初中数学人教版七下8.2.1代入法消元-解二元一次方程组 教案

8.2.1代入法消元-解二元一次方程组
一、教学内容分析
实际生活中涉及多个未知数的问题是普遍存在的，而二元一次组是解决含有两个未知数的问题的有力工具.同时，二元一次方程组也是解决后续一些数学问题的基础，其解法将为解决这些问题提供运算的工具，如用待定系数法求一次函数解析式，在平面直角坐标系中求两条直线的交点坐标等.
解二元一次方程组就是要把“二元”化归为“一元”，而化归的方法可以是代入消元法.这一过程同样是解三元（多元）一次方程组的基本思路，是通法.由算术到方程再到方程组，其中蕴含的“数式通性”在本节内容中有很好的体现.
二、教学目标
1.会用代入消元法解简单的二元一次方程组.
2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”，经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想.
三、教学重难点
重点：用代入消元法解二元一次方程组.
难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程，经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想.
四、教学方法
演示法、问答法、课堂讨论法.
五、教学过程
（一）问题导入
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
你能根据问题中的等量关系列出一元二次方程组吗？
解：设这个队胜x场，负y场.根据题意得
怎么求x、y的值呢？
上节课我们通过列表找公共解的办法得到了这个方程组的解
显然，这个方法有些麻烦，不好操作.
所以这节课我们就来探究如何解二元一次方程组.
追问1：这个实际问题能列一元一次方程求解吗？
师生活动：学生回答：设胜x场，则负（10-x）场.根据题意，得：
追问2：对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？
师生活动：通过对实际问题的分析，认识方程组中的两个方程中的y都是这个队负的场数，具有相同的实际意义.因此可以由一个方程得到y的表达式，并把它代入另一个方程，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程.先求出一个未知数，再求另一个未知数.
教师总结：这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
意图：用引言中的问题引入本节课内容，先列二元一次方程组，再列一元一次方程，对比方程和方程组，发现方程组的解法.
效果：通过列出方程组和方程，让学生对比，观察得出方程组的解法，给学生充分的思考时间，培养学生观察、分析、总结的能力.
（二）讲授新课
1.用代入法解二元一次方程
对于二元一次方程组
你能写出求x的值的过程吗？
师生活动：学生回答：
由①得：y = 10－x. ③
将③代入②得：
2x + (10－x) = 16.
解得：x = 6.
意图：通过具体的方程组明确消元的过程.
效果：学生动手操作理解“消元”，感知转化过程.
把③代入①可以吗？试试看.
师生活动：学生把③代入①，观察结果.
意图：由于方程③是由方程①得到的，它只能代入方程②，不能代入方程①.让学生实际操作，得到恒等式，更好地认识这一点.
效果：实际动手操作，更好地理解代入，得到一元一次方程，从而求值.
把x = 6代入③得：y = 4.
所以原方程组的解为：
这个队胜6场，负4场.
意图：让学生考虑求另一个未知数的过程，并思考如何优化解法.
效果：通过实际动手操作，真正理解代入法消元的过程，从二元到一元的转化，感受化归思想的运用.
2.总结代入消元法的概念
①将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，
②再代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.
这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”. 消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想.
意图：使学生明确代入消元法的关键是“代入”，把二元一次方程组转化成一元一次方程.
效果：通过实际动手操作，真正理解代入法消元的过程，从二元到一元的转化，感受化归思想的运用.
例题解析
用代入法解方程组
x-y=3 ①
3x-8y=14 ②
解：由①得：x= y+3. ③
将③代入②得：
3 (y+3) -8y= 14.
解得：y = -1.
把y = -1代入③得：x = 2.
所以原方程组的解为：
x =2
y =-1
意图：借助题目，让学生分析解题思路，使学生再次经历代入法解二元一次方程组的过程，加深理解.
效果：学生借助题目，进一步理解二元一次方程组转化成一元一次方程，体会化归思想的运用.
应用提升
根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶装（ 250 g ）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2︰5．某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
分析：题中未知量是什么？
消毒液应该分装的大瓶数和小瓶数
如何设未知数？
设消毒液应分装大瓶和小瓶的数量分别为x、y
等量关系是什么？
瓶数︰小瓶数＝2︰5
大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝22.5 t
如何用二元一次方程组表示上面的两个等量关系？
解：设消毒液应分装大瓶和小瓶的数量分别为x、y
500g=0.5kg 250g=0.25kg 22.5t=22500kg
5x=2y ①
500x+250y=22500000 ②
由①，得 y= ③
把③代入②，得 500x+250× =22500000
解这个方程，得 x=2000
把 x=20000 代入③，得y=5000
所以这个方程组的解是
x=2000
y=5000
答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.
意图：通过实际问题，分析等量关系，列出二元一次方程组，利用代入消元化成一元一次方程，再次整理思路，感受整个消元过程.
效果：在利用代入法解二元一次方程组的基础上，分析实际问题，培养学生们的思维，提高解决问题的能力.
总结归纳
解二元一次方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
注意：用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
意图：总结步骤，让学生体会程序化思想.
效果：在经历了解二元一次方程组，分析实际问题、解决实际问题，更好地总结解二元一次方程组的解法，理解代入消元的思想.
课堂练习
1.解下列方程组.
（1） （2）
y=2x
x+y=12 4x+3y=65
解：（1） （2）
x=4
y=8 y=15
2. 李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜种植了多少亩？
解: 设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：
x+y=10 ①
2000x+1500y=18000 ②
将由①得 y=10-x . ③
将③代入②,得 2000x+1500(10-x)=18000 .
解得 x=6.
将x=6代入③，得y=4.
答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩.
意图：检测和巩固本节所学知识.
(四)课堂小结
回顾本节课的学习过程,并回答一下问题.
代入法解二元一次方程组有哪些步骤
解二元一次方程组的基本思路是什么
在探究解法过程中用到了什么思想方法 你有哪些收获
意图：让学生总结本节课的主要内容和思想方法.
（五）作业布置
完成配套作业
六、板书设计
8.2.1代入消元法-解二元一次方程组
1.代入消元法：简称代入法.
2.出示例题
总结代入法解二元一次方程组的步骤.
理解转化思想的运用.
七、课后反思
用代入消元法解二元一次方程组是《解二元一次方程组》的第一课时，这堂课的内容对于学生来说相对比较简单，学生已具备解一元一次方程和用含未知数的代数式表示另一个未知数的基础，因而学生有能力自主探索出用代入法解二元一次方程组的方法，在教学中让学生体会数学学习和研究中的“化未知为已知”的化归思想.
x+y=10
2x+y=16
x=6
y=4
x+y=10 ①
2x+y=16 ②
x=6
y=4
2x=y-5
x=5
1