江西省宜春市重点中学2023-2024学年高二上学期开学测试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 江西省宜春市重点中学2023-2024学年高二上学期开学测试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-22 08:16:37 | ||
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文档简介
宜春市重点中学2023-2024学年高二上学期开学测试
数学试题
时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1．“为三角形的一个内角”是“为第一、二象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
3．下列函数中， 既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
5．要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
6．已知函数，其中为实数，且对任意恒成立，记，，，则p，q，r的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
8．已知矩形，，，将沿折起到．若点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则且
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．在中，角所对的边分别为，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．已知平面向量，，，若，，，设与的夹角为，则下列说法正确的有（ ）
A．若起点为原点，其终点构成的轨迹为一条直线 B．的模的最大值为
C．最大值为 D．最小值为
12．如图，正方体的棱长为1，点M是侧面上的一个动点，点P是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积与点M的位置有关
B．若．则点M在侧面上运动路径的长度为
C．若，则的最大值为
D．若，则的最小值为
三、填空题（共20分）
13．扇形的圆心角为1，半径为1，则扇形的面积为 ．
14．已知向量，且与共线，则实数 ．
15．设，，且，则 .
16．如图，在多面体中，已知，，，平面平面，四边形是正方形，则点到平面的距离是 .
四、解答题（共70分）
17．设函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求不等式的解集.
18．设复数，其中i为虚数单位，．
(1)若，求的模；
(2)若是纯虚数，求实数a的值.
19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若，求的取值范围．
20．如图，在三棱锥中，底面，，，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求四面体的体积.
21．水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（），设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为．
(1)求与的函数解析式；
(2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）；
(3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出与的函数解折式．（参考数据：）
22．在四棱台中，平面，，，，，，垂足为M.
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角正弦值为，求直线平面所成角的余弦值.
答案
1．D
为三角形的一个内角，当时，不是第一、二象限角，
故“为三角形的一个内角”推不出“为第一、二象限角”；
当为第一、二象限角时，不妨取，不是三角形的一个内角，
故“为第一、二象限角”推不出“为三角形的一个内角”；
故“为三角形的一个内角”是“为第一、二象限角”的既不充分又不必要条件，
故选：D
2．C
因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
所以，，，，故ABD错误，C正确.
故选：C.
3．D
对于A，令，则，，
所以，则不是奇函数，故A错误；
对于B，令，则，，
所以，则不是增函数，故B错误；
对于C，令，则，，
所以，则不是增函数，故C错误；
对于D，令，则的定义域为，
又，所以是奇函数，
又由幂函数的图像性质可知是增函数，故D正确.
故选：D.
4．A
由图形知，在原中，，如图，
因为，所以，
，，
又，.
为等边三角形.
故选：A
5．C
因为，将的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，
再向左平移个单位长度得，即得到函数的图象.
故选：C
6．D
解：函数，，
对任意恒成立，
∴当时，函数取得最大值，
即，，即，，
则函数，，
则，
，
，
∵函数在上单调递增，
∵，
，即.
故选：D．
7．B
在三角形中，，
，
由正弦定理得，
，
在三角形中，，
所以，所以，
由余弦定理得海里.
故选：B
8．D
在矩形中，，，过点作于，交边于，如图，
，，
所以，，，
所以，，则，
则，
把沿折起到的过程中，，，
又因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，平面平面，
由面面垂直的性质定理可知，点在平面上的射影在直线上，
因为点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则当平面时，
点到平面的距离最大，于是，
当平面时，点到平面的距离最小，如图，此时，
于是，从而，
而，
所以，.
故选：D.
9．BCD
对于A，若，则结论不成立，错误；
对于B，如图：
设，在l上选一点S，分别在平面内作，在PS和QS上分别选点P，Q，
过P，Q作的垂线，则有，所以四边形SQTP是平行四边形，相交于T点，
又，四边形是矩形，，
又，正确；
对于C，如图：
，在n上选一点S，在平面内作直线SP，使得，令为，在平面内作直线QS，使得，
由于，则根据二面角的定义有，，
又，正确；
对于D，
，在平面内作直线，使得，
如果不平行于n，则由于同在平面内，则必定相交于一点P，则，
在平面内，过P点作直线，使得，则有，与平行线的传递性质矛盾，
，正确；
故选：BCD.
