12.3.2角平分线的判定 课件（27张PPT）

(共27张PPT)
第12章
全等三角形
八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 上册
12.3.2
角平分线的判定
复习引入
角平分线的性质
性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 点在角的平分线上；
(2) 到角两边的距离(垂直).
证明线段相等.
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
定理的作用：
新知探究
思考：
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么在角的内部，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
思考：
利用全等的知识，该如何证明这个结论呢？
新知探究
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，
PE=PD，
PO=PO，
∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.
∴∠AOC=∠BOC.
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
C
P
D
E
┐
┐
新知探究
角平分线的判定定理
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
判断点是否在角的平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
定理的作用：
新知探究
　角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的
距离相等．　
(3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离
就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离
相等的点，都应在角的平分线上．
新知探究
思考：
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察
出什么结论？
┐
结论：三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部，这个交点叫做三角形的内心，通常用字母I表示.
A
A
B
B
C
C
A
B
C
新知探究
思考：
过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段，从大小上你能观察出什么结论？
结论：过交点作三角形三边的垂线段相等.
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
A
B
C
A
B
B
C
A
C
典例精析
例1
如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为4，5，6，其三条角平分线交于点O，求S△ABO∶S△BCO∶S△CAO.
解：∵OA,OB,OC为三条角平分线，
∴点O到AB,AC,BC的距离相等为r,
∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO = ·AB·r： ·BC·r： ·AC·r=4:5:6.
例2
在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　　)
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
A
典例精析
例3
如图，CP，BP是△ABC两外角的平分线，PE⊥AC且与AC的延长线交于点E，PF⊥AB且与AB的延长线交于点F，试探究BC，CE，BF三条线段有什么关系？
解：如图13.5 -20，作PD⊥BC，垂足为D.
∵CP平分∠BCE，PE⊥AC，∴PE＝PD，
在Rt△PDC和Rt△PEC中，
PD＝PE，
PC＝PC，
∴Rt△PDC ≌ Rt△PEC(HL)，
∴CD＝CE.同理可证BD＝BF.
∴CD＋BD＝CE＋BF，即BC＝CE＋BF.
典例精析
例4
如图，在△ABC中，请证明：
(1)若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC；
(2)设D为BC上的一点，连结AD，若S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，则AD为∠BAC 的平分线．
证明：如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
(1)∵AD平分∠BAC且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∴S△ABD∶S△ACD＝（ AB DE）∶（ AC DF）＝AB∶AC.
(2)∵S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，
∴ （ AB DE）∶（ AC DF） ＝AB∶AC，
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD为∠BAC的平分线.

典例精析
例5
如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，点E在∠ACB 的平分线上，D是AC上一点，若∠CBD＝20°，求∠ADE的度数．
　
解：如图，作EN⊥CA于点N，EM⊥BD于点M，
EP⊥CB交CB的延长线于点P，
∵∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝100°－20°＝80°，
∠PBA＝180°－100°＝80°，∴∠PBA＝∠ABD.
∵EM⊥BD于点M，EP⊥CB于点P，∴EP＝EM.
又∵点E在∠ACB的平分线上，EN⊥CA，EP⊥CB，
∴EN＝EP，∴EN＝EM，∴DE平分∠ADB.
∵∠ADB＝∠ACB＋∠CBD＝40°，
∴∠ADE＝ ∠ADB＝ ×40°＝20°.

