2023-2024学年辽宁省沈阳市大东区沈东初级中学八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省沈阳市大东区沈东初级中学八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2. 在，，，，，和之间的逐次加个中，无理数个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.
A. 在和之间 B. 在和之间 C. 在和之间 D. 在和之间
4. 下列说法正确的是( )
A. 都是的立方根 B. 的算术平方根是
C. D. 的算术平方根是
5. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则，的值分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. 下列各图中表示是的函数的是( )
A. B.
C. D.
8. 第二象限的点到轴距离为，到轴距离为则点坐标为( )
A. B. C. D.
9. 小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是( )
A.
B.
C.
D.
10. 函数的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 的平方根是______ ．
12. 若点在轴上，则点的坐标为______．
13. 若是关于的正比例函数，则的值为______ ．
14. 如图，于，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于，则点表示的数是 ．
15. 已知点与点关于原点对称，则的值是 ．
16. 如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为______．
三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）
17. ；
．
18. 计算：
；
；
；
．
四、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地如图，已知，，，，，试求阴影部分的面积．
20. 本小题分
如图，长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线移动即：沿着长方形移动一周
写出点的坐标______，______；
当点移动了秒时，描出此时点的位置，并求出点的坐标；
在移动过程中，当点到轴距离为个单位长度时，求点移动的时间．
21. 本小题分
探究题
小明在玩积木游戏时，把三个正方形积木摆成一定的形状，正视图如图，
问题：若此中的三角形为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为______．
问题：若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为______三角形．
图形变化：如图，分别以直角的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出这三个半圆的面积之间有什么关系吗？请说明理由．
22. 本小题分
已知：如图，在平面直角坐标系中．
作出 关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标：______，______，______；
直接写出的面积为______；
在轴上画点，使最小．
23. 本小题分
如图是的图象．
点的坐标______ ，点的坐标______ ；
若直线上有一点，求的面积．
24. 本小题分
有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使并且，则将变成开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：
根据上述材料化简下列各式：
．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，．
点关于轴的对称点在第一象限，为实数的范围内的最大整数，点的坐标______ ，的面积______ ．
在的条件下，点是第一象限的点，且是以为腰的等腰直角三角形，点坐标______ ．
在的条件下，如图，时，以、的作等边三角形和等边，连接、交于点，连接点是轴上一动点，的最小值______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，，
，
不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、，，
，
不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，，，和之间的逐次加个是无理数，
有个，
故选：．
逐个数进行判断得出答案．
本题考查无理数的意义，掌握无限不循环的小数是无理数是正确判断的前提．
3.【答案】
【解析】解：，
，
的值在和之间，
故选：．
直接得出，进而得出的取值范围．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的范围是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：、是的立方根，不符合题意；
B、的算术平方根是，不符合题意；
C、，符合题意；
D、的算术平方根是，不符合题意，
故选：．
立方根和算术平方根的概念进行分析判断，即可作出判断．
此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：式子在实数范围内有意义，
，
解得．
故选：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
，，
故选：．
直接利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：、对于每一个的值，不都是有唯一一个值与其对应，所以不是的函数，故本选项不符合题意；
B、对于每一个的值，不都是有唯一一个值与其对应，所以不是的函数，故本选项不符合题意；
C、对于每一个的值，不都是有唯一一个值与其对应，所以不是的函数，故本选项不符合题意；
D、对于每一个的值，都有唯一一个值与其对应，所以是的函数，故本选项符合题意．
故选：．
根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
本题考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
8.【答案】
【解析】解：点在第二象限，且到轴的距离为，到轴的距离为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
故选：．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图：
根据勾股定理：，
，
故AC，
故选：．
运用勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：因为，所以，所以可很一次函数常数的图象一定经过第二、一、四象限，
故选A
一次函数常数的图象一定经过第二、一、四象限，不经过第四象限．
本题主要考查了函数图象上的点与图象的关系，图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上．并且本题还考查了一次函数的性质，都是需要熟记的内容．