10．BD
选项A，点A到边BC的距离是1，∵，∴三角形有两解；
选项B，点A到边BC的距离是2与b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；
选项C，点A到边BC的距离是，三角形无解；
选项D，根据已知可解出，，
∴三角形有唯一解.
故选：BD.
11．BD
对于A，设，则，
因为，所以，
化简得，即，
所以若起点为原点，其终点构成的轨迹是一个圆，所以A错误，
对于B，因为若起点为原点，则其终点构成的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以的模的最大值为，所以B正确，
对于CD，因为，所以，
所以，
所以
，当且仅当，即时，取等号，
由选项B可知，所以能取到，所以有最小值，
当或时，，此时有最大值1，
所以C错误，D正确，
故选：BD
12．BC
对于选项A：如图1，三棱锥的体积，
因为点P为的中点，所以的面积是定值，
又因为点M到面的距离是正方体的棱长，
所以三棱锥的体积是定值，故A错误；
对于选项B：如图2，过点P作，垂足为点Q，连接，
则由正方体的性质得平面，平面，所以，
又因为，正方体的棱长为1，所以，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，
所以点在侧面上运动路径的长度为，故正确；
对于选项C，D：如图3，过点作，垂足点，则点是的中点，连接QC，
取BC的中点，连接，，，则，，
因为，所以，
因为平面，且平面，所以，
，平面，
所以平面，平面，所以，
所以点的轨迹是线段，
在中，，，
可得，所以的最大值为，故C正确；
在中，，
可知为锐角，则，
所以点到的距离为，
所以的最小值为，故D错误．
故选：BC.
13．
因为扇形的圆心角为1，半径为1，
所以该扇形的面积，
故答案为：
14．3或
，
故，解得或3.
故答案为：3或
15．
由已知配方得，
解得，，又，，所以，，
所以，，所以.
故答案为：
16．
过点在平面内作，垂足为点，如图，
因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
，，平面，平面，
所以点到平面的距离为，
因为四边形为正方形，则，
平面，平面，平面，
因为平面，平面平面，，
则，又，，
，，，
由等面积法可得.
因此，点到平面的距离为.
故答案为：.
17．(1)
(2)，
（1）的最小正周期.
（2）不等式，即，所以，
求得，故不等式的解集为，.
18．(1)
(2)
（1）由题设，则，
所以的模为.
（2）由题意，为纯虚数，
所以，解得.
19．(1)
(2)
（1）若选①：，
则，
∴
∴
∵，，
∴，∵，∴.
若选②：，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴．
若选③：，
则，
由正弦定理得，
∴∴，
∴，
∵，∴．
（2）由正弦定理得，
，
则，
，
∵，，，
∴.
20．(1)证明见解析
(2)
（1）根据题意，分别是的中点，所以可得，
显然平面，而平面，
所以平面.
（2）由平面，所以即是四面体的高，
又因为，，
所以底面面积，
由椎体体积公式可得四面体体积.
即四面体的体积为.
21．(1)
(2)
(3)
（1）由题意设（，，），
则，，则，
由题意，是锐角，所以，
所以，又，解得，
所以与的函数解析式；
（2）河水上涨米，水面仍在圆心的下方，
在中，，
所以．
（3）水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半，
即，所以，
所以与的函数解析式．
22．(1)证明见解析
(2)
（1）连接，
因为平面，平面，
所以，因为，，平面，
所以平面，因为平面，
所以，因为，，面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为，，所以，即，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
设二面角的平面角为，二面角的平面角为，则，
因为二面角正弦值为，所以二面角的余弦值为，
因为平面，平面，故，
因为，
所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，
所以，所以，
因为，所以，所以，
因为平面，所以为直线与平面所成角，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦为.
