初中数学人教版七下9.1.1不等式及其解集 教案

9.1.1不等式及其解集
一、教学内容分析
等式表示相等关系，方程是含有未知数的等式，它是应用广泛的数学工具.不等式表示不等关系，不等式中可以含有未知数，它也是应用广泛的数学工具.方程与不等式有许多可以类比之处，它们在义务教育阶段的数学课程体系中构成一个重要的方面.本课由实际问题中的不等关系引出不等式的概念；类比方程的解，明确不等式解和解集的概念，以及不等式解集的两种表示方法.
二、教学目标
1.了解不等式及其解的概念;
2.理解不等式的解集及解不等式的意义;
3.学会并准确运用不等式表示数量关系，渗透数形结合思想.
三、教学重难点
【重点】理解不等式的解集及解不等式的意义.
【难点】类比方程理解不等式相关概念，渗透数形结合思想．
四、教学方法
问答法、演示法、讨论法、练习法.
五、教学过程
（一）视频导入
以复兴号与和谐号相遇，同向行驶，复兴号“超车”和谐号的视频，引入本节课，复兴号的速度大于和谐号，展示出来了强大的中国速度，及其背后的中国力量.
设计意图：通过视频让学生感受中国的强大，点燃学习的激情，两车一前一后，速度不相等，初步感受不等式含义.
（二）讲授新课
1.不等式的概念
问题1 处于平衡状态的跷跷板的右边放上一质量为20 kg的物体，左边放上一个木块后向左倾斜，问木块的质量x kg与质量为20 kg的物体之间具有怎样的关系？
分析:我们很容易知道木块的质量大于物体的质量，即x> 20.
问题2 一辆轿车在一条规定车速应高于60 km/h，且低于110 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路s(km)与行驶时间x (h)之间的关系呢？
分析:根据路程与速度、时间之间的关系可得： s>60x，且s<110x.
观察这些关系式：
x＞1 ， x＜100，x>20，s>60x，s<110x，它们有什么共同的特点？
左右不相等.
总结定义：一般地，用不等号“>”，“<”连接而成的式子叫做不等式.像a≠2这样的式子也叫做不等式.
设计意图：通过两个具体实际问题，引导学生理解左右不相等的含义，并归纳出不等式概念.
练一练
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3>0; （2）4x+3y<0；（3）x=3; （4） x2+xy+y2；（5）x≠5; （6）x+2>y+5.
解 ： （1）（2）（5）（6）是不等式； （3）（4）不是不等式.
设计意图：巩固不等式的定义，帮助学生更好地理解不等式的含义.
2.用不等式表示数量关系
例1 用不等式表示下列数量关系：
（1）x的4倍大于-6；
（2）a与b的和的一半小于-1；
（3）长、宽分别为x cm，y cm的长方形的面积小于边长为a cm的正方形的面积.
解：（1）4x>-6
（2）
（3）xy ＜ a2
例2 已知一支圆珠笔x元，碳素笔与圆珠笔相比每支贵y元. 小杨想要买3支圆珠笔和10支碳素笔，若付50元仍找回若干元，则如何用含x，y的不等式来表示小杨所需支付的金额与50元之间的关系？
解：3x+10(x+y)<50
设计意图：通过具体实例，让学生明白题目中有几个量，以及量之间的关系，让学生理解用式子来表示数量关系，文字与数学语言的转换.
3.不等式的解与解集
合作交流：下面给出的数中，能使不等式x>50成立吗？你还能找出其他的数吗？
20， 40， 50， 100.
解：当x=20，20<50， 不成立；
当x=40，40<50， 不成立；
当x=50，50=50， 不成立；
当x=100，100>50， 成立.
总结概念：我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，与方程类似， 能使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.
例如：100是x>50的解.
代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法.
设计意图：通过具体的代入验算，求出不等式的解，类比方程的解，总结不等式的解的定义，培养学生分析归纳总结的能力.
概念学习：
判断下列数中哪些是不等式 1.5x＞100 的解：60，63.3，64，75，76，79，80.1，90.你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？无数个
总结定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
求不等式的解集的过程叫解不等式.
思考：1.不等式的解和不等式的解集是一样的吗？
2.不等式的解与解不等式一样吗？
不等式的解与不等式的解集的区别与联系
区别：
不等式的解：满足一个不等式的未知数的某个值；个体；如:x=3是2x-3<7的一个解.
