初中数学人教版七下9.2.2一元一次不等式的应用 教案

9.2.2一元一次不等式的应用
一、教材分析
本课为人教版数学七年级下册第九章第二节第2课时，利用一元一次不等式解决一些具有不等关系的实际问题.这节课是在学生学习了一元一次方程及其应用和一元一次不等式解法的基础上，研究一元一次不等式的应用.为下节课学习一元一次不等式组的应用做铺垫.不等式是刻画不等关系的数学模型，它有广泛的应用.本节安排了两个例题，重点说明如何根据实际问题列不等式，使学生经历建立一元一次不等式，这样的数学模型，并用它解决实际问题的过程.一元一次不等式的应用是一元一次不等式解法的巩固与延伸，因此它也是解一元一次不等式的核心内容之一，是本章的基础.
二、教学目标
1.会分析问题，能在实际问题中寻找数量关系，找出题目中的不等关系；
2.会列一元一次不等式解决实际问题，体会不等式是刻画不等关系的数学模型；
3.经历将实际问题中的不等关系抽象成不等式，体会数学的抽象过程及符号化和模型化思想.
三、教学重难点
【重点】会通过列一元一次不等式去解决生活中的实际问题.
【难点】如何从实际问题抽象出数学问题，建立分类讨论的模型解决方案设计问题.
四、教学方法
问答与小组讨论的方法、讲授法、多媒体辅助教学.
五、教学过程
（一）新课导入
上节课我们学习了如何解一元一次不等式，这节课我们学习如何列一元一次不等式解决简单的实际问题.
有些实际问题中存在不等关系，我们将学习用不等式来表示这样的关系，然后把实际问题转化为数学问题，通过解不等式得到实际问题的答案.
回顾一元一次方程解决实际问题的步骤：
交流：那么如何用一元一次不等式解实际问题呢？
设计意图：出示本节课的内容使学生进行有目的的学习.同时，通过回顾列一元一次方程解决实际问题来引发学生思考，为用类比的方法学习本节内容奠定基础.
（二）探究新知
1.列一元一次不等式解决实际问题
例1 去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365天）之比达到 60%，如果明年（365 天）这样的比值超过 70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少增加多少？
问题1：你能从题目中得到哪些信息？
设计意图：采用表格的形式填空，让学生思路更清晰，有助于学生分析题意，各量之间的关系更加直观.
问题2：“明年（365 天）这样的比值超过70%”是什么意思？
今年空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365天）之比超过70%.
问题3：你能将不等关系转化为不等式吗？
不等关系式：
问题4：你能列不等式并解出来吗？
解：设明年比去年空气质量良好天数增加了 x 天，则去年有365×60%天空气质量良好，明年有（x+ 365×60% ）天空气.
质量良好，则有： x + 365×60%
365
去分母得：x+365×60％>70％×365
移项得： x>255.5-219
合并同类项得： x>36.5
由x应为正整数，得 x≥37
答：明年空气质量良好的天数比去年至少要增加37天，才能使这一年空气质量好的天数超过全年天数的70％.
设计意图：设置了四个问题，问题由浅到深，层层递进.引导学生独立思考，培养自主学习的能力，通过思考以上四个问题的提出，帮助学生学会审题，并降低难度.
归纳小结
利用不等式解决实际问题的基本过程是什么？
设计意图：亲身经历列不等式解决实际问题的过程，总结出列不等式解决实际问题的一般步骤，为更深入的学习做好铺垫.
课堂练习
在一次知识竞赛中，有10道抢答题，答对一题得10分，答错一题扣5分，不答得0分，小玲有一道题没有答，成绩仍然不低于60分，她至少答对几道题？
解:设小玲答对的题数是x，则答错的题数是(9-x)，
根据题意，得10x-5(9-x)≥60，
解这个不等式，得x≥7.
答：她至少答对7道题.
设计意图：该题难度较小，学生独立思考，找两个同学进行板演，其他同学做到本上.达到巩固新知的目的.
2.分类讨论解决决策问题
例2 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90％收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95％收费．顾客到哪家商场购物花费少？
设计意图：例2取决于生活中常见的购物问题，由于市场上存在不同的促销方式，所以购物时可以货比三家，加以选择.应该说在市场经济日益发展的现代社会，这个问题与学生距离较近.通过本例题说明列不等式解决方案设计题的一般方法.