11.【答案】
【解析】解：由于，
所以的平方根是，
故答案为：．
根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．
本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．
12.【答案】
【解析】解：点在轴上，则点的纵坐标为，
即，
点的横坐标为，
点坐标为故填．
根据点在轴上，点的纵坐标为得解．
解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：点在轴上，点的纵坐标为．
13.【答案】
【解析】解：是关于的正比例函数，
且，
解得：，
．
故答案为：．
利用正比例函数的定义分析得出，再代入计算即可求解．
此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：于，且，，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于，
点表示的数是：，
故答案为：
直接利用勾股定理得出的长，再利用点位置得出点坐标．
此题主要考查了实数与数轴，正确分类讨论是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
解得：，，
．
故答案是：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标互为相反数，可得，，再解即可得到、的值，进而可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
16.【答案】或
【解析】解：分两种情况：
如图，当点在矩形内部时，
点在的垂直平分线上，
；
，
由勾股定理得，
，
设为，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长为．
如图，当点在矩形外部时，
同的方法可得，
，
设为，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长为．
综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或
故答案为：或．
分两种情况讨论：点在矩形内部；点在矩形外部，分别根据折叠的性质以及勾股定理，列方程进行计算求解，即可得到的长．
本题以折叠问题为背景，主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识的综合应用；解决问题的关键利用直角三角形，运用勾股定理列方程求解．
17.【答案】解：
；
．
【解析】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用二次根式的性质化简，进而计算得出答案；
直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
18.【答案】解：原式
；
原式
；
原式
；
原式
．
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用负整数指数幂、零指数幂和绝对值的意义计算；
利用二次根式的乘除法则运算；
利用平方差公式和完全平方公式计算．
19.【答案】解：如图，连接，
，，，
，
，，
，
，
是直角三角形，
阴影部分的面积为．

【解析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，再利用面积公式计算即可．
此题考查了勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理，熟练运用逆定理判定直角三角形是解本题的关键．
20.【答案】；
【解析】解：点的坐标，故答案为：，；
当点移动了秒时，点移动了个单位长度，
点的坐标为，，，
此时，点的位置在线段上，且，
如图所示，点的坐标为边中点．
当点在上时，，
此时所用时间为；
当点在上时，，，
点的坐标为，
点的坐标为，，此时所用时间为
；
综上所述，当点移动秒或秒时，点到轴的距离为个单位长度．
根据长方形的性质，易得的坐标；
根据题意，的运动速度与移动的时间，可得运动了个单位，进而结合长方形的长与宽可得答案；
根据题意，当点到轴距离为个单位长度时，有在与上两种情况，分别求解可得答案．
本题考查了坐标与图形性质，动点问题，主要利用了矩形的性质和点的坐标的确定，难点在于要分情况讨论．
21.【答案】；直角
二是直角三角形，
，
，
，
，
．
．
【解析】解：一
的面积为：．
为直角三角形．
二见答案
【分析】
一直接根据勾股定理及正方形的性质进行解答；
二根据勾股定理得出，再根据圆的面积公式得出、、的表达式，找出其中的关系即可．
本题考查的是勾股定理及正方形的性质、圆的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．
22.【答案】解：如下图所示；，，；
；
如图所示：点即为所求．

【解析】解：如图所示：，，；
故答案为：，，；
的面积为：；
故答案为：；
如图所示：点即为所求．
【分析】
此题主要考查了轴对称变换以及轴对称求最短路线问题，正确得出对应点位置是解题关键．
直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
直接利用轴对称求最短路线的方法得出点位置．
23.【答案】
【解析】解：令，则，令，则，
点的坐标为，点的坐标为；
把代入，
得：，
，
．
根据坐标轴上点的坐标特征分别令，，代入解析式计算，即可得到、两点的坐标；
首先将代入中，求出的值，再结合三角形面积的计算公式进行解答即可．
本题考查的是一次函数图象的性质，解答此题的关键是熟知两坐标轴上点的坐标特点及三角形的面积公式．
24.【答案】解：；
．
【解析】利用已知解题方法结合完全平方公式化简求出即可；
利用已知解题方法结合完全平方公式化简求出即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
25.【答案】 或
【解析】解：点关于轴的对称点在第一象限，
点在第四象限，
，，
，
为实数的范围内的最大整数，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；；
如图，
点是第一象限内的点，且是以为腰的等腰直角三角形，
当时，，
过点作于，如图，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
当时，同的方法得，，
即：点坐标为或；
故答案为：或；
，，，
，
是等边三角形，
，，
又，
，即，
，
如图，
作关于的对称点，过作于，连接交轴于，连接，则，此时最小，
，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
根据点在第四象限内，得出不等式，进而求出的范围，进而求出点坐标，最后用三角形面积公式即可得出结论；
分两种情况：构造全等三角形求出和，即可求出点坐标；
先判断，则可求点的坐标，然后作关于的对称点过作于，连接交轴于，连接，则，此时最小，最后在利用勾股定理即可求解．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，等腰直角三角形的性质，待定系数法，等边三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
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