数学试题
时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1．“为三角形的一个内角”是“为第一、二象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
3．下列函数中， 既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
5．要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
6．已知函数，其中为实数，且对任意恒成立，记，，，则p，q，r的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
8．已知矩形，，，将沿折起到．若点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则且
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．在中，角所对的边分别为，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．已知平面向量，，，若，，，设与的夹角为，则下列说法正确的有（ ）
A．若起点为原点，其终点构成的轨迹为一条直线 B．的模的最大值为
C．最大值为 D．最小值为
12．如图，正方体的棱长为1，点M是侧面上的一个动点，点P是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积与点M的位置有关
B．若．则点M在侧面上运动路径的长度为
C．若，则的最大值为
D．若，则的最小值为
三、填空题（共20分）
13．扇形的圆心角为1，半径为1，则扇形的面积为 ．
14．已知向量，且与共线，则实数 ．
15．设，，且，则 .
16．如图，在多面体中，已知，，，平面平面，四边形是正方形，则点到平面的距离是 .
四、解答题（共70分）
17．设函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求不等式的解集.
18．设复数，其中i为虚数单位，．
(1)若，求的模；
(2)若是纯虚数，求实数a的值.
19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若，求的取值范围．
20．如图，在三棱锥中，底面，，，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求四面体的体积.
21．水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（），设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为．
(1)求与的函数解析式；
(2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）；
(3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出与的函数解折式．（参考数据：）
22．在四棱台中，平面，，，，，，垂足为M.
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角正弦值为，求直线平面所成角的余弦值.
答案
1．D
为三角形的一个内角，当时，不是第一、二象限角，
故“为三角形的一个内角”推不出“为第一、二象限角”；
当为第一、二象限角时，不妨取，不是三角形的一个内角，
故“为第一、二象限角”推不出“为三角形的一个内角”；
故“为三角形的一个内角”是“为第一、二象限角”的既不充分又不必要条件，
故选：D
2．C
因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
所以，，，，故ABD错误，C正确.
故选：C.
3．D
对于A，令，则，，
所以，则不是奇函数，故A错误；
对于B，令，则，，
所以，则不是增函数，故B错误；
对于C，令，则，，
所以，则不是增函数，故C错误；
对于D，令，则的定义域为，
又，所以是奇函数，
又由幂函数的图像性质可知是增函数，故D正确.
故选：D.
4．A
由图形知，在原中，，如图，
因为，所以，
，，
又，.
为等边三角形.
故选：A
5．C
因为，将的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，
再向左平移个单位长度得，即得到函数的图象.
故选：C
6．D
解：函数，，
对任意恒成立，
∴当时，函数取得最大值，
即，，即，，
则函数，，
则，
，
，
∵函数在上单调递增，
∵，
，即.
故选：D．
7．B
在三角形中，，
，
由正弦定理得，
，
在三角形中，，
所以，所以，
由余弦定理得海里.
故选：B
8．D
在矩形中，，，过点作于，交边于，如图，
，，
所以，，，
所以，，则，
则，
把沿折起到的过程中，，，
又因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，平面平面，
由面面垂直的性质定理可知，点在平面上的射影在直线上，
因为点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则当平面时，
点到平面的距离最大，于是，
当平面时，点到平面的距离最小，如图，此时，
于是，从而，
而，
所以，.
故选：D.
9．BCD
对于A，若，则结论不成立，错误；
对于B，如图：
设，在l上选一点S，分别在平面内作，在PS和QS上分别选点P，Q，
过P，Q作的垂线，则有，所以四边形SQTP是平行四边形，相交于T点，
又，四边形是矩形，，
又，正确；
对于C，如图：
，在n上选一点S，在平面内作直线SP，使得，令为，在平面内作直线QS，使得，
由于，则根据二面角的定义有，，
又，正确；
对于D，
，在平面内作直线，使得，
如果不平行于n，则由于同在平面内，则必定相交于一点P，则，
在平面内，过P点作直线，使得，则有，与平行线的传递性质矛盾，
，正确；
故选：BCD.
