数学人教A版（2019）必修第一册2.1等式性质与不等式性质（共19张ppt）

(共19张PPT)
第二章
一元二次函数、方程和不等式
§2.1 等式性质与不等式性质
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．
一 描述现实世界和日常生活中的不等关系
问题1　你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
(1) 某路段限速40 km/h；
【解析】 设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，则0＜v≤40.
(2) 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
(3) 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
【解析】 设△ABC的三条边为a，b，c，则a＋b＞c，a－b＜c.
二 两个实数大小的比较
思考1
实数比较大小的依据与方法是什么？
例 1　比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．
【解析】 因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2＞0，所以(x＋2)(x＋3)＞(x＋1)(x＋4)．
(1) 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小；
(2) 设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
实数比较大小的方法：
(1) 比较两个实数a与b的大小，需归结为判断它们的差a－b的符号(注意：指的是差的符号，至于差的值究竟是什么，无关紧要)．
(2) 比较两个实数大小的步骤：作差→化简整理(配方，分解因式、分类讨论)→判断差的符号→得出结论．
思考2
请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？
等式性质与不等式性质
思考3
类比等式的基本性质，试猜想不等式的基本性质，并加以证明？
【解析】 性质1　如果a>b，那么bb，即a>b b证明：因为a＞b，所以a－b＞0.又因为正数的相反数是负数，所以－(a－b)＜0，即b－a＜0，所以 b＜a.
性质2　如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c a>c.
证明：因为a＞b，b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0.由两个正数的和是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0，所以a＞c.
性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c.
证明：因为a＞b，所以a－b＞0.又因为(a＋c)－(b＋c)＝a－b，所以(a＋c)－(b＋c)＞0，故a＋c＞b＋c.
性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac证明：ac－bc＝(a－b)c.因为a＞b，所以a－b＞0，所以当c＞0时，(a－b)c＞0，从而 ac＞bc；当c＜0时，(a－b)c＜0，从而 ac＜bc.
性质5　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
证明：由a＞b和性质3，得a＋c＞b＋c.又由c＞d和性质3，得b＋c＞b＋d，由性质2，得a＋c＞b＋d.
性质6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
证明：因为a＞b＞0，c＞0，由性质4，得ac＞bc.因为c＞d＞0，b＞0，由性质4，得bc＞bd.由性质2，得ac＞bd.
性质7　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据．
例 3　已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d.
四 不等式的性质及应用
【解析】 方法一：由a＞b，得a－b＞0；
由c＜d，得 d－c＞0.
因为(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0，
所以a－c＞b－d.
方法二：因为c＜d，
所以－c＞－d.
又因为a＞b，
所以a＋(－c)＞b＋(－d)，
即a－c＞b－d.
五 利用不等式的性质求取值范围
谢谢指导！