江西省宜春市重点中学2023-2024学年高三上学期开学测试数学试题（含解析）

宜春市重点中学2023-2024学年高三上学期开学测试
数学试题
时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1．集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在等比数列中，，，则首项等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．过点与圆相切的两条直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．4
5．已知与之间的一组数据：若关于的线性回归方程为，则的值为（ ）
1 2 3 4
3.2 4.8 7.5
A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5
6．如图，在平行六面体中，为的中点，若，则（ ）

A． B．
C． D．
7．已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆于两点.将表示为的函数，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知函数,若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．是递增数列
B．
C．当时，
D．当或4时，取得最大值
10．设正方体中，，，的中点分别为，，，则（ ）
A． B．平面与正方体各面夹角相等
C．四点共面 D．四面体，体积相等
11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于178
12．已知函数，则（ ）
A．时，
B．时，单调递增
C．时，有两个极值点
D．若有三个不等实根，则
三、填空题（共20分）
13．若圆上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围为 .
14．在空间直角坐标系中，，若四边形为平行四边形，则 ．
15．已知正项数列的前项和为，满足，则的最小值为 .
16．已知函数．若实数满足，则的最小值为 ．
四、解答题（共70分）
17．设是公差不为0的等差数列，，成等比数列．
(1)求的通项公式：
(2)设，求数列的前项和．
18．某市教师进城考试分笔试和面试两部分，现把参加笔试的40名教师的成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100].得到频率分布直方图如图所示.

(1)分别求成绩在第4，5组的教师人数；
(2)若考官决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名进入面试，
①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲和乙同时进入面试的概率；
②若决定在这6名考生中随机抽取2名教师接受考官D的面试，设第4组中有X名教师被考官D面试，求X的分布列和数学期望.
19．已知直四棱柱中，底面为菱形，，，，E为线段上中点.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
20．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.
已知数列的前n项和为，，且满足__________.
(1)证明:数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，数列{}的前n项和为.
（i）求；
（ii）判断是否存在互不相等的正整数p，q，r使得p，q，r成等差数列且成等比数列，若存在，求出满足条件的所有p，q，r的值；若不存在，请说明理由注:如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为，O为坐标原点，线段OA的中点为D，且.
(1)求C的方程；
(2)已知点M、N均在直线上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM、AN分别交椭圆C于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直.
22．设函数，已知直线是曲线的一条切线．
(1)求实数a的值；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
答案
1．C
由题：集合，
集合，
所以.
故选：C
2．C
，，，.
故选：C
3．B
A选项，，所以A选项错误.
B选项，，所以B选项正确.
C选项，，所以C选项错误.
D选项，，所以D选项错误.
故选：B
4．D
圆化为标准方程为，
圆心坐标为，半径，
过点与圆相切的两条直线垂直，则点到圆心的距离为，
即，解得.
故选：D.
5．D
，
，
因为关于的线性回归方程为，
所以，
解得，
故选：D
6．B
因为,
所以，
故选:B.
7．B
由题意知，，
当时，切线的方程为，点，的坐标分别为，，此时；
当时，同理可得；
当时，设切线方程为，
由得，
设，两点两点坐标分别为，，则
，，
又由于圆相切，得，即，
∴，
由于当时，，
∴，，
∵，
当且仅当时，，
∴的最大值为2．
故选：B.
8．A
设，则，
又，
所以，则或．
①当时，，求导得．
当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减．
因为，所以．
又，当且时，；
当时，．
②当时，，，
根据以上信息，作出函数的大致图象如图所示．

