2023-2024学年山东省枣庄市滕州市张汪中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省枣庄市滕州市张汪中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果方程，，那么方程必有一个根为( )
A. B. C. D.
2. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是( )
A. B. C. 且 D.
3. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是( )
A. B. C. D.
4. 已知关于的一元二次方程有两根为和，则的值是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，为的中点，连接，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知多项式，下列说法正确的个数为( )
若，则代数式的值为；
当时，代数式的最小值为；
当时，若，则的取值范围是．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 一个菱形的边长为，一条对角线长是，则该菱形的面积为( )
A. B. C. D.
9. 某商品原价元，连续两次降价后售价为元，下列所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，四边形是正方形，以为边作等边，与相交于点，则下列结论中：
；
；
的度数是；
≌≌．
正确的有个．( )
A. B. C. D.
11. 现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
12. 关于的一元二次方程有一个实数根是，则的值为( )
A. 或 B. C. D. 或
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 已知关于的方程的两个根是和，则的值为______ ．
14. 若关于的方程是一元二次方程，则 ______ ．
15. 如图，在菱形中，，：：，则对角线等于______．
16. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为______．
17. 某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程______．
18. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
配方法；
；
．
20. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：不论为何值，该方程总有两个实数根；
若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
21. 本小题分
如图，在矩形中，对角线，相交于点，分别过点，作于点，于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求的长．
22. 本小题分
已知：如图，在菱形中，点，，分别为，，的中点，连接，，，．
求证：；
当与满足什么关系时，四边形是正方形？请说明理由．
23. 本小题分
某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量件与每件售价元之间符合一次函数的关系．
当每件售价元时，每天的利润是多少元？
该商场销售这种商品要想每天获得元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
该商场销售这种商品每天是否能获得元的利润？请说明理由．
24. 本小题分
已知正方形，点，分别在边，上．
如图，过点作交的延长线于点，平分交于点．
求证：≌；
试判断，，之间的数量关系，并说明理由．
如图，若，直线与，的延长线分别交于点，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，且当时，，
即：，
是原方程的一个根．
故选：．
根据题意知，当时，，即：，由此可以判定是原方程的一个根．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
2.【答案】
【解析】解：由题意知：，，
且．
故选：．
方程有两个不相等的实数根，则，由此建立关于的不等式，然后就可以求出的取值范围．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
注意到二次项系数不等于这一条件是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
移项，配方，即可得出选项．
本题考查了配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由题意知，，，
，
故选：．
由题意知，，，代入求解即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的两根为和，则，．
5.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，，，
，，，
，
由折叠得，
，
，
，，
，
解得，
故选：．
由矩形的性质得，，，则，由折叠得，所以，则，由勾股定理得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：过点作于，
在矩形中，，，
，
对角线，相交于点，
，
为的中点，
，
的面积为
故选：．
过点作于，根据勾股定理求出，得到的长度，利用面积法求出即可．
此题考查了矩形的性质，勾股定理，正确掌握矩形的性质及利用面积法求出是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
解得：或，
，
，
，
，
故是错误的，不符合题意；
当时，
，
没有最小值，
故是错误的，不符合题意；
当时，，
，
，
，
令，
，
有最大值，
，
当时，
解得，，
的解集为，
即当时，则的取值范围是．
故错误，不符合题意．
故选：．
根据，解方程求得的值后求出代数式的值即可；
当时，求出关于的解析式是一次函数，故可判断；
当时求出，再根据绝对值的意义得出，再根据二次函数的性质求出的取值范围．
本题考查了配方的应用和一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
8.【答案】
【解析】解：如图，当时，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
菱形的面积是：，
故选：．
根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．
本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
9.【答案】
【解析】解：根据题意可得，
，
故选：．
根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形为正方形，为对角线，
，，，，
在和中，
，
≌，
，故结论正确；
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
≌，
，
即：；故结论正确；
，
，故结论不正确；
在和中，
，
≌，
四边形为正方形，为等边三角形，
，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
≌≌，故结论正确，
综上所述：正确的结论是，共有个．
故选：．
根据正方形的性质得：，，依据“”可判定和全等，从而可以结论进行判定；
