初中数学人教版七下8.3.1实际问题与二元一次方程组 教案

8.3.1实际问题与二元一次方程组
一、教材分析
《实际问题与二元一次方程组》是人民教育出版社七年级（下）第八章《二元一次方程组》第三节.本节内容安排了2个课时完成，是在学生掌握了二元一次方程组的解法，能列二元一次方程组解较简单的实际问题的基础上安排的，其中的“和差倍分问题”“几何问题”“行程问题”是具有一定综合性的问题.本课时选择了两个且有一定综合性的问题，“牛饲料问题”“种植计划问题”.让学生以方程组为工具进行一定深度的思考，丰富运用方程组解决实际问题的实践，把本章强调的以方程组为工具，实际问题模型化的思想提到新的高度.为切实提高利用方程组解决实际问题的能力，这节内容的问题形式包括，估算与精确计算的比较（探究1），开放地寻求设计方案（探究2），本节目的在于，一方面通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面使学生在实际问题情境中运用所学数学知识，进一步提高分析问题和解决问题的能力.
二、教学目标
1.学会利用二元一次方程组解决和、差、倍、分问题，几何问题和行程问题.
2.经历探索用二元一次方程组解决实际问题的过程，进一步提高分析问题中数量关系、设未知数、列方程组、解方程组的能力，体会数学建模思想.
三、教学重难点
【重点】会利用二元一次方程组解决和、差、倍、分问题，几何问题和行程问题.
【难点】正确找出问题中的两个等量关系，体会数学建模思想.
四、教学方法
探究式学习法、讲练结合法.
五、教学过程
（一）新课导入
视频导入
多媒体播放《奔跑吧，兄弟》的某段视频，引出“鸡兔同笼问题”，问：视频中的问题你知道怎么解吗？
意图：以视频方式引出二元一次方程组可以顺利解决“鸡兔同笼问题”.让学生充分表达自己的想法，部分学生可能用算数的方法，也可能用方程组，学生初步感知算数和方程组解决实际问题的异同，发现方程组和方程是数学的进步.
效果：通过视频导入这个环节，激发了学生本节课的学习兴趣，活跃了课堂氛围.以熟悉的问题为背景，让学生感受到这节课并不陌生，让学生有种亲切感，更易于接受新的概念，对本节课的学习增强了信心.
（二）探究新知
1.列方程组解决和、差、倍、分问题
出示教材的探究1
养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20 kg，每只小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李大叔估计的准确吗？
教师出示两个问题：
问题1 如何理解“通过计算检验他的估计”这句话？
问题2 题目中有哪些未知量？你如何设未知数？题目中有哪些等量关系？
（学生自由发言）
意图：教师提出两个问题，问题1让学生体会对于估算的结果要通过精确求职来检验，理解要想检验估计是否准确，需要求出大牛、小牛1天所需要的饲料；问题2重在引导学生发现问题中的已知量和未知量，寻找等量关系，借助二元一次方程组进行计算.
效果：学生独立探究，合作交流.让学生学会分析问题中的数量关系，发现等量关系，体会数学建模的关键过程.
问题3 如何解决这个问题？
学生依据发现的等量关系，建立方程组.
设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为x kg和y kg，根据等量关系，列方程组：
追问：你是如何解这个方程组的？列一元一次方程能解决这个问题吗？
意图：学生独立解方程组，并发言交流.让学生经历分析数量关系，得到数量关系，列方程组的过程.一般情况下，学生会自觉选择列方程组解决.
效果：学生通过交流对比发现，由实际问题列出的方程组，有时系数较为复杂，先化简再求解，可以简化运算.学生体会到有两个未知量时列方程组更为简单.
出示剧情发展：随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人？
总结归纳:
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的 数量关系；
(2)设元：用 字母 表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据 2 个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用 代入消元 法或 加减消元 法解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
意图：学生在解决探究1的基础上继续探究，独立思考，运用二元一次方程组解决该问题.并总结用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
效果：学生能够准确分析该问题的已知量和未知量，并运用二元一次方程组解决该问题，使知识得以强化.并提升总结归纳的能力.
针对练习1：
例1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？
意图：用方程组解决生活情景“球赛积分问题”，体会用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题的区别与练习.
效果：学生能够熟练运用二元一次方程组解决该问题，提高了学生解决实际问题的能力.
2.列方程组解决几何问题
出示探究2
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
你能设计出种植方案吗？你能从中提取出数学信息吗？请你画出图形，结合上面的框图以及“探究1”的解决过程，如何解决探究2中的问题？
（学生独立思考，互相讨论交流，有一定难度，进行追问）
追问：这里研究的实际上是长方形的面积分割问题，有几种分割方式？请将文字语言转换成数学语言.
转换成数学语言：
已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种植甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.
（学生思考回答）
（1）竖着画，把长分成两段，则宽不变；
（2）横着画，把宽分成两段，则长不变.
学生画图分析题意，上板写出解题过程，并进行解析.
意图：让学生经历列方程组解决实际问题的完整过程，一题多解，体现思维的多样性.效果：学生互相交流，互相启发，不断完善种植方案，经历列方程组解决实际问题的过程，加深对建模一般步骤的理解.
针对练习2
8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少？（单位cm）
解析：
直接设：小长方形地砖的长为x， 宽为y.
等量关系为：
（小长方形的一个长）+（小长方形的一个宽）= 大长方形的宽60；
小长方形的长 = 小长方形3个宽.
学生观察图形，发现几何拼图中隐藏的等量关系，列出方程组求解.
意图：对探究2作针对练习，用方程组解决几何中的拼图问题.
效果：培养学生的观察能力，应用方程组解决几何问题的能力.
3.列方程组解决行程问题
探究3
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？
通过画线段图的方法表示从家到学校的路途，分析往返途中的两个等量关系，列方程组.
等量关系：从家里到学校：走平路的时间+走下坡路的时间= 10 ；
从学校到家里：走上坡路的时间+走平路的时间= 15 .
方法一（直接设元法）
解：设小华家到学校平路长x m，下坡路长y m.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以，x+y=300+400=700.
答：小明家到学校的距离为700m.
方法二（间接设元法）
解：设小华下坡路所花时间为x min，上坡路所花时间为y min.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以坡路距离：80×5=400（m），平路距离：60×（10-5）=300（m）
所以，小明家到学校的距离为700m.
意图：遇到行程问题，经常会设不同的未知数，让学生大胆尝试，感受直接设元和间接设元的不同.
效果：用画线段图和列表的方法，来减小坡度、分散难点，另一方面利用画图来引导学生学会分析和表达.
针对练习3
例2 甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？
意图：引导学生解决行程问题时，借助示意图表示题中的数量关系，这样可以更加直观的找到相等关系.
效果：培养学生运用方程组解决行程问题的能力.
（三）当堂练习
1.有甲、乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和等于47，甲数的5倍比乙数的6倍小1，这两个数分别是多少？
2.某船顺流航行36km用3 h，逆流航行24km用3 h，则水流速度和船在静水中的速度各是多少？
意图：感受数学在生活中的广泛应用，检测本节课所学知识.
效果：巩固知识，强化练习.
（四）课堂小结
（五）作业布置
完成配套作业
六、板书设计
8.3.1实际问题与二元一次方程组
七、课后反思
本节课的重点是让学生经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建立方程组模型.教学难点是利用相等关系将实际问题转化为数学问题.教学中，采取了让学生通过独立思考、自主探索、合作交流等方式，在思考、交流等数学活动中，养成严谨的思维方式和良好的学习习惯.
意图：先让学生自己总结反思，总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学，并检验自己不懂的地方是否弄明白.
1