不等式的解集：满足一个不等式的未知数的所有值；全体；如:x<5是2x-3<7的解集.
联系：
某个解定是解集中的一员；解集一定包括了某个解.
练一练
1.下列说法正确的是( A )
A. x=3是2x+1>5的解
B. x=3是2x+1>5的唯一解
C. x=3不是2x+1>5的解
D. x=3是2x+1>5的解集
2.判断下列说法是否正确？
(1) x=2是不等式x+3<4的解； （ × ）
(2)不等式x+1<2的解有无穷多个； （ √ ）
(3) x=3是不等式3x<9的解 （ × ）
(4) x=2是不等式3x<7的解集； （ × ）
设计意图：理解概念，结合它们的区别与联系，加以练习巩固，加强对知识的理解.
4.在数轴上表示不等式的解集
问题1 如何在数轴上表示出不等式x＞2的解集呢？
步骤：1.先在数轴上标出2的点A；
2.点A右边的数表示大于2，点A左边的数表示小于2;
3.把表示2 的点画A成空心圆圈，表示解集不包括2.
解集的表示方法：
第一种(数):用式子(如x>2)，即用最简形式的不等式 (如x>a或x第二种(形):用数轴，一般标出数轴上某一区间，其中的点对应的数值都是不等式的解.
用数轴表示不等式的解集的步骤:
第一步:画数轴;第二步:定界点;第三步:定方向.
画一画: 利用数轴来表示下列不等式的解集.
(1)x＞-1 (2) x＜
变式: 已知x的解集在数轴上表示如图，你能写出x的解集吗？
解：x＜-2
总结归纳：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律:
1.大于向右画，小于向左画;
2.>，<画空心圆圈.
例3 直接写出x+5＜7的解集，并在数轴上表示出来．
解：x＜2．这个解集可以在数轴上表示为：
变式1：已知x的解集如图所示，你能写出x的解集吗？
解：（1）x＜－3；（2）x＞3．
变式2：直接写出不等式3x＞6的解集，并在数轴上表示出来．
解：x＞2．这个解集在数轴上表示为：
变式3：直接写出不等式－3x＞的6解集．
解：x＜－2．
设计意图：通过在数轴上表示解集，以及根据数轴写出解集，反复练习，数形结合，理解在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式解集的表示方法.
（三）课堂练习
1.用不等式表示下列数量关系：
（1）a是正数；
（2）x比-3小；
（3）两数m与n的差大于7.
解：（1）a> 0. （2）x<-3. （3）m-n >7.
2.下列不是不等式4x－3<6的一个解的是(　　)
A.1 B.3 C.－1 D.－2
3.在数轴上表示不等式3x＞5的解集，正确的是（　　）
4.直接写出下列不等式的解集.
x+3>6的解集是 x>3 ；
2x<8的解集是 x<4 ；
x-2>0的解集是 x>2 .
设计意图：检测和巩固本节所学知识.
(四)课堂小结
师生共同回顾本节内容，梳理本节知识点。
（1）什么叫不等式？
（2）什么叫不等式的解和不等式的解集？不等式的解和不等式的解集的区别？
（3）如何在数轴上表示不等式的解集？
设计意图：让学生对本节课知识进行回顾整理，进一步巩固相关概念.
（五）作业布置
完成配套作业
六、板书设计
9.1.1不等式及其解集
不等式的概念：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式.
用不等式表示数量关系.
不等式的解及解集：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．
4.用数轴表示不等式的解集
课后反思
本节通过具体实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生理解不等式的含义，左右两边不相等的式子.通过具体实例，理解文字与数学语言的相互转化，即用式子来表示数量关系，培养学生分析总结归纳的能力.让学生类比方程的解总结不等式的解，渗透类比思想的运用.并进一步理解不等式的解与不等式解集的区别与联系，并能利用数轴来表示不等式的解集，从而让学生掌握“数”“形”表示不等式的解集的方法，渗透类比思想及数形结合的思想，为后边学习解不等式做铺垫.
A
4
5
6
3
-1
0
1
2
0
-1
1
0
-2
2
0
（1）
-3
0
（2）
0
3
2
0
B
A
A。
2
1
0
1
B。
2
0
1
2
0
C。
1
D。
2
0
1