2023-2024学年云南重点大学附中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南重点大学附中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列事件中，是必然事件的是( )
A. 明天太阳从西边出来 B. 打开电视，正在播放云南新闻
C. 昆明是云南的省会 D. 小明跑完米所用的时间恰好为分钟
2. 如图曲线中不能表示是的函数的是( )
A. B. C. D.
3. 某校九年级进行了次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差如表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是( )
甲 乙 丙
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定
4. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
5. 抛物线的顶点、对称轴分别是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 某种商品原价是元，经两次降价后的价格是元，设平均每次降价的百率为，可列方程为( )
A. B.
C. D.
7. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得到的抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
8. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
9. 如图，二次函数的图象与轴交于点，其对称轴为直线，下面结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，抛物线与轴交于点，点的坐标为，在第四象限抛物线上有一点，若是以为底边的等腰三角形，则点的横坐标为( )
A.
B.
C.
D. 或
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
11. 某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同，若以每张奖券为一个开奖单位，设个一等奖，个二等奖，不设其他奖项，则只抽张奖券恰好中奖的概率是______ ．
12. 如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处，则这条丝线的最小长度是______ ．
13. 若关于的一元二次方程的两根为，，则______．
14. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给____ 个人．
15. 已知开口向上的抛物线，在此抛物线上有，和三点，则，和的大小关系为______．
16. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且则下列结论：；；；；其中正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解方程：
直接开平方法；
配方法；
因式分解法；
公式法．
18. 本小题分
如图，点是的中点，四边形是平行四边形．
求证：四边形是平行四边形；
如果，求证：四边形是矩形．
19. 本小题分
将正面分别写着数字，，的三张卡片注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为．
用列表法或树状图法树状图也称树形图中的一种方法，写出所有可能出现的结果．
求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率．
20. 本小题分
已知关于的方程
若这个方程有两个相等的实数根，求的值；
若这个方程有一个根是，求的值及另外一个根．
21. 本小题分
如图，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为：在温室内，沿前侧内墙保留宽的空地，其它三侧内墙各保留宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？
22. 本小题分
已知二次函数．
将其配方成的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；
在如图所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当时的取值范围；
当时，求出的最小值及最大值．
23. 本小题分
某超市经销一种商品，每千克成本为元，经试销发现，该种商品的每天销售量千克与销售单价元千克满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价元千克
销售量千克
求千克与元千克之间的函数表达式；
为保证某天获得元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过、两点，且对称轴为直线．
求抛物线的表达式；
如果点是这抛物线上位于轴下方的一点，且的面积是求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、明天太阳从西边出来是不可能事件；
B、打开电视，正在播放云南新闻是随机事件；
C、昆明是云南的省会是必然事件；
D、小明跑完米所用的时间恰好为分钟是不可能事件；
故选：．
必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是的事件．
此题主要考查了随机事件，关键是理解必然事件就是一定发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
2.【答案】
【解析】解：、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故C符合题意；
D、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故D不符合题意；
故选：．
根据函数的定义，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，确定正确的选项．
本题考查了函数的图象以及函数的概念，掌握函数的定义是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：，，，且平均数相等，
，
这三名同学数学成绩最稳定的是甲．
故选：．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4.【答案】
【解析】解：，
有两个不相等的实数根，
故选：．
根据判别式的值确定根的情况即可．
本题主要考查判别式与根的关系，能够熟练计算判别式并判断根的情况是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
故选：．
根据抛物线的顶点式，顶点坐标是，对称轴是．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式，顶点坐标是，对称轴是．
6.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故答案为：．
故选：．
设该商品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
7.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得对应点的坐标为，
所以新抛物线的解析式为．
故选：．
先确定抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的规律得到点平移所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是．
要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于，得到的取值范围，因为方程是一元二次方程，所以不为．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且
且，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：抛物线的开口向下，则，对称轴在轴的右侧，，图象与轴交于正半轴上，