10．BD
选项A，点A到边BC的距离是1，∵，∴三角形有两解；
选项B，点A到边BC的距离是2与b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；
选项C，点A到边BC的距离是，三角形无解；
选项D，根据已知可解出，，
∴三角形有唯一解.
故选：BD.
11．BD
对于A，设，则，
因为，所以，
化简得，即，
所以若起点为原点，其终点构成的轨迹是一个圆，所以A错误，
对于B，因为若起点为原点，则其终点构成的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以的模的最大值为，所以B正确，
对于CD，因为，所以，
所以，
所以
，当且仅当，即时，取等号，
由选项B可知，所以能取到，所以有最小值，
当或时，，此时有最大值1，
所以C错误，D正确，
故选：BD
12．BC
对于选项A：如图1，三棱锥的体积，
因为点P为的中点，所以的面积是定值，
又因为点M到面的距离是正方体的棱长，
所以三棱锥的体积是定值，故A错误；
对于选项B：如图2，过点P作，垂足为点Q，连接，
则由正方体的性质得平面，平面，所以，
又因为，正方体的棱长为1，所以，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，
所以点在侧面上运动路径的长度为，故正确；
对于选项C，D：如图3，过点作，垂足点，则点是的中点，连接QC，
取BC的中点，连接，，，则，，
因为，所以，
因为平面，且平面，所以，
，平面，
所以平面，平面，所以，
所以点的轨迹是线段，
在中，，，
可得，所以的最大值为，故C正确；
在中，，
可知为锐角，则，
所以点到的距离为，
所以的最小值为，故D错误．
故选：BC.
13．
因为扇形的圆心角为1，半径为1，
所以该扇形的面积，
故答案为：
14．3或
，
故，解得或3.
故答案为：3或
15．
由已知配方得，
解得，，又，，所以，，
所以，，所以.
故答案为：
16．
过点在平面内作，垂足为点，如图，
因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
，，平面，平面，
所以点到平面的距离为，
因为四边形为正方形，则，
平面，平面，平面，
因为平面，平面平面，，
则，又，，
，，，
由等面积法可得.
因此，点到平面的距离为.
故答案为：.
17．(1)
(2)，
（1）的最小正周期.
（2）不等式，即，所以，
求得，故不等式的解集为，.
18．(1)
(2)
（1）由题设，则，
所以的模为.
（2）由题意，为纯虚数，
所以，解得.
19．(1)
(2)
（1）若选①：，
则，
∴
∴
∵，，
∴，∵，∴.
若选②：，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴．
若选③：，
则，
由正弦定理得，
∴∴，
∴，
∵，∴．
（2）由正弦定理得，
，
则，
，
∵，，，
∴.
20．(1)证明见解析
(2)
（1）根据题意，分别是的中点，所以可得，
显然平面，而平面，
所以平面.
（2）由平面，所以即是四面体的高，
又因为，，
所以底面面积，
由椎体体积公式可得四面体体积.
即四面体的体积为.
21．(1)
(2)
(3)
（1）由题意设（，，），
则，，则，
由题意，是锐角，所以，
所以，又，解得，
所以与的函数解析式；
（2）河水上涨米，水面仍在圆心的下方，
在中，，
所以．
（3）水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半，
即，所以，
所以与的函数解析式．
22．(1)证明见解析
(2)
（1）连接，
因为平面，平面，
所以，因为，，平面，
所以平面，因为平面，
所以，因为，，面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为，，所以，即，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
设二面角的平面角为，二面角的平面角为，则，
因为二面角正弦值为，所以二面角的余弦值为，
因为平面，平面，故，
因为，
所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，
所以，所以，
因为，所以，所以，
因为平面，所以为直线与平面所成角，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦为.
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