初中数学人教版七下9.2.1一元一次不等式的解法 教案

9.2.1一元一次不等式的解法
一、教材分析
从内容及知识结构上看，本课是在一元一次方程，不等式的基本性质以及不等式的解集的基础上学习的，是沟通一元一次方程的重要桥梁，联系一次函数的重要纽带.也是后面顺利学习一元一次不等式组有关内容的必备知识基础，具有承上启下的作用.在初中阶段，不等式位于一次方程（组）之后，它是进一步探究现实世界数量关系的重要内容.不等式的研究从最简单的一元一次不等式开始，一元一次不等式及其相关概念是本章的基础知识.解任何一个代数不等式（组）最终都要化归为解一元一次不等式，因而解一元一次不等式是一项基本技能.另外，不等式解集的数轴表示从形的角度描述了不等式的解集，并为解不等式组做了准备.本节内容是进一步学习其他不等式(组)的基础.
通过前面的学习，学生已掌握一元一次方程的概念及解法，对解一元一次方程中的化归思想有所体会，但还不够深刻.解一元一次不等式与解一元一次方程在本质上是相同的，即依据不等式的性质，逐步将不等式化为x>a或x二、教学目标
1.通过类比一元一次方程的概念及解法，理解一元一次不等式的概念，会用不等式的性质熟练地解一元一次不等式，体会类比思想.
2.在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法过程中，加深对化归思想的体会.
三、教学重难点
【重点】一元一次不等式的概念及解法.
【难点】解一元一次不等式步骤的确立.
四、教学方法
探究式学习法、讲练结合法.
五、教学过程
（一）情境导入
已知一台升降机的最大载重量是1200 kg，在一名重75 kg的工人乘坐的情况下，它最多能装载多少件25 kg重的货物？
前面问题中涉及的数量关系是：工人重 + 货物重 ≤ 最大载重量.
设能载x件25 kg重的货物，因为升降机最大载重量是1200 kg，
所以有75＋25x≤1200.
设计意图：从实际生活情境引入，让学生初步感知利用不等式解决实际问题的思路，培养建模思想.
（二）探究新知
问题1 观察下面的不等式，它们有哪些共同特征？
75＋25x≤1200 ，x-7>26， 3x<2x+1， ， -4x>3.
可以发现，上述每个不等式都只含有一个未知数，并且未知数的次数是1.
设计意图：引导学生通过观察给出的不等式，归纳出它们的共同特征，进而得到一元一次不等式的定义，培养学生观察、归纳的能力.
讲授新课
1.一元一次不等式的概念
像75+25x≤1200，x-7>26， 3x<2x+1， ，-4x>3 这样，类似于一元一次方程， 含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，称为一元一次不等式.
问题2 它与一元一次方程的定义有什么共同点吗？
（学生自由发言）
设计意图：学生独立思考，并发言交流.通过让学生类比一元一次方程的概念得出一元一次不等式概念，培养学生观察、归纳、类比和语言表达等能力.
巩固新知
下列不等式中，哪些是一元一次不等式？
(1)3x+2>x–1
(2)5x+3=0
(3)6x-3y≤-2
(5)x(x–1)<2x
判断一个不等式是否为一元一次不等式的步骤：
先对所给不等式进行化简整理，再看是否同时满足：
(1)不等式的左、右两边都是整式；
(2)不等式中只含有一个未知数；
(3)未知数的次数是1且系数不为0.
例1 已知是关于x的一元一次不等式，则a的值是________．
设计意图：加强对一元一次不等式概念的理解，能根据一元一次不等式的概念求未知数的值，巩固新知，培养学生的归纳能力.
2.解一元一次不等式
设计意图：学生通过解简单的一元一次方程，感知经历解一元一次方程的步骤，类比该步骤思考是否可以利用一元一次不等式的性质解一元一次不等式，从而获得解一元一次不等式的思路，感受化归思想的应用.
典例精析
解下列一元一次不等式
例2
（学生试着解不等式）
问题：解这个不等式的步骤是什么？在求其解集的过程中每一步依据是什么？
学生思考并回答
解一元一次不等式的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
追问：哪一步有需要注意的地方？
学生回答：整数项1容易漏乘，其次系数化为1时应用不等式的性质3，两边同时除以-7，不等号的方向需要改变.
问题：解不等式的所有步骤中哪两步最容易出错？
学生回答：在去分母和系数化为1两步中，容易出错.要考虑不等号的方向.
