初中数学人教版七下8.4三元一次方程组教学设计

*8.4 三元一次方程组的解法
教学内容分析
本节内容是在学生已经学习二元一次方程组的基础上，类比二元一次方程组的概念，给出三元一次方程组的概念.本节侧重通过具体的三元一次方程组讲述它的解法，类比二元一次方程组的解法，让学生尝试用代入消元法和加减消元法进行解三元一次方程组.三元一次方程组的解法既巩固了消元思想、类比思想、化归思想，也为今后学习二次函数奠定了基础.
学习目标
1．通过对方程组中未知数特点的观察和分析，类比二元一次方程组，理解三元一次方程组的概念．
2．能解简单的三元一次方程组，理解解三元一次方程组的思路是“消元”，经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想.
三、教学重难点
【重点】会用消元法解三元一次方程组．
【难点】针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法消元．
四、教学方法
演示法、课堂讨论法、启发法
教学过程
新课导入
教师出示问题：
在刚刚过去的2022北京冬奥会赛场上，我国运动员取得了历史最好成绩，斩获金牌、银牌、铜牌共15枚，其中，金牌数量是银牌数量2倍多1，银牌数量是铜牌数量的2倍，问：金、银、铜牌数量各几枚？
设计意图：用刚刚过去不久的2022冬奥会我国运动员斩获奖牌数这一问题情景引入本节课学习，结合时代热点问题，可激发学生的爱国主义情操，引导学生多关心国家时事.让学生意识到生活中处处有数学，培养学生学习数学的兴趣.
（二）课堂新授
学生活动：学生结合题干信息应该很自然地想到利用一元一次方程求解
解：设铜牌x枚，则银牌2x枚，金牌（4x+1)枚
根据题意可列方程：
x+2x+4x+1=15
解得x=2
2x=4， 4x+1=9
答：金牌9枚，银牌4枚，金牌2枚.
师：还有其他方法吗？能不能设多个未知数呢？
师生共同活动：教师引导学生列出以下三个方程.
解：设金牌x枚，银牌y枚，铜牌z枚
根据题意可列方程： x+y+z=15
y=2z
x=2y+1
师：这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
思考1:这个方程组含有几个未知数？
思考2：每个方程中含未知数的项的次数都是几？
思考3：一共有几个方程？
学生回答完上述三个思考问题之后，三元一次方程组的概念也随之而出.
教师出示三元一次方程组的概念：
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
设计意图：三元一次方程组概念出示之前，给学生留白时间，引发学生思考，加深学生对概念的理解.
师：怎样解这个三元一次方程组呢？我们能从解二元一次方程组的方法中找到一些启发吗？
旧知：解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
旧知：它们的实质是什么？
新问：代入消元法或者加减消元法对于解三元一次方程组适用吗？
追问：能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？
设计意图：数学的学习都是建立在旧知的基础上进行学习，用旧知解决未知，符合学生认知规律.学生易于接受.
师：让我们来看前面列出的三元一次方程组
师生活动：学生小组交流，探索如何消元，学生具体操作.
仿照前面学过的代入法，可以先把 y=2z③代入②，得x=4z+1④，
再把y=2z③和x=4z+1④
代入①，得4z+1+2z+z=15
得z=2
再把z=2分别代入③，④得y=4，x=9
所以这个三元一次方程组的解为
答：获得金牌9枚，银牌4枚，铜牌2枚.
归纳：该三元一次方程组通过代入消元法，直接将三元一次方程组转化成一元一次方程，进而求解.
师：请大家尝试解下面的三元一次方程组.
学生小组讨论，探索如何消元.
学生思路展示：用代入消元法，将③分别代入①②，得到只含y，z的二元一次方程组，解这个二元一次方程组，求得y和z，进而求出x.
学生思路展示： 用加减消元法，我观察到第三个方程里只有未知数x，y，所以方程①×5－方程先消去未知数z， 再和方程组成关于x，y的方程组，解出x、y，进而求出z.
学生上板展示：
将③分别代入①②，得到两个只含y，z的方程：
即
④×5，得25y+5z=60⑥
⑥－⑤，得19y=38
y=2
把y=2代入④，得z=2
把y=2代入③，得x=8
因此这个三元一次方程组的解为
学生上板展示：
①×5-②，得
②与④组成方程组
解这个方程组，得
把 x=8，y=2代入①，得8+2+z=12
得z=2
因此，这个三元一次方程组的解为
设计意图：学生是课堂的主体，教师要发挥引导作用，这一环节，让学生小组讨论，探究消元的方案，学生有不同的消元方法：代入消元、加减消元.让学生上黑板展示消元的具体步骤，教师做适当引导，充分调动学生的探究积极性，学生有二元一次方程组的消元学习经历，在旧知的基础之上，自主探究新知，给学生思维留白时间，思维表达机会、上板展示过程，提高课堂的实效性.
教师活动：教师对学生的想法给予肯定，并且分析这道题目的消元方法、解题步骤， 使学生明确③分别代入①②，比较简便，得到二元一次方程组，可顺利解决三元一次方程组，体会消元思想在三元一次方程组中同样适用.
师生共同总结：解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．
即：三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程
（三）典例精析
例1：解三元一次方程组
（让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较．）
解：②×3+③，得11x+10z=35．
①与④组成方程组
把x=5，z=-2代入②，得y=．
因此，三元一次方程组的解为
归纳：此方程组的特点是①不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．反之，用代入法运算较烦琐．代入消元法不做特意强调，有学生用这种方法后，可做适当点评.
例2：在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，c的值．
（师生一起分析，列出方程组后交由学生求解．）
解：由题意，得三元一次方程组
②-①，得a+b=1， ④
③-①，得4a+b=10． ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
．
解得
把a=3，b=-2代入①，得c=-5．
所以这个三元一次方程组的解为
，
答：a=3，b=-2，c=-5．
设计意图：通过解具体的方程组明确消元的过程，使学生再次经历消元法解三元一次方程组的过程.
（四）数学趣史
教师出示问题：
在古代数学著作《九章算术》中有一个问题译成汉语是这样的：
上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；
上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗；
上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗.
求上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗.
上等谷 中等谷 下等谷 斗数
解：设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食x斗、y斗、z斗.
根据题意 ，得：
该题让学生课下以小组为单位合作完成.
设计意图：引入数学趣史. 让学生感受到中国数学史的深厚底蕴，增强文化自信，课下小组合作完成该题，是对课堂知识的延伸，也培养了学生的合作意识和交流能力.
（五）课堂小结
三元一次方程组的概念
三元一次方程组
三元一次方程组的解法
六、板书设计
*8.4 三元一次方程组的解法
三元一次方程组的概念：含有三个未知数
每个方程中含未知数的项的次数都是1
并且一共有三个方程
解三元一次方程组的基本思路：三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程.
七、教学反思
在解三元一次方程组的过程中，让学生充分进行自我知识的整合、建构.使得学生进一步体会类比思想、消元思想、化归思想.
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