根据等边三角形和正方形的性质可证，，据此可求出，再根据和全等得：，据此可对结论进行判定；
由，可求出的度数，据此可对结论进行判定；
由，可依据“”判定和全等，由，可依据“”判定和全等，据此可对结论进行判定．
此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，理解正方形和等边三角形的性质．
11.【答案】
【解析】解：对于任意实数、，都有，如，
，
，
，
，．
故选：．
首先根据新定义有把转化为，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握新定义，此题难度不大．
12.【答案】
【解析】解：是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得，解此方程得到，；
原方程是一元二次方程，二次项系数，即；
综合上述两个条件，，
故选：．
本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．
本题逆用一元二次方程解的定义易得出的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
13.【答案】
【解析】解：关于的方程的两个根是和，
，
解得：，
，
故答案为：．
根据一元二次方程解的定义，将两个根是和代入关于的方程中，可得到关于、的二元一次方程组，解之即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，根据定义得出二元一次方程组是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：方程是一元二次方程，
，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
15.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
：：，
，
是等边三角形，
．
故答案为：．
根据题意可得出，结合菱形的性质可得，判断出是等边三角形，即可得到的长．
此题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质判断出是等边三角形是解答本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：是矩形的对角线的中点，是的中点，
，
，，
，
是矩形的对角线的中点，
，
四边形的周长为，
故答案为：．
根据题意可知是的中位线，所以的长可求；根据勾股定理可求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长，进而求出四边形的周长．
本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
17.【答案】
【解析】解：设小路的宽为米，则绿化区域的长为米，宽为米，
根据题意得，，
故答案为：．
根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．
18.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
是斜边上的中线，
，
菱形的面积，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键．
19.【答案】解：，
，
，
，
，
解得，；
，
，
配方得：，
，
开方得：，
解得：，；
，
，
解得：；
，
，
，
，
或，
解得，．
【解析】方程整理后，利用直接开平方法解答即可；
移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
根据完全平方公式和直接开平方法解答即可；
方程利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，直接开平方法，完全平方公式，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20.【答案】证明：
，
不论为何值，该方程总有两个实数根；
解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，，
得，
解得，
把代入得，
所以的值为，方程的另一个根为．
【解析】先计算根的判别式的值得到，然后利用根的判别式的意义得到结论；
设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，然后解方程组求出和即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
21.【答案】证明：，，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形为平行四边形；
解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
．
【解析】由矩形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，由平行四边形的判定可得出结论；
根据垂直平分线的性质可得，然后根据勾股定理即可求出的长，
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记各性质与平行四边形的判定是解题的关键．
22.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
点，分别为，的中点，
，，
即，
在和中，
，
；
解：当时，四边形是正方形，理由如下：
点，，分别为，，的中点，
，，，
由得，，，
，
四边形是菱形，
，，
，
菱形是正方形．
【解析】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
由菱形的性质得出，，由已知和三角形中位线定理证出，由证明即可；
由得：，证出四边形是菱形，再证出，四边形是正方形．
23.【答案】解：当时，．
答：当每件售价元时，每天的利润是元；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：每件商品的售价应定为元；
该商场销售这种商品每天不能获得元的利润，理由如下：
假设能，根据题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
假设不成立，即该商场销售这种商品每天不能获得元的利润．
【解析】利用每天的利润每件的销售利润每天的销售量，即可求出结论；
利用每天的利润每件的销售利润每天的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
假设能，利用每天的利润每件的销售利润每天的销售量，可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，假设不成立，即该商场销售这种商品每天不能获得元的利润．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌．
解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
；
证明：将绕着点顺时针旋转，得到，连接．
由可知：≌，．
由知≌，
．
，
、、均为等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【解析】根据正方形的性质得出，进而理由证明与全等即可；
先由得，则；
将绕着点顺时针旋转，得到，连接由知≌，则再由、、均为等腰直角三角形，得出，，，然后证明，，利用勾股定理得出，等量代换即可证明．
本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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