追问：如何避免这两步的错误？
师生共同归纳：去分母时，尽量乘正数；化系数为1时，即可应用不等式性质2与3判断不等式解集符号，也可根据未知数系数判断，系数为正时，不变号，系数为负时，变号！
归纳总结
解一元一次不等式的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
解一元一次方程，要根据等式的性质，运用化归思想将方程逐步化为x=a的形式；
解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，运用化归思想将不等式逐步化为 (xa)的形式.
设计意图：这是较复杂的一元一次不等式，需要去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1这5个步骤，通过具体的操作，归纳出解一元一次不等式的基本步骤及每一步的变形依据和注意事项，提高学生的总结归纳能力.
例3 解下列一元一次不等式，并在数轴上表示解集.
(1)2(1+x)<3；
(2)12-6x≥2(1-2x)
(3)
设计意图：学生板演，其他学生在练习本上完成.让学生板演，老师可及时观察到学生的掌握情况，并做进一步强调，这有助于提高学生的计算能力.学生及时巩固所学新知，通过训练达到熟练掌握一元一次不等式的解法的目的，使本节课的教学重点得以进一步落实.
合作交流
解一元一次不等式与解一元一次方程有什么异同点？
（学生回忆，合作交流，尝试归纳）
相同之处：
(1)基本步骤相同：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
(2)基本思想相同：都是运用化归思想，将一元一次不等式和一元一次方程变形为最简形式.
不同之处：
(1)解法依据不同：解一元一次不等式的依据是不等式的性质， 解一元一次方程的依据是等式的性质.
(2)最简形式不同：一元一次不等式的最简形式是x>a或下x设计意图：在归纳出一元一次不等式的解法之后，引导学生对比一元一次不等式与一元一次方程的解法，思考二者的相同与不同之处，加深对一元一次不等式解法的理解，体会化归思想和类比思想.同时突破难点，让学生在解一元一次不等式时，心中有数，避免出错.
例4：已知方程ax+12=0的解是x=3，求关于x的不等式（a+2)x＞－6的解集，并在数轴上表示出来，其中正整数解有哪些？
学生独立思考完成，小老师讲解.
方法点拨
求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然．
设计意图：一元一次方程和一元一次不等式解法的综合应用，并培养学生解决问题的能力及数形结合的能力.
变式： 已知不等式 x＋8＞4x＋m (m是常数)的解集是x＜3，求m.
设计意图：巩固新知.已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．
（三）当堂练习
1.解下列不等式：
(1)-5x ≤10 ；
(2)4x-3 < 10x+7 .
2.解下列不等式：
(1)3x -1 > 2(2-5x) ；(2)
3.当x或y满足什么条件下，下列关系成立？
(1)2(x+1)大于或等于1；
(2)4x与7的和不小于6；
(3)y与1的差不大于2y与3的差；
(4)3y与7的和的四分之一小于 –2.
4. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)4x-3 < 2x+7 ；
(2)
5.a≥1的最小正整数解是m，b≤8的最大正整数解是n，求关于x的不等式(m+n)x＞18的解集．
6.当x取什么值时，代数式的值大于或等于0？并求出所有满足条件的正整数.
设计意图：检测本节课所学知识，巩固知识，强化练习.
（四）课堂小结
教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请同学们回答以下问题.
1.一元一次不等式的概念
2.怎样解一元一次不等式
3.解一元一次不等式运用了哪些数学思想？
设计意图：通过问题引导学生再次回顾本节课，从数学知识数学思想方法等层面，提升本节课对所研究内容的认识.
（五）作业布置
完成配套作业
六、板书设计
9.2.1一元一次不等式的解法
1.一元一次不等式的概念
含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，称为一元一次不等式.
2.判断一个不等式是否为一元一次不等式的步骤：
先化简整理，同时具备：
(1)不等式的左、右两边都是整式；
(2)不等式中只含有一个未知数；
(3)未知数的次数是1且系数不为0.
3.解一元一次不等式
步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
七、课后反思
1.在学习本节时，要与一元一次方程结合起来，利用比较、类比的方法去学习，弄清其区别与联系.
2.为加深对不等式解集的理解，应将不等式的解集在数轴上直观地画出来，它可以形象地认识不等式解集的几何意义和它的无限性.在数轴上表示不等式的解集是数形结合的具体体现.
3.熟练掌握不等式的基本性质，特别是性质3，正确利用不等式的性质是正确解不等式的基础.
设计意图：先让学生自己总结反思，总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学，并检验自己不懂的地方是否弄明白.
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