初中数学人教版七下6.1平方根（第1课时）—算术平方根 教案

6.1平方根（第1课时）——算术平方根
一、教学内容分析
本章学习乘方的逆运算开平方，认识无理数.实数理论非常高深，初中生不可能充分理解，这就决定了教学是应充分利用学生已有的有理数的经验，不能过于追求严密的逻辑体系.本节内容是在学生学习平方的基础上学习平方的逆运算算术平方根.学生有一定的运算能力，但因为是逆向思维，不容易理解.所以从入手感知无理数，并通过手机和计算器等工具求某些数的算术平方根和研究规律.
二、教学目标
1.通过实际问题的情境创设，了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算数平方根，并会用平方运算求某些非负数的算术平方根，进一步提升数学符号表达能力和运算能力.
2.会用夹值法和计算器（手机）求一个正数的算术平方根，提高解决问题和总结归纳的能力.
三、教学重难点
【重点】了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根.
【难点】会用平方运算求某些非负数的算术平方根.
四、教学方法
启发法、讲练结合法、课堂讨论法.
五、教学过程
（一）新课导入
多媒体出示照片，问：
你知道这是什么吗？
北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭点火发射，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空.根据航天部门的最新计划安排，2022年度我国载人航天工程将实施6次发射任务，其中就包含了神舟十四号和神舟十五号飞船，其主要任务就是为天和号核心舱建设控制中心.
你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围内吗？
这时它的速度要大于第一宇宙速度v1（单位：m/s）而小于第二宇宙速度v2（单位：m/s）. v1 ，v2 的大小满足，，其中g是物理中的一个常数（重力加速度），，R是地球半径，.怎么求 v1 ，v2呢？
随着对于数的认识的不断深入，人们发现，边长为1的正方形的对角线的长不是有理数，这就需要引入一种新的数——无理数.实际上，计算第一、第二宇宙速度等也要用到无理数.本章将首先学习平方根与立方根；在此基础上引入无理数，把数的范围扩充到实数；然后类比有理数，引入实数在数轴上的表示和实数的运算，并用这些知识解决一些实际问题.
意图：通过神舟十三号载人飞船的引入，激发学生爱国情怀、学习积极性和学习本节课
的目的，进而让学生理解，平方根、立方根以及实数都是现实世界中客观存在的.
效果：让学生体会到本章所学内容在生活中有着广泛的应用.
（二）新课讲授
活动一：学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为 25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
？
分析：因为 52 = 25，所以这个正方形的边长应取5dm.
所以，这个正方形画布的边长应取5 dm.
意图：由学生熟悉的实际问题引入，进而引起学生的兴趣和探索的愿望.
效果：让学生感受到可以由面积求边长.
填表
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
正方形的边长/dm 1 3 4 6 ？
由此，引入算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a ，即 x2 = a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.
意图：学生应用原有的平方运算的经验可以解决具体数据的算术平方根的问题，但对于字母表示的数，还不能解决求算术平方根的问题，进而引入算术平方根的定义.
效果：学生理解学习算术平方根的必要性.
典型例题
例1求下列各数的算术平方根:
(1) 100; (2) ; (3) 0.0001.
解:
(1)因为102 = 100，所以100的算术平方根是10，即;
(2)因为 ，所以 的算术平方根是，即 ;
(3)因为0.012 = 0.0001，所以0.0001的算术平方根是 0.01 ，即.
可以看出： ， .
被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立.
意图：通过对例题的学习，逐步理解并掌握算术平方根的定义和表示方法，同时掌握利用算术平方根的定义求非负数的算术平方根的方法.
课堂练习
1. 81的算术平方根是_________；0.0025的算术平方根是_________；
0 的算术平方根是_______；的算术平方根是________；32的算术平方根是_______.
2.=________；16的算术平方根是_________；的算术平方根等于_________．
意图：检测和巩固本节所学知识.的算术平方根是个难点.
活动二：如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm 的大正方形.你知道这个大正方形的边长是多少吗？
设大正方形的边长为 x dm，则x2=2.由算术平方根的意义可知x=
所以大正方形的边长是dm
追问：小正方形的对角线的长是多少呢？小正方形的对角线和大正方形的边长有什么关系吗？
有多大呢？
因为 12 = 1，22 = 4，
所以 1 < < 2；
因为 1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，
所以 1.4 < < 1.5；
因为 1.412 = 1.9881，1.422= 2.0164，
所以 1.41 < < 1.42；
因为 1.4142= 1.999396，1.4152= 2.002225，
所以 1.414 < <1.415；……
是个无限不循环小数，你以前见过这种数吗？
意图：用夹值法求近似数.
效果：深刻体会的大小.
活动三：（1）利用计算器（手机）计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？
... ...
... ...
规律：被开方数的小数点向右（或向左）每移动2位，它的算术平方根的小数点就向右移动1位；
例3 小丽想用一块面积为 400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为 3: 2. 她不知能否裁得出来，正在发愁.
小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.
根据边长与面积的关系得
3x 2x=300，6x2 =300， x2 =50， x = .
因此长方形纸片的长为 3 cm.
因为50>49，所以 >7.
由上可知3>21，即长方形纸片的长应该大于21 cm.
因为=20，所以正方形纸片的边长只有20 cm. 这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：不能同意小明的说法.小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
意图：最后回到实际问题中，用学习知识解决实际问题，知识来源于生活，服务于生活.
效果：学生通过计算知道不是所有的大面积纸片都能得到小面积的纸片.
（三）课堂小结
本节课我们学习了算术平方根的定义. 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即. 那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 ，读作根号a.其中a叫做被开方数. 规定零的算术平方根是零.
探究，用夹值法和计算器（手机）求一个正数的算术平方根.
意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学，并检验自己不懂的地方是否弄明白.
（四）作业布置
1.解决章前言问题.
2.完成配套作业.
六、板书设计
6.1平方根（1）——算术平方根
1.算术平方根的概念：符号
2.
3.规律
七、课后反思
我们知道教学的任务是解决学生现有的认知水平和教育要求之间的矛盾，要为了学习而设计教学，是教学设计的出发点.本节内容较多，练习也穿插到讲解中，所以没有刻意的巩固练习环节，可根据学生实际情况进行教学.
25 dm2
1