x2+2x﹣1＝3有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，配方后所得的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3
【答案】C
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，“配方”一步．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0
移项得，x2﹣8x＝﹣1，
两边加4得，x7﹣4x+4＝﹣8+4，
即：（x﹣2）2＝3．
故选：C．
【点评】此题最重要的一步是在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
6．（3分）在下列各组的三个条件中，能判定△ABC和△DEF全等的是（　　）
A．AC＝DF，BC＝DE，∠B＝∠D B．∠A＝∠F，∠B＝∠E，∠C＝∠D
C．AB＝DF，∠B＝∠E，∠C＝∠F D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判定即可．
【解答】解：A、根据AC＝DF，∠A＝∠D，不能判断△ABC和△DEF全等；
B、根据∠A＝∠F，∠C＝∠D，故本选项不符合题意；
B、AB＝DF，∠C＝∠F，不能判定△ABC和△DEF全等；
D、根据AB＝EF，∠B＝∠F，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）如果式子有意义，那么x的取值范围是　x≥4　．
【答案】x≥4．
【分析】根据被开方数为非负数即可求解．
【解答】解：∵x﹣4≥0．
∴x≥7．
故答案为：x≥4．
【点评】本题考查二次根式的意义，关键在于利用被开方数为非负数，建立不等式求解集．
8．（3分）写出的一个有理化因式 　（答案不唯一）　．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据有理化因式的意义和完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：∵ ＝（）2＝a﹣2b，
∴是的有理化因式，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查分母有理化，理解有理化因式的意义是正确解答的关键．
9．（3分）计算：＝　4﹣π　．
【答案】4﹣π．
【分析】根据算术平方根的非负性得出结论即可．
【解答】解：＝8﹣π，
故答案为：4﹣π．
【点评】本题主要考查算术平方根的知识，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键．
10．（3分）不等式x﹣2＜x的解集是 　x＜+1　．
【答案】x＜．
【分析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．
【解答】解：移项得，x﹣x＜2，
合并同类项得，（）x＜2，
x的系数化为5得，x＜．
故答案为：x＜．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
11．（3分）方程（x+2）2＝9的解是 　x1＝1，x2＝﹣5　．
【答案】x1＝1，x2＝﹣5．
【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：（x+2）2＝3，
∴x+2＝±3，
∴x＝﹣6±3，
即x1＝2，x2＝﹣5，
故答案为：x5＝1，x2＝﹣5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12．（3分）方程x2＝x的根是　x1＝0，x2＝　．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x﹣）＝0，
可得x＝5或x﹣＝0，
解得：x6＝0，x2＝．
故答案为：x1＝0，x3＝
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个实数根，则m的值是　8或9　．
【答案】见试题解答内容
【分析】分类讨论：设等腰△ABC的腰长为a，底边长为b，当a＝4，则4和b是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个实数根，根据根与系数的关系得到4+b＝6，4×b＝m；当b＝4，则a和a是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个实数根，根据根与系数的关系得到a+a＝6，a×a＝m，然后分别解方程即可．
【解答】解：设等腰△ABC的腰长为a，底边长为b，
当a＝4，则4和b是关于x的方程x5﹣6x+m＝0的两个实数根，
∴4+b＝6，4×b＝m，
∴b＝4，m＝8；
当b＝4，则a和a是关于x的方程x8﹣6x+m＝0的两个实数根，
∴a+a＝8，a×a＝m，
∴a＝3，m＝9．
故答案为：5或9．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
14．（3分）命题“对顶角相等”的逆命题是　假　命题（填“真”或“假”）．
【答案】见试题解答内容
【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为假．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
15．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD、BE相交于点F，如果BF＝AC，CD＝2，那么AF＝　4　．
【答案】4．
【分析】利用AAS证明△BFD≌△ACD，得BD＝AD，CD＝DF，即可解决问题．
【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°，
∵∠CAD+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°，
∴∠CBE＝∠CAD，
在△BFD与△ACD中，
∴△BFD≌△ACD（AAS），
∴BD＝AD，CD＝DF，
∵BC＝8，CD＝2，
∴BD＝AD＝BC﹣CD＝6﹣2＝6，
∴AF＝AD﹣DF＝8﹣2＝4，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△BFD≌△ACD是解题的关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，BD平分∠ABC，垂足为E，则AE＝　2　cm．
【答案】2．
【分析】根据已知条件得到，再根据角平分线的性质得到ED＝CD，BE＝BC，设ED＝CD＝x（x＞0），在Rt△AED中，得到AD2＝AE2+ED2，代入求解即可；
【解答】解：根据已知条件可知，在Rt△ABC中，AB＝10cm，则由勾股定理可得：，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴ED＝CD，BE＝BC，
设ED＝CD＝x（x＞0），
在Rt△AED中，AD2＝AE7+ED2，即（6﹣x）3＝（10﹣8）2+x2，
解得：，即；
∴，
在Rt△AED中，，
∴AE＝4或﹣2（舍去）；
故答案是：2．
【点评】本题主要考查了勾股定理和角平分线的性质，准确理解题意，找准直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．
17．（3分）如图△ABC中，D是AC边的中点，过D作直线交AB于点E，且AE＝CF．若BC＝6，CF＝5　16　．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点A作AH∥BF交FE的延长线于点H，由“AAS”可证△ADH≌△CDF，可得AH＝CF＝AE，可得∠H＝∠AEH＝∠F＝∠FEB，可得BE＝BF＝11，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AH∥BF交FE的延长线于点H，
