9.12 完全平方公式 课件（28张PPT）

(共28张PPT)
第九章 整式
第4节 乘法公式
9.12 完全平方公式
1．理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释．
2．灵活应用完全平方公式进行计算．
重点：掌握完全平方公式的结构特点．
难点：灵活应用完全平方公式进行计算．
思考1
计算下列各题,并观察下列乘式与结果的特征(1)(a+b)2=
(2)(2a+3b)2 =
(3)(x-y)2 =
通过计算你发现了什么规律
比较等号两边的代数式可以看到
(a+b)(a+b)
(2a+3b)(2a+3b)
(x-y)(x-y)
= a2+2ab+b2
= (2a)2+2·2a·3b+ (3b)2
= x2-2xy+y2
(a + b)2 = ；
a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
文字叙述为：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中央.”
完全平方公式
你能根据图 1 和图 2 中的面积来说明完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图 2
思考2
ab
ab
a2
b2
(a-b)b
(a-b)2
b2
(a-b)b
几何解释：
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
和的完全平方公式：
a2
ab b(a b)
= a2 2ab + b2
=
(a b)2
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释：
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
差的完全平方公式：
a b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2，
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
思考 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1. 展开式都是几次几项式？
2. 展开式的第几项和第几项是相同的项？中间项是
什么关系？
3. 展开式的中间项的符号与什么有关？
公式特征：
4. 公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式.
1. 展开式为二次三项式；
2. 展开式首末两项为两数的平方和，且符号为“+”；
3. 展开式的中间项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同；
例题1 计算：
解：(2x + 3y)2 =
= 4x2
(1) (2x + 3y)2；
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(2x)2
+2 (2x) (3y)
+(3y)2
+ 12xy
+ 9y2.
教材第36页
例题1 计算：
解：(2x + 3y)2 =
= 4x2
(2) (2x + 3y)2；
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(2x)2
+2 (2x) (3y)
+(3y)2
+ 12xy
+ 9y2.
教材第36页
例题1 计算：
解：(-2a + b)2 =
= 4a2
(3) (-2a + b)2；
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
( -2a )2
+2 (-2a) (b)
+(b)2
-4ab
+ b2.
教材第37页
例题1 计算：
解： (-3a–2b) 2 =
= 9a2
(4) (-3a–2b)2；
(a - b)2 = a 2 - 2ab + b2
(-3a)2
-2 (-3a) 2b
+ (2b)2
+12ab
+ 4b 2.
教材第37页
例题2 计算：
解：原式= [(a+b) +c]2 =
= a2 +2ab +b2
(1) (a+b+c)2；
(a - b)2 = a 2 + 2ab + b2
(a+b)2
+2 (a+b) c
+ c2
+2ac+2bc
+ c2
教材第37页
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
例题2 计算：
解：原式= [x+(y-2)][x- (y-2)] =
= x2
(2) (x+y-2)(x-y+2)；
(a+b) (a-b) = a 2 -b2
x2
-(y-2) 2
-(y2-4y+4)
教材第37页
= x2 -y2+4y -4.
方法总结：第 (1)小题要把其中两项的和看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算；第(2)小题先用平方差公式进行计算，需要分组，分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”
例题3 甲乙两家商店9月份的销售额均为a万元，在
10月份和11月份这两个月份中,甲商店的销售额平均
每月增长x%,乙商店的销售额平均每月减少x%,11月
份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元
教材第37页
例题3 甲乙两家商店9月份的销售额均为a万元，在
10月份和11月份这两个月份中,甲商店的销售额平均
每月增长x%,乙商店的销售额平均每月减少x%,11月
份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元
教材第37页
解 由题意,11月份甲商店的销售额为a(1+x%)2(万元),11月份乙商店的销售额为a(1-x%)2(万元).所以,甲商店与乙商店的销售额的差为
a(1+x%)2 － a(1-x%)2
(万元)
答:11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多 万元.
(1) 1022；
解： 1022
= (100 + 2)2
= 10000 + 400 + 4
= 10404.
(2) 992.
解：992
= (100 – 1)2
= 10000 - 200 + 1
= 9801.
例题4 运用完全平方公式计算：
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
利用乘法公式计算：
(1) 982－101×99；
(2) 20232－2023×4048＋20242.
针对训练
＝(2023－2024)2＝1.
解：(1) 原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395.
(2) 原式＝20232－2×2023×2024＋20242
例题5 已知 x－y＝6，xy＝4. 求：
(1) x2＋y2 的值； (2) (x＋y)2 的值.
＝36＋8＝44.
解：(1) ∵ x－y＝4，xy＝6，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴ x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2) ∵ x2＋y2＝44，xy ＝ 4，
∴ (x＋y)2＝x2＋y2＋2xy
＝44＋8＝52.
例题5 已知 x－y＝6，xy＝4. 求：
(1) x2＋y2 的值； (2) (x＋y)2 的值.
＝36＋8＝44.
解：(1) ∵ x－y＝4，xy＝6，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴ x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2)方法2： ∵ (x＋y)2＝(x－y)2＋4xy
∴ (x＋y)2＝36＋16
＝52.
常用二级结论（背诵）：
x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x＋y)2－2xy，
(x－y)2＝(x＋y)2－4xy.
2. 下列计算结果为 2xy－x2－y2 的是 ( )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x＋b)2 D．－(x－y)2
1. 运用乘法公式计算 (a - 3)2 的结果是（ ）
A．a2 - 3a + 9 B．a2 - 6a + 9
C．a2 - 9 D．a2 - 4a - 9
B
D
3. 运用完全平方公式计算：
(1) (3a + 4b)2 =__________________；
(2) (3x - 4y)2 =__________________；
(3) (2a - 1)2 =__________________；
(4) (-2m - n)2 =_________________.
9a2 + 24ab + 16b2
9x2 - 24xy + 16y2
4m2 + 4mn + n2
4a2–4a + 1
4. 由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝______．
25
5. 若 a + b = 5，ab = －6，求 a2 + b2，a2－ab + b2.
解：a2 + b2 = (a + b)2－2ab = 52－2×(－6) = 37，
a2－ab + b2 = a2 + b2－ab = 37－(－6) = 43.
解：∵ x + y = 8，∴ (x + y)2 = 64，即 x2 + y2 + 2xy = 64 ①.
∵ x－y = 4，∴ (x－y)2 = 16，即 x2 + y2－2xy = 16 ②.
由 ①－② 得 4xy = 48.
6. 已知 x + y = 8，x－y = 4，求 xy.
∴ xy = 12.
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2 = a2±2ab + b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算的
式子，可能需要先添括号，变
形成符合公式的形式才行
常用
结论
3. 弄清完全平方公式和平方差公
式的不同（从公式结构特点及
结果两方面）
a2+b2 = (a+b)2-2ab = (a-b)2+2ab；
4ab = (a + b)2 - (a - b)2.