观察图像可得：函数的图象与函数的图象仅有1个交点，
所以函数的图象与函数的图象有3个交点，
则，所以实数的取值范围为．
故选：A
9．BCD
A选项，当时，，
又，所以，
因为，
则是递减数列，故A错误；
B选项，由可得，故B正确；
C选项，令，解得，故C正确；
D选项，因为的对称轴为，开口向下，
又，所以当或4时，取得最大值，故D正确.
故选：BCD.
10．ABD
对于A，设正方体棱长为，
则，，，
，，
又，，，A正确；
对于B，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，，
，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
又平面，平面和平面的法向量分别为，，，
，
平面与正方体各面夹角相等，B正确；
对于C， 分别延长，，交延长线于点，
，，四边形为平行四边形，；
，，为的中位线，，
不重合，
平面，平面，，
与为异面直线，四点不共面，C错误；
对于D，连接，
，，四边形为平行四边形，
，又，，
平面，平面，平面，
则点到平面的距离相等，四面体，体积相等，D正确.
故选：ABD.
11．AD
由，则，所以，
又，则，
又，则，且．
所以，故A正确；
又，则，故B错误；
由，而，则，故C错误；
又，
而，故D正确．
故选：AD．
12．BCD
对于A，当时，，此时，此时，故A错误；
对于B，，令，可得，
设，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
则，即当时，，单调递增，故B正确；
对于C，由选项B可知，最小值为2，且当时，，当时，，
所以当时，直线与函数有两个不同的交点，即有两个不同的解，故当时，函数有两个极值点，故C正确；
对于D，已知是一个根，不妨设，
当时，由，可得，令，
则直线与函数的交点的横坐标为，
又，
则函数偶函数，其图象关于轴对称，所以，
所以，故D正确；
故选：BCD.
13．
由圆，可得圆心，半径为，
如图所示，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于点，
要使得圆上有4个点到直线的距离为，则满足，
又由圆心到直线的距离为，
可得，解答，即实数的取值范围是.
故答案为：.

14．
，
因为四边形为平行四边形，所以，所以，
故答案为：．
15．
因为，
当时，，所以相减得
即，整理得
又，所以，则，即
当时，，则，解得或（舍）
综上，数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，，
所以
当且仅当，即时等号成立，但，故取等不成立
所以当时，，当时，
又，所以的最小值为.
故答案为：.
16．
由，得，当时，，
所以在区间上单调递增，
因为，
所以，即，
所以，所以，又，
所以，
令，所以，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以当时，取得最小值，
故的最小值为．
故答案为：．
17．(1)
(2)
（1）设的公差为，
因为成等比数列，所以
又因为，所以，所以．
因为，所以，所以，得，
故．
（2）因为，
所以
．
18．(1)第4，5组的教师人数分别为8，4
(2)①；②分布列见解析，数学期望
（1）解：由题意，结合频率分布直方图，可得第4组的教师人数为人，
第5组的教师人数为人，所以第4，5组的教师人数分别为人和人.
（2）（2）①由频率分布直方图，可得第3组的教师人数为，
因为第3，4，5组中用分层抽样抽取6名进入面试，
所以第3，4，5组中抽取的人数分别是，
则甲，乙同时进入面试的概率为.
②由①知，随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布，
可得，
所以的分布列为
0 1 2
所以的数学期望.
19．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：在直四棱柱中，且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面，
由且，故四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面，
又平面，平面，，
则平面平面，又平面，故平面；

（2）取中点，连接，
直四棱柱中，底面为菱形，，则、、两两垂直，
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴的空间直角坐标系，如图所示：

又，，
则，
则,,，
设平面一个法向量为，则，即，
取，则，，故平面一个法向量为，
设与平面所成角为，则.
20．(1)证明见解析，
(2)（i）；（ii）不存在，理由见解析
（1）证明:若选①，由得，
两式相减得，
整理得，所以，
两式相减得，所以，所以是等差数列.
由得，所以，又，所以的公差，
则.
若选②.由得，，
两式相减得，因为，所以，所以，
因为，中取得，所以，
所以，
.
综上，，
所以是等差数列，.
（2）（i）由（1）得，
所以，
所以，
（ii）假设存在互不相等的正整数p，q，r，使得p，q，r成等差数列且成等比数列，
则，且，因为.
所以.
所以，这与p，q，r互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数p，q，r，使得p，q，r成等差数列且成等比数列.
21．(1)
(2)证明见解析
（1）由题意知：，，则，而，
所以，即，又，
所以，解得或（舍去），故，所以的方程.

（2）令，，则，而，
所以，，
联立椭圆方程，整理得，显然，
若，则，得，则，
即，
同理，整理得，显然，
若，可得，则，即.
所以，
又，则，所以，故，而，
所以，则直线与直线垂直，得证.

22．(1)
(2)
（1）设直线与曲线相切于点处，
因为，则，即
而，所以，即
设函数，，显然在上单调递增，且，
则有唯一零点.
所以，，即实数a的值等于1.
（2）由（1）知，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以时，，显然不符合题意.
注意到是增函数，在区间上，，
所以不合题意.
接下来对进行讨论，
令，
则，
注意到，，
令，得，
注意到在上单调递增，且，
所以在时，有唯一的实数使得，．
当时，，单调递减，在时，，单调递增.
所以，
注意到，，
所以，
再设，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以.
因为，，只能.
综上所述，实数t的取值范围是.