问题1
甲商店购物款达多少元后可以优惠？
乙商店购物款达多少元后可以优惠？
问题2
如果你要分别购买40元、80 元、140元、160元商品，应该去哪家商店更优惠？
设计意图：思考 1.2 的提出有助于学生审清题意，初步建立分情况讨论的思想.
问题3
由问题2可知，要想知道在哪家商场花费少，需要分几种情况？
分析：
在甲商场购物超过100元后享受优惠，在乙商场购物超过50元后享受优惠.因此，我们需要分三种情况讨论：
（1）累计购物不超过50元；
（2）累计购物超过50元而不超过100元；
（3）累计购物超过100元.
设计意图：问题3教会学生用含未知数的式子表示相关量.
问题4 你能用什么方式让问题 3 更清晰直观吗？请完成下面的表格.
分析：如果购物款累计达到x元，你能用含x的式子分别表示顾客在两家商场花费的钱数吗？
设计意图：问题4是引导学生学会列表格分析问题的方法.
问题5 从表格中可以看出：如果累计购物超过 100 元，在哪家商场花费少？需分以下 种情况讨论.
当x >100时，可分以下3种情况：
①若在甲商场花费少
②若在乙商场花费少
③若在两商场花费一样
设计意图：问题5引导学生利用分类讨论的方法构建不等式解决实际问题.
问题6 你能综合上面分析给出一个合理化的消费方案吗？请将此题完整的解答过程写出来.
（1）当0（2）当50（3）当x >100时，
①若在甲商场花费少，则有不等式：
50+0.95（x-50）>100+0.9（x-100），
解得x>150.
②若在乙商场花费少，则有不等式：
50+0.95（x-150）<100+0.9（x-100），
解得x<150.
③若在两商场花费一样，则有方程：
50+0.95（x-150）=100+0.9（x-100），
解得x=150.
综上所述：
当x=50和150时，两家商场花费一样
当50当x>150元时，甲商场花费少.
答：购物不超过50元和刚好是150元时，在两家商场购物没有区别；超过50元而不超过150元时在乙商场购物花费少；超过150元后，在甲商场购物花费少．
(教师引导学生分析题意，学生独立完成相应的问题，再小组讨论，最后由小组展示结果.教师在此过程中观察学生的完成情况，对个别学生或个别问题给予指导.最后，教师再和学生一起完善订正此问题.)
设计意图：问题 6让学生明确将实际问题转化为纯数学问题后，纯数学问题的答案需回归到实际问题的答案，并提示学生应该规范答题过程.完整的解题过程的展现，有利于培养学生有条理地思考和表达的习惯.
（三）当堂练习
1. 某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%. 如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？
2.当一个人坐下时，不宜提举超过4.5 kg的重物，以免受伤.小明坐在书桌前，桌上有两本各重1.2 kg的画册和一批每本重0.4 kg的记事本. 如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本. 问他最多只应搬动多少本记事本？
3.小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是多少？
4.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．
(1)符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由。
(2)如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金收入不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？　
设计意图：检测本节课所学知识，学以致用，达到深化理解、融汇贯通的目的。
（四）课堂小结
教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请同学们回顾列一元一次不等式解决实际问题的步骤.
应用一元一次不等式解决实际问题的步骤:
① 审：认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的不等关系.
② 设：设出适当的未知数.
③ 列：根据题中的不等关系列出不等式.
④ 解：解不等式，求出其解集.
⑤ 验：检验所求出的不等式的解集是否符合题意.
⑥ 答：写出答案.
设计意图：学生再次回顾所学内容，进行总结，加深印象.
（五）作业布置
完成配套作业
六、板书设计
9.2.2一元一次不等式的应用
一、列一元一次不等式解决实际问题
二、步骤：审—设—列—解—验—答
三、分类讨论解决决策问题
七、课后反思
解题中列不等式是关键一步，这就需要将问题情景中的文字语言转化为符号语言，这是一个数学抽象的过程，其中蕴含了符号化、模型化的思想.教学中应注意让学生经历数学抽象的过程，运用符号化、模型化的思想，掌握列不等式解决实际问题的方法.与例1相比，例2情境更复杂，难度更大.两个优惠方案的优惠起点是具有关键意义的数据，需要根据这些数据分三种情况讨论问题，其中第三种情况最为复杂，需要再次分类列不等式解决.因此，审题中要抓住关键，分类考虑是需要培养的分析能力，教学中应予以关注.
设计意图：先让学生自己总结反思，总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学，并检验自己不懂的地方是否弄明白.
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