初中数学人教版七下8.3.2实际问题与二元一次方程组 教案

8.3.2实际问题与二元一次方程组
一、教材分析
《实际问题与二元一次方程组》是人民教育出版社七年级（下）第八章《二元一次方程组》第三节.本节内容是第2课时，探究3是根据图表所表示的数据信息列方程组.由于本节需要探究的问题比较复杂，所以在教学的过程中，一方面需要设置部分台阶（如较简单的准备题、提示解题方向的思考题）减小坡度、分散难点，另一方面需要用一些具体的方法（如列表法、图解法）引导学生学会分析和表达，还要留给学生充足的思考、交流、整理、反思的时间，在解决问题的过程中，使学生体会到方程组应用的广泛性与有效性，提高分析解决问题的能力.
二、教学目标
1.经历根据实际问题列方程组的过程，体会画图或列表等方式在正确理解题意、分析较复杂的数量关系、顺利列出方程组中的作用.
2.体会有些问题设间接未知数便于分析问题、列方程组，渗透应用意识，体会方程组是解决实际问题的有效工具.
三、教学重难点
【重点】会利用二元一次方程组解决运费和配套问题.
【难点】掌握设间接未知数分析问题、列方程组，迂回解决实际问题的策略.
四、教学方法
探究式学习法、讲练结合法.
五、教学过程
（一）新课导入
视频导入
多媒体播放视频，反映方程组来源自实际又服务于实际，引出探究3.
意图：以视频方式回顾第一课时，运用二元一次方程组解决简单的实际问题，从而引出本课时内容——用二元一次方程组解决较复杂的实际问题.
效果：通过视频导入这个环节，让学生了解到二元一次方程组与实际生活密切联系，激发了学生对数学的学习兴趣.
（二）探究新知
1.列方程组解决运费问题
出示教材的探究3
例1 如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5 元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
教师出示四个问题：
问题1 要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？
（学生认真阅读探究3，分析问题中的各个量之间的关系，发现问题）
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量．
意图：问题1重在分析题意，让学生从最后的问题出发，采用逆向思维，培养学生的逻辑推理能力.
效果：学生独立探究，思考，让学生学会分析问题中的数量关系，设出适当的未知数，列方程组求解，体会数学建模的关键过程.
问题2 本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题涉及哪两类量呢？
（学生自由发言）
一类是公路运费，铁路运费，价值；
另一类是产品数量，原料数量．
意图：问题2引导学生借助表格分析题意，理清思路，梳理关键信息.
效果：将本题中的量分为两大类，为下一步列表做好铺垫.
问题3 你能完成教材上的表格吗？
分析：销售款与产品数量有关，原料费与原材料有关.设制成x吨产品，购买y吨原料.根据题意填写下表：
意图：通过列表发现问题中的两个等量关系，公路总运费和铁路总运费.
效果：列表更加直观、简洁，为下一步根据表格中体现的等量关系列方程组.
问题4 你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？学生依据发现的等量关系，建立方程组.
解:根据图表，列出方程组
解方程组得
8 000x-1 000y-15 000-97 200
=8000×300-1 000×400-15 000-97 200
=1 887 800（元）
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.
意图：以问题串的形式，引导学生拆解复杂的问题，由浅入深，引导学生思考，剖析问题，解决问题.学生进行板演，并分享自己是怎么解的.
效果：学生通过交流对比发现，由实际问题列出的方程组，有时系数较为复杂，先化简再求解，可以简化运算.
思考：
（1）在什么情况下考虑选择设间接未知数？
当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数，求得未知数的解后再计算要求的量.
（2）如何更好地分析数量关系比较复杂的实际问题？
可以借助画图或列表等方式正确理解题意、分析较复杂的数量关系、顺利列出方程组.
意图：让学生回顾刚才解题的思路，进一步感受设间接未知数解决实际问题的策略.感受画图或列表在分析实际问题等量关系时的重要作用.
效果：体会到有些问题设间接未知数便于分析问题、列方程组，并学会思考，学会总结归纳.
总结归纳:用画图的方法总结二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
意图：引导学生总结运用方程组建立数学模型，解决实际问题的过程.
效果：通过用框图概括这样的基本过程，加深学生对数学建模思想、列方程组和解方程组过程的认识，可以从整体上加强方程(组)模型与实际问题的关系.
针对练习1：
1.一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表(两次两种货车都满载)：
解:设甲、乙两种货车每辆每次分别运货x吨、y吨，
解得
总运费为：
30×(3x+ 5y)=30×(3×4+ 5×2.5)=735(元).
2.北京和上海都有某种仪器可供外地使用，其中北京可提供10台，上海可提供4台.已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示.有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得到所需仪器，而且运费正好够用.
解:设从北京运往武汉x台，则运往重庆(10-x)台，
设从上海运往武汉y台，则运往重庆(4-y)台，
解方程组得
答:从北京运往武汉4台，运往重庆6台，从上海运往武汉2台，运往重庆2台.
意图：这两道题目均以表格的形式表达了部分信息，这种表达形式比较简明.通过针对练习1，可以培养学生从图表中获取信息的能力，学会用二元一次方程组解决该类问题.
效果：巩固新知，并通过填表学会对有关数量进行整理，发现等量关系，列出方程组.
2.列二元一次方程组解决配套问题
出示例2
某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？
分析： 将题中出现的量在表格中呈现
解：设生产螺钉的x人，生产螺母的y人.
依题意，可列方程组：
解方程组得
答：设生产螺钉的10人，生产螺母的12人.
(小组合作讨论完成)
归纳：
解决配套问题要弄清：
（1）每套产品中各部分的比例；
（2）生产各部分的工人数之和=工人总数.
意图：会利用二元一次方程组解决实际生活中的配套问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系.
效果：进一步提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生应用数学的意识.
针对练习2
1.一个工厂共42名工人，每个工人平均每小时生产圆形铁片120片或长方形铁片80片.已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶.你认为如何安排工人的生产，才能使每天生产的铁片正好配套？
解：设生产圆形铁片的工人x人，生产长方形铁片的工人y人，根据题意列出方程组得
解得
答：生产圆形铁片的工人24人，生产长方形铁片的工人18人.
（学生独立解决，展示）
意图：以学生身边的实际问题展开练习，突出数学与现实的联系，锻炼学生的交流表达能力，发动小老师，让更多的学生参与课堂.
效果：巩固新知.
(三)当堂练习
1.某食品厂要配制含蛋白质15％的食品100 kg，现在有含蛋白质分别为20％，12％的两种配料. 用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？
2.某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为21，如果每台挖掘机每天平均挖土750 m3，每台装卸机每天平均运土300 m3，正好能使挖出的土及时运走，问挖掘机有多少台？装卸机有多少台？
意图：感受数学在生活中的广泛应用，检测本节课所学知识.
效果：巩固知识，强化练习.
（四）课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.
2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：
3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.
（五）作业布置
完成配套作业
六、板书设计
8.3.2实际问题与二元一次方程组
七、课后反思
本节课对部分学生是有难度的，所以借助师帮生、生帮生的讨论交流环节，让更多学生参与课堂.课后习题数量不一定多，必须精选，保证质量. 其次，设未知数、列方程组是用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，正确理解问题情境，分析其中的等量关系是设未知数、列方程组的基础，教师应注意引导学生从多种角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，检验方程的合理性.利用二元一次方程组解决问题的基本过程.
意图：课后反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固新知，并检验自己不懂的地方是否弄明白.
8 000x-1 000y-15 000-97 200
=8000×300-1 000×400-15 000-97 200
=1 887 800（元）
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.
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