典例精析
例6
如图，△ABC的角平分线AD、BE、CF相交于点P.求证：点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等.
B
C
P
D
E
F
M
N
O
证明：过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB，
垂足分别为点M，N，O.
┐
┐
∵AD为△ABC的角平分线， ∴PN=PO.
∵BE为△ABC的角平分线， ∴PM=PO.
∵CF为△ABC的角平分线， ∴PM=PN.
∴PM=PN=PO，即点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等.
┐
A
典例精析
例7
分析：AD是∠BAC的平分线.
（角的平分线的判定）
DE⊥AB，DF⊥AC ，DE=DF.
（三角形全等的判定）
Rt△DEB≌Rt△DFC.
（直角三角形全等”HL“）
BE=CF，DB=DC.
如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.
求证：AD是∠BAC的平分线.
C
E
A
F
D
B
┐
┐
典例精析
例7
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF，
DB=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线.
C
E
A
F
D
B
┐
┐
如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.
求证：AD是∠BAC的平分线.
新知探究
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
典例精析
例8
分析：OF、OD、OE为点O到三边的距离，
且OF=OD=OE.
（角的平分线的判定）
OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB.
（角的平分线的性质）
∠OBC=∠OBA， ∠OCB=∠OCA.
（三角形内角和定理）
转化为 ∠BAC和∠BOC的关系.
如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，求∠BOC.
典例精析
例8
证明：∵OF=OD=OE，
∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB.
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°.
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=55°.
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°.
如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，求∠BOC.
典例精析
例9
证明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°， ∴∠ABC=∠EDC.
∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠CED=∠CFB=90°.
∵在△BCF和△DCE中，
∠CFB=∠CED，
∠FBC=∠EDC，
BC=DC，
∴△BCF≌△DCE（AAS）.
∴CF=CE，即AC平分∠BAD.
如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.
E
A
B
C
D
F
┌
┐
典例精析
例10
如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 上一点，点 P 在 AD 上，PE∥AB 交 BC 于点 E，PF∥AC 交 BC 于点 F，点 P 是 AD 上一点，且点 D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD 平分∠BAC．理由如下：
∵ D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，
∴ 点 D 在∠EPF 的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵ PE∥AB，PF∥AC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴ AD 平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
典例精析
如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处 画出它的位置.
例11
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
归纳总结
结论
作用
三角形的角平分线相交于内部一点，
该点到三角形三边的距离相等
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
角平分线的判定
判断一个点是否在角的平分线上
内容
当堂检测
1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：
①点P在∠DBC的平分线上；
②点P在∠BCE的平分线上；
③点P在∠BAC的平分线上.
其中说法正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
D
C
A
E
B
D
F
P
┐
┐
当堂检测
证明：过点E作EF⊥AD于点F，
∵∠B=∠C=90°， ∴DC⊥EC，EB⊥AB.
∵DE平分∠ADC， ∴EC=EF.
∵E是BC的中点， ∴EC=EB.
又∵EF⊥AD，EB⊥AB，
∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线.
2.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.
求证：AE是∠DAB的平分线.
A
B
C
E
D
┌
┌
F
┌
当堂检测
3.如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A、B不与点O重合），在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.
求证：点P在∠MON的平分线上.
证明：过点P分别作PC⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为C，D，
则∠ACP=∠BDP=90°.
在四边形OCPD中， ∠CPD=360°-∠OCP-∠COD-∠ODP=120°，
∴∠APB=∠CPD. ∴∠APB-∠APD =∠CPD-∠APD，即∠APC=∠BPD.
在△APC和△BPD中，
∠APC=∠BPD，
∠ACP=∠BDP，
AP=BP，∴△APC≌△BPD（AAS）. ∴PC=PD，即点P在∠MON的平分线上.
O
A
B
P
M
N
D
C
┌
┌
当堂检测
4. 已知：如图，OD 平分∠POQ，在 OP，OQ 边上取OA＝OB，点 C 在 OD 上，CM⊥AD 于 M，CN⊥BD 于 N. 求证：CM ＝ CN.
证明：∵ OD 平分∠POQ，
∴∠AOD = ∠BOD.
在△AOD 与△BOD 中，
OA = OB，
∠AOD =∠BOD，
OD = OD，
∴△AOD≌△BOD (SAS).
又∵ CM⊥AD 于 M，CN⊥BD 于 N，
∴ CM = CN.
∴∠ADO =∠BDO.