∴∠H＝∠F，且AD＝DC，
∴△ADH≌△CDF（AAS）
∴AH＝CF，
∵AE＝CF＝5，
∴AH＝AE＝5，
∴∠H＝∠AEH，
∴∠AEH＝∠F＝∠FEB，
∴BE＝BF＝BC+CF＝11，
∴AB＝AE+BE+5+11＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
18．（3分）如图，已知△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转，点B落在点D处，联结BD，那么∠BAC＝　36　度．
【答案】见试题解答内容
【分析】设∠BAC＝x，依据旋转的性质，可得∠DAE＝∠BAC＝x，∠ADB＝∠ABD＝2x，再根据三角形内角和定理即可得出x．
【解答】解：
设∠BAC＝x，由旋转的性质
∠DAE＝∠BAC＝x，
∴∠DAC＝∠DBA＝2x，
又∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝2x，
△ABD中，∠BAD+∠ABD+∠ADB＝180°，
∴x+5x+2x＝180°，
∴x＝36°，
即∠BAC＝36°，
故答案为：36
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：旋转前、后的图形全等．
三、解答题（本大题共8题，19-25每题8分，26题10分，满分66分）
19．（8分）计算：+6﹣（）．
【答案】．
【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
【解答】解：原式＝+2﹣）
＝+2+
＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法的运算法则，化简二次根式是解题关键．
20．（8分）计算：2×÷3
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2××
＝a2b2．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21．（8分）解方程：（2x﹣1）2＝4x．
【答案】x1＝，x2＝．
【分析】方程整理为一般形式，利用公式法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：4x2﹣3x+1＝0，
这里a＝7，b＝﹣8，
∵b2﹣3ac＝64﹣16＝48＞0，
∴x＝＝，
解得：x3＝，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
22．（8分）已知x＝，求的值．
【答案】．
【分析】分母有理化求出x的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵x＝＝3+6，
∴x﹣3＝6+2﹣6＝2，
则原式＝＝＝．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（8分）如图，已知AB＝AC，∠BEF＝∠CFH，M是EH的中点．求证：∠EFM＝∠HFM．
【答案】证明过程见详解．
【分析】证明△BEF≌△CFH（ASA），△EFM≌△HFM（SSS）即可求解．
【解答】证明：∵AB＝AC，∠BEF＝∠CFH，
∴∠B＝∠C，
在△BEF和△CFH中，
，
∴△BEF≌△CFH（ASA），
∴EF＝FH，
∵M是EH的中点，
∴EM＝HM，FM为公共边，
∴△EFM≌△HFM（SSS），
∴∠EFM＝∠HFM．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法和性质是解题的关键．
24．（8分）已知，如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥CD于D，且有AC＝AD＝CE，求证：DE＝
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，作辅助线；首先证明△ACF≌△CED，得到CF＝DE；其次证明CF＝CD，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥CD；
∵∠C＝90°，DE⊥CD，
∴∠ACF+∠DCE＝∠DCE+∠DEC，
∴∠ACF＝∠DEC；
在△ACF与△CED中，
，
∴△ACF≌△CED（AAS），
∴CF＝DE；
∵AC＝AD，且AF⊥CD，
∴CF＝CD，
∴DE＝CD．
【点评】该题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用全等三角形的判定、等腰三角形的性质等几何知识点来分析、判断、解答．
25．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，且AD＝AE，点F在BC的延长线上
（1）求证：∠ABD＝∠ACE．
（2）求证：CE∥DF．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得∠ABD＝∠ACE；
（2）由等腰三角形的性质可得∠DBF＝∠F，由外角的性质可得∠ACE＝∠CDF，可得结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE；
（2）∵DB＝DF，
∴∠DBF＝∠F，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠ACB＝∠F+∠CDF，
∴∠ABD＝∠CDF，
∴∠ACE＝∠CDF，
∴CE∥DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
26．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在射线AC上（点D不与点A重合）
（1）若点D在边AC时，延长AC至点G，CG＝AD，交BC于点E，过G作HG⊥AG交DE延长线于点H．求证：BD＝DH．
（2）过点A作AF⊥BD，垂足为F，射线AF交BC于点N，且∠QNC＝∠ANB．求证：AQ＝CD．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）利用ASA证明△ABD≌△GDH即可得结论；
（2）过C作CE⊥AC交AN延长线于点E，先利用ASA证明△QNC≌ENC，可得CQ＝CE，再证明△ABD≌△CAE，可得AD＝CE；进而根据线段的和差即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CG＝AD，
∴CG+DC＝AD+DC，
∴DG＝AC＝AB，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝∠A＝90°，
∴∠ADB+∠GDH＝∠ADB+∠ABD，
∴∠ABD＝∠GDH，
在△ABD和△GDH中，
，
∴△ABD≌△GDH（ASA），
∴BD＝DH；
（2）证明：如图，过C作CE⊥AC交AN延长线于点E，
∴∠ECQ＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ECN＝45°，
∴∠QCN＝∠ECN，
∵∠QNC＝∠ANB．∠ENC＝∠ANB．
∴∠QNC＝∠ENC．
在△QNC和ENC中，
，
∴△QNC≌ENC（ASA），
∴CQ＝CE，
∵AF⊥BD，
∴∠AFD＝∠BAC＝90°，
∴∠ADB+∠FAD＝∠ADB+∠ABD，
∴∠ABD＝∠FAD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴AD＝CE；
∵CQ＝CE，
∴AD＝CQ，
∴AD+DQ＝CQ+CQ，
∴AQ＝CD．
【点评】本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．