，，：对称轴为，
，
，
，
当时，，
当时，，
故选D．
根据二次函数的图象可判断，根据对称轴为可判断出，当时，，当时，
此题主要考查了二次函数与图象的关系，关键掌握二次函数
二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．
一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
10.【答案】
【解析】解：令，则，
所以，点的坐标为，
点的坐标为，
线段中点的纵坐标为，
是以为底边的等腰三角形，
点的纵坐标为，
，
解得，，
点在第四象限，
点的横坐标为．
故选：．
根据抛物线解析式求出点的坐标，再求出中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点的纵坐标，然后代入抛物线求解即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并确定出点的纵坐标是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：只抽张奖券恰好中奖的概率是．
故答案为：．
根据概率公式直接求解即可．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．必然事件；不可能事件．
12.【答案】
【解析】解：如图，圆柱侧面展开图是矩形，
矩形的长为，宽为圆柱的底面周长，
根据勾股定理得：
，
根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为，
故答案为：．
将圆柱侧面展开可得到长为，宽为圆柱的底面周长的矩形，根据勾股定理即可求出的长，即为所求．
本题考查了平面展开最短路径问题，将圆柱体展开为矩形，在矩形中求解是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程的两根为，，
，，
则原式，
故答案为：．
由根与系数的关系得出，，再代入计算可得．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每轮传染中平均一个人传染给个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】
解：设每轮传染中平均一个人传染给个人，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：抛物线，
对称轴为：，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
，和在抛物线上，
，
故答案为：．
根据抛物线可知该抛物线开口向上，可以求得抛物线的对称轴，又因为抛物线具有对称性，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数具有对称性，在对称轴的两侧它的单调性不一样．
16.【答案】
【解析】解：观察函数图象，发现：
开口向下；与轴交点在轴正半轴；对称轴在轴右侧；顶点在轴上方．
，，，
，
，错误；
，
，不成立；
，
，
将点代入中，
得：，即，成立；
，，，
，成立．
综上可知：成立．
故答案为：．
观察函数图象，根据二次函数图象与系数的关系找出“，，”，再由顶点的纵坐标在轴上方得出由，，即可得知该结论成立；由顶点纵坐标大于即可得出该结论不成立；由，可得出，将点代入二次函数解析式即可得出该结论成立；结合根与系数的关系即可得出该结论成立．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及根与系数的关系，解题的关键是观察函数图象逐条验证四条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，观察函数图形，利用二次函数图象与系数的关系找出各系数的正负是关键．
17.【答案】解：，
，
，；
，
，
，
，
，；
，
，
或，
，；
，
，
，，，
，
，
，．
【解析】根据直接开平方法解一元二次方程即可；
根据配方法解一元二次方程即可；
根据因式分解法解一元二次方程即可；
根据公式法解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18.【答案】解：证明：四边形是平行四边形，
，且．
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形；
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
【解析】根据平行四边形的性质得到，且，根据点是的中点，得到，等量代换得，又因为，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明．
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，属于常考题，牢记矩形的判定定理是解题的关键．
19.【答案】解：画树状图得：
由树状图知共有种等可能的结果：、、、、、；
共有种等可能结果，其中数字之和为偶数的有种结果，
取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率．
【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果；
由中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果中数字之和为偶数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得，
即或；
解：设方程另一根为，
由题意得，，解得，
，
．
即的值为，另一个根为．
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于的方程，解方程即可得到结论；
设方程另一根为，根据根与系数的关系先利用两根之积求出，然后利用两根之和求出．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．
21.【答案】解：设矩形温室的宽为，则长为，
根据题意，得，
解得：不合题意，舍去，，
所以，．
答：当矩形温室的长为，宽为时，蔬菜种植区域的面积是．
【解析】设矩形温室的宽为，则长为，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，解答此题，要运用含的代数式表示矩形的长与宽，再由面积关系列方程．
22.【答案】解：，
开口向上，顶点为，对称轴为：直线，
如图所示，由图可知，当时，；
当时，有最大值，当时，有最小值．
【解析】把二次函数化为顶点式的形式，进而可得出结论；
根据二次函数的顶点坐标及与轴的交点坐标画出函数图象，根据二次函数的图象可直接得出时的取值范围；
直接根据二次函数的图象即可得出结论．
本题考查的是二次函数的三种形式，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
23.【答案】解：设与之间的函数表达式为，将表中数据、代入得：
，解得：．
与之间的函数表达式为．
由题意得：，
整理得：，
解得，．
答：为保证某天获得元的销售利润，则该天的销售单价应定为元千克或元千克．
设当天的销售利润为元，则：
，
，
当时，．
答：当销售单价定为元千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是元．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
依题意可列出关于销售单价的方程，然后解一元二次方程即可；
利用每千克的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
24.【答案】解：直线与轴、轴分别交于点、，
则点、的坐标分别为：、，
对称轴为直线，则函数与轴另外一个交点为：，
则抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
过点作轴的垂线交于点，
设点，点，
的面积，
解得：或，
故点的坐标为：或．
【解析】点、的坐标分别为：、，对称轴为直线，则函数与轴另外一个交点为：，即可求解；
过点作轴的垂线交于点，的面积，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
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